高等數學在工程經濟學中的應用

荊州理工職業學院 馬 爍

高等數學在工程經濟學中的應用

荊州理工職業學院 馬 爍

本文側重研究高等數學在工程經濟學中的應用，從高等數學的角度討論壽命期無限長的互斥型方案的經濟評價、非線性盈虧平衡分析和靜態模式下設備經濟壽命的確定等問題，指出在工程經濟學教學過程中善于運用高等數學的有關知識，既可以提高自己的教學水平和學術水平，又能加深學生對本門課程的理解。

高等數學 工程經濟學 應用

一、引言

工程經濟學是工程經濟的理論和方法在工程實踐中的具體應用，它以建設工程項目為對象，研究工程技術方案的經濟效益，通過計算、分析、比較和評價，以求最佳工程技術方案。數學在工程經濟學中扮演著非常重要的角色，工程經濟學離開數學寸步難行。因此，教師應苦鉆研高等數學知識，這樣才能把工程經濟學這門課程講透徹，提高自己的教學水平和學術水平，幫助學生理解這門課程。

工程經濟學中涉及大量計算公式，教師在教學過程中不應滿足于課本上公式和關系不經推導而直接給定這一現狀，應該盡力做到運用學生掌握的高等數學知識去分析并解決問題，進一步加深學生對工程經濟學的理解，調動學生學習本門課程的積極性，提高教學效果。

本文從高等數學的角度討論了壽命期無限長的互斥型方案的評價、非線性盈虧平衡分析和靜態模式下設備經濟壽命的確定等問題，指出高等數學知識在工程經濟學課程教學過程中的重要性。研究數學方法怎樣在經濟學研究中發揮作用，無疑對于從事經濟學研究來說具有重要意義。

二、壽命期無限長的互斥型方案的經濟評價

互斥型方案是指在一組方案中選擇其中一個方案，排除接受其他方案的可能性，即方案之間具有互相排斥的性質?；コ庑头桨甘枪こ虒嵺`中最常見的，如一棟樓房層數的選擇、一座水庫壩高的選擇、一座建筑物結構類型的選擇、一個工程主體結構施工工藝的確定等。這類決策問題常常面對的互斥方案的選擇。

通常情況下，各備選方案的計算期都是有限的；但某些特殊工程項目的服務年限或工作狀態是無限的，如果維修的足夠好，可以認為壽命期無限長，如水壩灌溉、運河及高速公路等工程。對于壽命期無限長的方案，可以計算其資本化成本。所謂資本化成本是指項目在無限長壽命期內等額年費用的折現值，可以用CC表示。設等額年費用（或年凈收益）為A，利用高等數學中極限的思想得

例1：有兩個互斥型方案，有關數據見下表，設基準收益率為10%.試求方案可以無限重復下去時的最優方案。

方案 總投資（第0時點）使用壽命（年） 年凈收益方案1 7500 4 3800方案2 12000 6 4000

解：分別計算兩方案壽命期無限長時的凈現值

NPV∞1＝[－7500（A/P，10%，4）＋3800]（P/A，10%，∞)＝14338（萬元）

NPV∞1＝[－12000（A/P，10%，6）＋4000]（P/A，10%，∞）＝12448(萬元)

因為NPV∞1＞NPV∞2，故方案1為最優方案。

三、非線性盈虧平衡分析

盈虧平衡分析又叫“量本利”分析，是根據項目正常生產年份的產量、成本、售價和稅金等因素，確定項目的盈虧平衡點BEP，即盈利為零時的臨界值，然后通過BEP（盈虧平衡點）分析項目的成本與收益的平衡關系及項目抗風險能力的一種方法。由于項目的收入與成本都是產量的函數，根據變量之間的函數關系，將盈虧平衡分析分為線性盈虧平衡分析和非線性盈虧平衡分析?，F實生活中，生產成本往往與產量不呈線性關系，銷售收入和銷售價格也會隨市場情況而變，與產量不可能一直保持線性函數關系。這時就要進行非線性盈虧平衡分析，一般用二次曲線表示。

設成本C＝a＋bQ＋cQ2，收入S＝dQ＋eQ2，其中a,b,c,d,e為常數，Q為產量。

盈虧平衡時S＝C，即a＋bQ＋cQ2＝dQ＋eQ2

整理得（c－e）Q2＋（b－d）Q＋a＝0

此方程是一元二次方程，可求得兩個盈虧平衡點的臨界值Q1和Q2，如圖所示。

（Q1，Q2）區間稱為盈利區，Q＜Q1或Q＞Q2的區間稱為虧損區，使S=C取最大值的Qmax就是企業的最優產量。

求Qmax時可以用導數的知識來解決，過程如下：

例2：某項目固定成本是28800元，單位產品變動成本是400元/件，預計項目投產后其產品售價為2000元/件。根據市場預測，每多銷售一件產品其售價將降低3元，其單位產品的變動將上升5元。求該項目的盈虧平衡點產量、最大利潤點產量。

解：根據題意可知此項目方案是非線性盈虧平衡分析，其收入函數和總成本函數如下：

S＝Q（2000－3Q）

C＝28800＋Q（400－5Q）

盈虧平衡時，S＝C，即8Q2－1600Q＋28800＝0

解方程得，兩個盈虧平衡點產量分別為Q1＝20（件），Q2＝180（件）

項目的利潤為R＝S－C＝－8Q2＋1600Q－28800

四、靜態模式下設備經濟壽命的確定

設備的經濟壽命是指設備從投入使用開始，到因繼續使用在經濟上不合理而被更新所經歷的時間。它是由維護費用的提高和使用價值的降低決定的。我們稱設備從開始使用到其凈年值最高（或等值年成本最?。┑氖褂媚晗轓0為設備的經濟壽命。即設備的經濟壽命就是從經濟觀點（即收益觀點或成本觀點）確定的設備更新的最佳時刻。

靜態模式下設備經濟壽命的確定方法，就是在不考慮資金時間價值的基礎上計算設備年平均成本，使設備年平均成本為最小的使用年份就是設備的經濟壽命。靜態計算法介紹如下：

一般而言，隨著設備使用期限的增加，年運營成本每年以某種速度遞增，運營成本逐年遞增的現象稱為設備的劣化。假設每年運營成本的增量均等，每年運營成本增加額為λ，設備使用期限為n年，則第n年時的運營成本為Cn＝C1＋（n－1）λ

式中：C1為運營成本的初始值，即第1年的運營成本；n為設備使用年限。

除運營成本外，在年等額總成本中還包括設備的年等額資產恢復成本，其金額為，則年等額總成本的計算公式為：

例3：設有一臺設備，購置費為8000元，預計凈殘值為800元，運營成本初始值為600元，年運行成本每年增長300元，求該設備的經濟壽。

即該設備的經濟壽命為7年。

剛開始講授工程經濟學課程時，由于對這門課的認識不深，很多教師誤認為只要將書本上的公式機械地介紹給學生即可。但隨著教學過程的展開，發現運用此種方法進行授課，一方面，學生很難理解公式的來龍去脈，造成課程印象不深，很容易忘記，學習效果不明顯；另一方面，教師沒有深刻研究公式的由來，自己也會感到深深不安。而工程經濟學中的許多公式都可以用高等數學的知識推導證明，在后來的教學過程中，嘗試運用學生掌握的高等教學知識對有關公式進行推導證明，產生的效果比較明顯，學生對工程經濟學的認識更加深刻，同時也促進教師教學水平的進一步提高。

本文僅以壽命期無限長的互斥型方案的評價、非線性盈虧平衡分析和靜態模式下設備經濟壽命的確定等問題為例，實際高等數學在工程經濟學中的應用還有很多，限于篇幅，不再一一闡述。

[1]陸海曙.高等數學在技術經濟學課程教學中的應用[J].中國科技博覽，2009

[2]都沁軍.工程經濟學[M].大連：大連理工大學出版社，2012

[3]張加瑄.工程技術經濟學[M].北京：中國電力出版社，2009

ISSN2095-6711/Z01-2016-12-0238

馬爍（1981—），女，漢族，陜西藍田，碩士，荊州理工職業學院基礎課部講師