明暗交織話建模

徐錚

【摘要】教學“相遇”一課要突出模型思想，可以引導學生在理解數量關系上搭建相遇問題的模型，同時在用方程解決問題的策略上搭建方程思想，讓學生親身經歷了建模的過程，最終掌握了相遇問題的數學本質——“速度×時間=路程”這一典型模型，兩條線一明一暗，相輔相成，有效促進了學生建模思想的形成和解決問題能力的提升.

【關鍵詞】小學數學；相遇問題；方程；模型思想

2013年在“特級教師研修班”的一次磨課活動中，我上了一堂“相遇”.這是北師大版五上的一節課，在此之前，已經分別學習過“路程、時間和速度”，也學過了列方程解應用題，本課在“綜合與實踐”領域中把這兩者結合在一起，要上一節“用方程解決相遇問題”的課，到底該教給學生什么新的東西呢？在備課和磨課的過程中，進行了很多的思考，慢慢明白了這節課，其實就是一個建模的過程，并且不單單是一個模型，而是有一明一暗兩條線，引導學生建模，獲得數學體驗和方法.

一、明線：搭建“相遇問題”的模型

“相遇”這節課，如何讓學生明確什么是相遇問題，并真正理解相遇問題的本質，是本節課的重中之重.我安排了六個環節，由淺入深，螺旋上升，引導學生逐步地揭開“相遇問題”的神秘面紗.

（一）以理想模型為起點

教材中的例題，是在實際公路上的相遇問題，路也不一定是一條直線，對于學生最初接觸到相遇問題時，理解上有一定的難度.于是，我將“相遇問題”最基本的模型抽象出來，用“手指走路”這個游戲展示，是理想中的相遇問題.這樣可以讓學生更快地感知到“相遇”的幾要素，抓住問題最典型的特征.

課堂片段：

師：（在黑板上畫一條線段）在數學中，我們可以把它看成是一段路程.

師：（用食指和中指站立在線段的一端，兩只手指交替在線段上前行）誰能用數學中的一個數量關系來描述我剛才的動作？

生：路程=速度×時間.

師：現在，我想邀請一位同學上來和老師一起走完這段路，誰想上來？

一位學生上來，和老師分別用手指站立在線段的兩端，師喊“開始”，同時出發，相向而行，最終在線段上的某一點相遇.

師：誰能用數學的語言來描述一下，我們剛才是怎么走的？

生：從一段路的兩端同時出發，相向而行，最終相遇.

師：（用大括號標注）這一段是老師走的路程，另外一段是學生走的路程，誰能用一個數量關系式來表示它們之間的關系？

生：老師走的路程+同學走的路程=總路程.

師：像這樣“兩人”從“兩端”“同時”出發，“相向”而行，最終相遇，就是相遇問題，今天這節課，我們就來研究相遇問題.（板書：兩人、兩端、同時、相向）

這段短短的“路”中，學生觀察思考、親身體驗，很快就理解了相遇的幾要素，對相遇問題的最初印象，有了一個清晰的輪廓.

（二）從理想到現實

當然，生活中的相遇問題不可能都是這么理想化的，例題中就出示了學生生活中非常熟悉的乘車問題：

景寧到杭州的公路長540千米，一輛中巴車從景寧出發，每時行駛80千米，一輛小汽車從杭州出發，每時行駛100千米，兩車同時開出，相向而行，經過幾時相遇？

此題中，地點、車輛和事件都是學生們熟悉的，但是和導入又有所區別，導入中的線段是理想中的相遇問題，路程和線段圖一樣，都是直線，而景寧到杭州的路并不是一條直線，中巴車和小汽車也不會在高速公路上真的“相遇”，只是交錯而過.但有了前面的鋪墊，學生們很快就判斷這是一道相遇問題，并寫出了等量關系：中巴車行駛的路程+小汽車行駛的路程=總路程.

（三）從行程到工程

第三個環節，我設計了一道工程問題，因為雖然不是兩輛車相遇，但是這還是在公路上進行的，學生理解起來并沒有難度.

這時，相遇問題的范圍明顯拓寬了，不一定是行程問題，在工程問題中，兩隊從兩端開始修路，最后在中間某點相遇，其本質也是一樣的.為了讓學生更加容易理解，這一題我選擇了用線段圖來展示.并向學生提問：這是相遇問題嗎？引發學生去思考和比較，從而發現甲乙兩隊也是從公路的兩端同時出發，相向而行，最終相遇.從圖上，學生很容易得出：甲隊修的路+乙隊修的路=總路程.

（四）從實遇到虛遇

不管是行程問題還是工程問題，相向出發并相遇還是非常形象的，這樣學生就很容易被思維定式：相遇問題一定要有相遇.在這個時候，及時出現下題就顯得尤為重要：

有一份5700字的文件，由于時間緊急，安排甲、乙兩名打字員同時開始錄入，甲每分錄入100個字，乙每分錄入90個字，錄完這份文件需用多長時間？

課堂片段：

師：這是相遇問題嗎？

生：不是，這是打字，他們沒有開車，也沒有走路，不會相遇.

生：是，我覺得列算式的方法是一樣的.

生：我認為可以看成是相遇問題，我們可以這樣想象：如果把這些字打在一條長長的紙條上，甲乙分別從兩端開始打，當兩人一起把這些字打完的時候，他們倆就相遇了.

生：甲打的字+乙打的字=總字數，可以用前面幾題的方法去做.所以，這也是一道相遇問題.

學生一開始認為不是相遇問題，到逐漸產生懷疑，最后用各種角度來說明它也可以歸到相遇問題，學生腦子中的相遇就由前幾道題的真實相遇到了虛擬相遇，思維的范圍漸漸拓展，離相遇問題的本質也就越來越近了.

（五）總結提升，構建模型

課上到這里，學生也見識到了相遇問題的幾種呈現方式，是該停下腳步，整理和思考一下了.于是，安排了對比和小結的環節.

課堂片段：

課件同時出示四個線段圖和四條等量關系.

師：剛才，我們學習了四道題目，你發現它們之間有什么共同點？

四人小組討論.

生：這些都是相遇問題.

生：它們的等量關系都是差不多的.

生：我覺得它們都是有兩個人、兩個隊或者兩方一起做一件事情.

生：恩，它們都是合作完成一件事情.

師：是啊，只要是兩者合作完成一件事情，我們都可以看成相遇問題，用我們今天學習的方法來解決.生活中還有什么事情是可以看成相遇問題的呢？

生：兩個工程隊蓋房子、兩人一起做零件……

自此，相遇問題的內涵得到了提升，學生心中已經有了一個清晰的模型，明白了只要兩者合作完成一件事情，都可以看成相遇問題，就可以用今天所學的方程來解決.

（六）抓住本質，再次升華

但僅僅到這，并不是相遇問題模型的全部，在拓展部分出示了古代數學著作《九章算術》中的一道題目：今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起.問何日相逢.

這明顯是一道相遇問題，但是總路程并沒有告訴我們，如果我們把總路程看成是單位“1”的話，野鴨和大雁的速度也已知，即可根據“野鴨飛的路程+大雁飛的路程=總路程”來列出方程.

學生發現，當相遇問題的總路程或工作總量沒有告知，而看成是單位“1”的話，題目就變成的工程問題.從本質上說，相遇問題就是工程問題的前身，此時，相遇問題的模型進一步得到了升華.

二、暗線：搭建用方程解應用題的解題策略的模型

在用方程解決相遇問題的過程中，“線段圖—等量關系—列方程解決問題”是密不可分的三環節，為學生正確解決問題區分了梯度、降低了難度，也是學生必須掌握的幾個策略.我安排了以下四個環節，層層遞進，讓學生在不知不覺中構建了解題策略的模型.

（一）初步認識線段圖，體驗等量關系

在導入部分，我先在黑板上畫出一條線段，并和學生在線段上用手指走路，后面用大括號標注了教師走的部分和學生走的部分，寫出了等量關系：教師走的路程+學生走的路程=總路程.此時，黑板上留下的板書其實就是一個線段圖，學生充分經歷了這個線段圖形成的過程，并對線段圖有了動態的認識，對等量關系有了初步的印象，為例題中學生自己嘗試畫線段圖奠定了基礎.并且，留在黑板上的板書，也是對后面不會畫線段圖的同學，提供了一個提醒和示范的作用.

（二）親自設計線段圖，說出等量關系

例題中，先是讓學生用自己會的方法解決問題，有的學生用算術方法，也有的學生在黑板上的等量關系的遷移下，想到用方程解決問題.在展示了學生的方程后，我提問：你能看懂這個方程嗎？能不能根據這個方程畫出線段圖呢？學生開始嘗試畫出線段圖，在巡回指導的過程中，發現部分學生依照原來的平面圖用彎曲的線來畫，提醒學生在數學中我們可以把總路程抽象成一段直的線段.又有部分學生在畫出總路程之后，不知道下一步該做什么，此時就提醒這些學生，看看黑板上的那個線段圖，觀察圖中標注出了什么東西，并在線段圖上說一說等量關系.

（三）依照線段說關系，嘗試列出方程

在剛才的題目中，學生是由文字到方程，再畫出線段圖的，于是在下面的“工程隊”的題目中，我故意不出現文字，而是直接出示線段圖，讓學生根據線段圖，寫出題目中的等量關系，并完成題目.于是這個環節的重點，就由上個環節的“畫線段圖”，轉移到了“寫等量關系”上來.能不能找準等量關系，是準確列出方程的關鍵，因此，這個環節值得我們去濃墨重彩地描繪.

教學片斷：

師：觀察這幅線段圖，你能讀懂什么？

生：有甲乙兩個工程隊，甲單每天修70米，乙每天修50米，他們一起修一條長1200米的公路，幾天可以修完？

師：這是一道相遇問題嗎？它和剛才的題目有什么相同和不同？

生：雖然他們不是走路和開車，但是他們也是從路的兩端同時出發，相向而修，最終把路修完的時候就相遇了，所以我認為是相遇問題.

師：能說一說每一段線段表示什么意思嗎？

生：左邊是甲工程隊修的公路，右邊是乙工程隊修的公路.合起來是總路程.

師：可以用一個等量關系來概括嗎？

生：甲隊修的路程+乙隊修的路程=總路程.

（四）抓住本質建模型，獨立解決問題

前面幾個環節完成之后，學生對列方程解決相遇問題的解題步驟有了較清晰的認識，于是在“甲乙打字”的題目中，安排了鞏固練習，讓學生說一說等量關系，再根據等量關系列出方程，并解決問題.

在這幾個環節中，從線段圖到等量關系到方程，雖然呈現的形式不同，但學生慢慢抓住了最本質的東西，就是“甲完成的+乙完成的=工作總量”.并利用這個關系列出方程，解決了問題.

新課標中明確指出：“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展.”在“相遇”這節課中，讓學生由淺入深的親身經歷了建模的過程，并讓學生不斷地提出質疑和解釋，最終掌握了相遇問題的模型以及用方程解決相遇問題的數量關系的模型，兩條線一明一暗，相輔相成，有效促進了學生建模思想的形成和解決問題能力的提升.

【參考文獻】

[1]趙家臣.淺談小學數學中相遇問題的教學[J].學周刊，2012（25）.

[2]葉萍愷.小學數學的“數學建?！苯虒W策略[J].教育教學論壇，2012（04）.

[3]石俊華.行程問題教學淺議[J].內蒙古教育學院學報，1996（02）.