MATLAB在“函數重要極限”教學中的應用

徐森

【摘 要】本文通過MATLAB的繪圖功能，對函數的“重要極限”以及與之相似的四個函數的極限問題進行了研究，使學生印象更加深刻，便于理解。

【關鍵詞】微積分；重要極限；MATLAB

高等數學是理工類學科的一門基礎課程，在一些文科類學科中也有重要的應用。微積分是高等數學的重要內容，是以極限為研究工具，以函數為研究對象的一門學科。

極限的學習與理解對于整個高等數學的學習起到至關重要的作用，然而極限的概念作為微積分當中的第一個重要概念，相對比較抽象，尤其對于數學基礎薄弱的同學，理解很吃力，影響正門課程的學習。如何調整教學方式方法，幫助學生更好的理解函數極限的概念成為高等數學這門課程的一個熱點問題。

Matlab軟件是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，它將矩陣運算、數值分析、圖形處理和編程技術結合在一起，具有良好的數據可視化和交互式環境。靈活運用這些功能可以使學生在實踐中探索極限的概念，激發學生學習的興趣。本文主要結合筆者的MATLAB應用實踐，用數學實驗的方法探索“重要極限”的概念。

先觀察函數的圖像，程序如下：

>> x1=0.1：-0.001：0.0001；

>> x2=-0.0001：-0.001：-0.1；

>> plot（x1，sin（x1）./x1，o，x2，sin（x2）./x2）；

>> title（y=（sinx）/x）；

>> xlabel（x）；

>> ylabel（y）；顯示圖像，如圖1所示

首先通過描繪函數圖像，研究函數的性質，程序如下：

>>subplot（2，2，1）；

>>fplot（sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>subplot（2，2，2）；

>>fplot（x*sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=x*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>x1=100：100：1000；

>>x2=-1000：100：-100；

>>subplot（2，2，3）；

>>plot（x1，sin（x1）./x1，x2，sin（x2）./x2）；

>>title（y=sinx/x）；

>>xlabel（x）；

ylabel（y）；

>>subplot（2，2，4）；

>>y1=（1./x1）.*sin（1./x1）；

>>y2=（1./x2）.*sin（1./x2）；

>>plot（x1，y1，x2，y2）；

>>title（y=（1/x）*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）； 顯示圖像如圖2所示：

本題考察的4個函數與“重要極限”的表達形式非常接近，學生經?；煜?。本題從圖像的角度，結合理論對函數極限的結論進行了說明，幫助學生區別這幾類極限問題。

如何利用數學軟件進行輔助教學是現代教育研究課題之一，傳統的數學教學強調理論性、系統性、嚴密性的證明，枯燥的理論證明容易使學生失去學習的興趣，本文通過MATLAB的畫圖功能，描繪出函數的圖像，通過觀察了解極限的概念，有助于鞏固學生對重要極限的掌握和理解。

【參考文獻】

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[2]王閃閃，陳曉，蘇倩倩.MATLAB在“函數的極限”教學中的應用舉例[M].電腦知識與技術，2015，24，11.

[責任編輯：楊玉潔]

用萬分之一的天平分別稱取各樣品0.2g于小燒杯中，往小燒杯中加入5mL的濃硝酸于室溫下浸泡至粉末變成土黃色，然后將燒杯置于80℃的調溫板上加熱約3h，使濃硝酸慢慢揮發，再將調溫板調至120℃，使殘余的濃硝酸全部揮發。冷卻后，再加5mL的濃硝酸，繼續加熱，重復此過程直至燒杯中的溶液呈無色。最后，往燒杯中加入2mL的高氯酸，于200℃的調溫板中緩慢蒸干直至燒杯中有無色晶體析出。待冷卻后，加入10%的硝酸溶解樣品并定容至2.5mL，以備用于ICP-AES測定。

1.3 數據統計方法

數據采用 Sigmaplot 8.0 軟件進行處理，選用平均值和標準誤差進行統計分析，使用 SPSS 13.0 對數據進行差異顯著性分析。

2 實驗結果

由表1可知，Cd處理 28d后，對照組旱柳植株各器官中沒有檢測到Cd，而處理組不同器官中的Cd積累量隨著處理濃度的增高而顯著增加。根系是Cd進入植株體內的最初器官，對鎘有明顯的富集作用。處理28天時根部Cd含量達到最大值2984.54？滋g/g，Cd向地上部分轉移量少。鎘在旱柳植株的根、幼莖、葉、老莖木質部、老莖韌皮部富集規律為：根>幼莖>老莖韌皮部>葉>老莖木質部。旱柳植株各器官中Fe和 Mn以及老莖韌皮部中Zn的含量隨著Cd處理濃度增加而減少（P<0.05），Cu在老莖韌皮部中的含量幾乎不變（P>0.05）。但是在旱柳植株除老莖韌皮部的各器官中，Zn和Cu的含量隨著Cd處理濃度增加均呈現先升高后降低的趨勢。

3 分析討論

ICP-AES測定結果顯示，在Cd脅迫下旱柳各個器官中Cd的含量大小順序為：根>幼莖>老莖韌皮部>葉片>老莖木質部，并且，根對Cd的富集量要遠遠大于其他器官。因為根是最先感受逆境脅迫的器官，而且植物根部的特殊結構可能也為根固定大量的重金屬提供了結構基礎。由于根的皮層的存在明顯增加了根的直徑和表面積，這有助于皮層積累大量的Cd[7]。此外，根部細胞的初生細胞壁中的果膠質、纖維素和糖蛋白等形成的網架結構中的網孔，以及果膠質中多聚半乳糖醛酸的羧基基團，對于植物吸收和固定Cd離子均起到很大的作用[3]（表1）。

迄今為止，以植物葉片或地上部分（干重）含Cd量為100mg/kg作為Cd超富集植物的臨界標準。吸收的重金屬Cd可大量遷移至地面是超富集植物的特點之一[8]。本實驗研究結果顯示，10？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd含量達328.65？滋g/g。50？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd積累量達到511.47？滋g/g。100？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd積累量達到667.94？滋g/g。旱柳地上部分富集Cd的量達到了Cd超富集植物的標準，且在賈中民等[9]的垂柳和旱柳對鎘的積累及生長光合響應比較分析研究結果也顯示旱柳富集Cd的能力大于垂柳，所以旱柳在Cd污染土壤的植物修復應用方面有較大的前景和價值。

在Cd脅迫下，Cd 能夠引起植物體內微量元素代謝失衡，而且進入植物體內的Cd會影響其它生長必需元素的吸收和轉運，繼而抑制植株的生長發育[10]。Zhang et al[11]，孫盛等[12]和萬雪琴等[13]研究表明，Cd顯著改變了番茄幼苗、黃瓜幼苗和楊樹體內鐵、錳、鋅、銅的含量。一般認為Cd與Fe、Mn、Zn和Cu等二價金屬元具有相似的化學性質，這些元素在根吸附位點競爭吸收，Cd對Zn、Cu、Mn和Fe等吸收與轉運的影響與植物有關[14]。在旱柳中，Cd抑制根對Fe和Mn的吸收，同時也阻礙了根系中的Fe和Mn向葉部運輸。在旱柳中Cd與Fe、Mn表現為拮抗關系。研究結果表明，低濃度Cd處理會增加旱柳植株對Zn 和Cu的吸收，而高濃度的Cd處理則會減少植物對它們的吸收，這與一些研究結果一致[13，15-16]。因此，Cd對旱柳對Zn 和Cu的吸收的影響具有明顯的劑量效應，即每種元素存在一個Cd的臨界閾值[13]。與此同時，高濃度的Cd可能會通過破壞細胞膜上的離子通道、轉運蛋白和離子載體，從而使該種元素的吸收速率降低，這也是高濃度Cd處理會導致這些營養元素吸收量降低的原因之一。

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[責任編輯：王楠]