一道數學填空題引發對細節的思考

李菲燕

摘 要： 數學是一門嚴謹的學科，教師的發展就是為了每一位學生的發展，但是在教學過程中總是容易忽略一些細節，這其實會阻礙學生的發展，要時刻記得注意細節是不容忽視的，只有縝密的教學語言才能使學生形成嚴密的思維方式.

關鍵詞： 細節 集合 區間 角度制 弧度制

某次考試后的集體改卷中，我們備課組成員對于該考卷中的某道題目的處理產生了爭議.

填空題13題：求函數y=sin（2x+）的單調遞增區間.

學生給出的答案有主要有兩種寫法：

（1）（kπ-，kπ+）k∈Z（閉區間也給分）

（2）{x/kπ-

備課組老師有的認為（1）的寫法比較準確，有的則認為兩者都可作為正確答案.

必修一在第1章第2節：函數及其表示中，通過集合給出區間的概念，所以區間是集合，是一個數集，但區間必須指的是一個連續的范圍，所以區間并不等同于集合，或者說，并不等同于數集.在很多情況下，區間與數集具有相同的效果，可以相互轉化表示某一個范圍，如：

例1：[1，5]={x/1≤x≤5}，（1，5）={x/1

例2：函數f（x）=ln（x-6x+5）的定義域：既可以表示成（-∞，1）∪（5，+∞），又可以表示成{x/x<1或x>5}.

例3：函數f（x）=lg（x-1）既可以說在（1，+∞）遞增，又可以說在{x/x>1}上是增函數.

那么例1中的單調區間的兩種表示方法是否都正確呢？

筆者認為，第一種表示方法指的是多個區間，當k取不同的整數的時候，表示不同的區間，如：k=-1表示區間（-，-），k=0表示區間（-，-），k=1表示區間（，），即k取遍所有整數時的各個區間，即它不等同于這些集合的并集.而第二種表示法方法指是多個區間的并集，即：…∪（-，-）∪（-，-）∪（，）∪…即k取遍所有整數時所得區間的并集.再者，我們了解，對于函數的單調性，只能在定義域的某個區間上進行研究，不能將單調性相同的區間并起來，如函數f（x）=的單調區間，學生容易誤寫成：（-∞，0）∪（0，+∞），而正確的寫法為：函數的單調區間為（-∞，0）和（0，+∞），它指的是函數有兩個單調遞增區間.所以例1中的函數的單調區間應該是有無數多個，而不是取并集為一個區間.這個問題其實在必修四中正切函數的性質也有所體現：“正切函數在開區間（-+kπ，+kπ），k∈Z內都是增函數.”認真觀察我們便會發現，對于單調區間，課本是有給出嚴謹的表示的，即三角函數中的單調區間基本都會用區間表示.

所以事實上，數集和區間并不能等同，數集和區間在其他地方也是有區別的.例如：對于離散的數集，可用集合{1，2，3，4}表示，但不能用區間表示若給定集合{x/m-1-2，即此區間一定有意義，不為空集.

所以數集和區間并不能簡單地等同，它們之間存在區別，我們必須認清它們的區別并正確使用，例如：函數y=lg（sinx）的定義域正確表示則應該為{x/2kπ

總之，區間的概念是在集合的基礎上給出的，在很多情況下區間和集合可以相互轉化.

其實在本題中，集合與區間的區別僅僅在于后面的k∈Z，比如區間（，π）與集合{x/

數學是一門非常嚴謹的學科，數學教師應該在教學中處處體現其嚴謹性，這樣學生才能在學習中逐步形成嚴密的思維方式，在教學中不能模棱兩可，是就是，不是就不是，容不得半點紕漏，要注意各種細節的不同.在高中數學教學過程中，其實還有很多細節需要我們注意，比如此題學生所寫答案除了本文開頭兩種外，還有部分學生的答案為（3）{x/k·180°-75°

對于這個答案，備課組老師們大多數認為，因為函數的定義域必須是數集，而單調區間是定義域的一個子集，所以必須為數集，那么就必須用弧度制表示，所以這類答案肯定不正確.那么，事實真是如此嗎？

必修一是在兩個非空數集的基礎上給出函數的概念，于是，在高中教學中，有很多老師在給學生介紹弧度制時都以為了使研究三角函數時，使得角與實數集一一對應為理由，但真的是如此嗎？事實上，弧度制和角度制是度量角的兩種不同的方式，而其實，無論是角度制還是弧度制，都能使得每個角都有唯一的實數與之對應，也就是說，無是有角度制還是弧度制，都能夠建立三角函數，三角函數的定義域及單調區間也能用角度制表示，所以筆者認為，第（4）種答案也是可以的.那么到底為什么有了角度制還要引入弧度制呢？我們知道角度制為六十進制，而弧度制是用長度單位度量角，是一類十進制的實數，弧度制的定義巧妙地將長度單位和角度單位統一起來，這給研究三角函數帶來很大的便利.而且在必修四給出三角函數的定式義時：是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么，y叫做α的正弦，即sinα=y，這個時候，y的單位為長度單位，若此時，角a采用角度制，則它們的單位無法統一，而弧度制恰恰解決了這個問題.

當然，因為角度制是用角度量角，而弧度制是用長度度量角，這種方式學生理解起來會有些困難，在教學中解釋為什么引入弧度制的必要是十分重要的，對于弧度制的理解，必須貫穿整個三角函數的學習中，即教學學習中都要盡量采用弧度制以便學生習慣并掌握弧度制，角度制和弧度制是角的兩同的度量方式，這與用千克，磅度量質量一樣，是一種非常重要的認識，弧度制的引入最基本的作用體現在三角函數的認識上.

老子曾說：“天下難事，必做于易；天下大事，必作于細?！币龊靡患?，必須從最簡單最細微的地方入手，在科學領域中，細節是決定成敗的關鍵.數學教學也是如此，在教學過程中，一定要注重各種細節，即使是教學語言也要注重細節，養成用詞的習慣，這樣學生才能吃透課本，深入理解每個概念，從而真正掌握各個知識點，學好數學.總之，教師的發展就是為了學生的發展，在教學中，對細節的不忽視、不敷衍，是對學生負責任的一種體現.