用聯系發展的觀點看解析幾何

劉奇玲+王若維

摘 要：作者作者用辯證唯物法的觀點，用聯系的、發展的眼光對初高中的數學學習與高職解析幾何學習在內容和研究方法上進行了比較，結合時下對解析幾何的重新審視，得出了對解析幾何的新的理解：數形結合的思想方法是解析幾何的一個核心思想方法；高職的解析幾何是對初高中解析幾何內容的發展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。

關鍵詞：聯系的；發展的；解析幾何；數形結合

唯物辯證法告訴我們，世界是普遍聯系、變化發展的。而社會的進步與發展，不僅需要有專業訓練的公民，更需要的是有教養的公民。車爾尼雪夫斯基說，要使人成為真正有教養的人，必須具有三個品質：淵博的知識、良好的思維習慣和高尚的情操。人格教育是數學教育的目的之一。

數學教育作為教育的一部分。在發展人、發展社會方面起著重要作用。數學教學不僅僅是傳授給學生一定量的數學知識，更重要的是教師通過知識載體對學生實施能動的心理和智能的引導。以啟迪智慧，挖掘潛能，發展思維，培養創新意識和解決問題的能力。這對于解析幾何教學尤為重要。我們認為強化“數學思想方法”的教學是實現上述目標的重要舉措。

數學是職教的一門公共必修課，解析幾何是數學的一個重要的部分，現在人們越來越認識到數學是一門科學，數學是一門關鍵的技術，數學教育在人的全面發展中的功能應是工具功能、育智功能和自我完善功能的統一體，而解析幾何則是實現這些功能最直觀高效的手段。

數學又是一種文化，這就決定了數學教育的文化性目的。正像語言詞匯不能全然與語法、句法或實際的民族文化教育相分離一樣，數學知識不能孤立于該領域中共生的方法、理論及社會文化發展這個大系統。數學教育在傳授知識、培養能力的同時，還應充分注意其應有的文化教育價值，解析幾何的發展史就是古典數學到現代數學的發展史，從開普勒到伽利略，到笛卡爾、費馬，這些科學家的經典軼事、解析幾何的研究歷程所擁有的學術價值是無可估量的、其文化價值更是燦爛璀璨的。

用普遍聯系的、變化發展的觀點來看待解析幾何，可以發現：高職的解析幾何是對初高中解幾內容的發展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。

解析幾何是依據數形結合的思想方法建立起來的一門學科，解析幾何的基本思想就是用代數方法研究幾何，最基本的做法就是把空間幾何結構代數化、數量化。即先把幾何問題轉化為代數問題，用代數的知識解決后再返回到幾何中去。

解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。其中平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這里可以看到，這種方法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯系了起來。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質；在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。

而這種聯系的、發展的觀點在解析幾何的研究中是普遍存在的。在解析幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。數形結合的思想促使人們運用各種代數的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數方法后就變得平淡無奇了。它對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具

初高中的數學學習的過程就是這種數形結合的思想形成的過程：初中階段在建立了用字母代表數字的代數思想，了解了代數式、一元一次方程和簡單幾何圖形后接觸了平面直角坐標系，第一次把一個點和一對有序的實數對應起來。在接下來的二次函數、平面幾何的學習中不斷在滲透這種由形到數，再由數到形的思想方法。到了高中階段，直線與方程之間建立起了直接的對應關系，聯系的、發展的解析幾何的思想形成了。之后一元二次不等式的求解，三角函數的了解，圓錐曲線的研究以及線性規劃的應用都是這種思想方法的實踐。甚至向量也有坐標表示，立體幾何的研究中更是建立了空間直角坐標系，把平面解析幾何發展到了空間解析幾何。

在“空間直角坐標系”這一課的教學中，老師一般都會在課上介紹了法國數學家笛卡兒，正是向傳統和權威挑戰的巨大勇氣，使他創立了解析幾何學，特別是笛卡兒理論中的兩個概念——坐標概念和利用坐標方法把兩個來知數的任意代數方程看成平面上的一條曲線的概念。在笛卡兒之前，數學家們也研究F（x，y）=0這樣的不定方程，但都只關心它的整數解，并不關心，F（x，y）=0的一切實數解。笛卡兒破天荒地第一次將它視為一條平面曲線，這就是笛卡兒的偉大之處。這些軼事使學生對將要學習的解析幾何產生了極大的好奇心?？梢娐撓档?、發展的解析幾何的思想其實是始終貫穿在初高中數學的學習過程中的。

但是，初高中數學的內容畢竟有限，研究方法也是稚嫩的。例如：位置是空間中最原始的概念。兩點間位置的位差就是一個最基本的幾何量，而向量正是位差的抽象化，向量的運算就是基本幾何性質的代數化。向量的加法反映了位移和平行四邊形定理，向量的倍積反映了相似。向量的內積、外積反映了面積、長度、角度的關系。這些不但說明向量代數可作為解析幾何的研究工具，也利于加深對數形結合思想的理解。但高中數學對向量的運算僅僅只在加，減，數乘之外了解了一下點乘運算而已。又比如，二次曲面（橢球面、雙曲面與拋物面）的研究蘊涵著數形結合、化歸和變換等重要的思想方法。由于這些曲面都是用解析法（即方程）來定義的，它們的幾何特征都不明顯，所以必須通過方程來了解曲面的性質，進而推想出它所表示的曲面的大致形狀，而高中解析幾何的研究也局限于代數運算能力，對柱面、錐面、球面、旋轉曲面是回避的。

然而即便這樣，解析幾何的數學思想和數學方法卻一直是初高中數學的重要內容，學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、類比，建立函數模型，用數形結合思想解決問題是學生在初高中數學學習中的最大收獲。尤其是數形結合思想，現在我們知道數形結合的基本思想是在研究問題的過程中，把數與形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題。實現了由數到形和由形到數的相互轉化，進而使抽象問題具體化，直觀問題深刻化，復雜問題簡單化，特殊問題一般化。

例如：在復平面上，點，向量與復數建立了一一對應的關系?？梢姀蛿蹬c向量有著密切的聯系，將向量與復數結合起來，可方便地解決某些涉及到旋轉的圖形問題。

所以數形結合思想方法其實是貫穿解析幾何全部內容的。例如，由形到數，從幾何性質出發，建立直線與平面的方程；由數到形，從平面、直線方程出發，探求點、線、面之間的位置關系和度量關系、從二次曲線的方程出發，探究其所代表的線的形狀，不僅從直觀上了解曲線的大致形狀，而且為進一步化簡作了準備。

總之：“數形結合”溝通了代數與幾何最基本對象之間的聯系，使幾何的概念得以用代數方式表示，幾何目標得以用代數方法達到。反之，代數語言因為得到幾何解釋而變得直觀、易懂。用聯系的觀點看待幾何和代數，用發展的觀點反觀初高中的解析幾何學習，可以發現，數形結合的思想方法是高職解析幾何的一個核心思想方法。也就是說高職的解析幾何是對初高中解析幾何內容的發展和補充，但更是在研究方法上的提煉和升華。