基于大學生選課問題的線性規劃模型

王茜

【摘要】本文針對大學生選課問題，分別以選課門數最少及所得學分最多為目標，建立雙目標線性規劃模型，采用不同方法分別利用lingo軟件進行求解，獲得最優方案.

【關鍵詞】線性規劃；雙目標；權重；大學生選課

隨著我國高校教學改革的推進，大學生選修課逐步增多，紛繁復雜的選修課令他們眼花繚亂.如何選擇課程，既要滿足課程間的前后順序和學校的要求，又要符合自己的興趣且達到門數最少.本文利用線性規劃，針對選修門數最少和學分最多，研究了兩種不同的選課模型，利用lingo程序求解，獲得了最優方案.

一、問題的提出

某大三學生，第一學期的必修課只有一門（2個學分）；可供限定選修的課程有8門，任意選修課程有10門.由于有些課程之間有聯系，所以可能在選修某門課程時必須同時選修其他課程，這18門課程的學分數和要求以及相應信息如下表所示.

按學校規定，每名學生每學期所修總分不能少于21學分，因此學生必須在上述18門課程中至少選修19學分，學校同時還規定學生每學期選修任意選修課的學分不能少于3學分，也不能超過6學分.為了達到學校的要求，請為該學生確定一種選課方案.

二、問題分析

由題意可知，我們首先要確定選哪門課的問題，每門課都有選與不選兩種情況.可引入0-1變量xi，即xi=1，選修第i門課，0，不選第i門課，ci表示第i門課的學分.學生選擇選修課時，考慮選修的門數越少越好，修得的學分越多越好.故考慮分別以選修門數和學分為目標建立模型.

三、模型建立與求解

設Z表示選修門數，W表示所修得總學分.

1.建立模型一

得到結果x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x11=1，minZ=5，即最小需要選擇5門課程，編號為1，2，3，4，11.

方案二：由方案1得知，最少選修5門課程.當選修課程門數最少時，所修得學分越多越好，則以學分總數最大為目標，則lingo程序如下：

model：

sets：

kehao/1..18/：x，a；

endsets

data：

a=5，5，4，4，3，3，3，2，3，3，3，2，2，2，1，1，1，1；

enddata

max=@sum（kehao（i）：a*x）；

@sum（kehao（i）：x）=5；

@sum（kehao（i）|i#gt#8：a*x）>=3；

@sum（kehao（i）|i#gt#8：a*x）<=6；

x（1）>=x（5）；x（2）>=x（7）；x（8）>=x（9）；x（6）>=x（10）；

x（4）>=x（11）；x（5）>=x（12）；x（7）>=x（13）；x（6）>=x（14）；

@for（kehao（i）：@bin（x））；

end

得到結果 x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x11=1，max W=21，即在選修5門課程的基礎上，最多可獲得21學分，所選課程編號為1，2，3，4，11.

2.建立模型二

由于學生的偏好不同，對選修課門數與學分重要性的認知不同，考慮對兩者取權重，建立新的模型如下：

目標函數：minY=a·∑18i=1xi-b·∑18i-1cixi，

其中a，b為權重，約束條件同模型一.

利用lingo11.0進行求解，程序如下：

model：

sets：

kehao/1..18/：x，c；

endsets

data：

c=5，5，4，4，3，3，3，2，3，3，3，2，2，2，1，1，1，1；

enddata

z1=@sum（kehao（i）：x）；

z2=@sum（kehao（i）：c*x）；

min=a*z1-b*z2；

a=0.8；b=0.2；

@sum（kehao（i）：c*x）>=19；

@sum（kehao（i）|i#gt#8：c*x）>=3；

@sum（kehao（i）|i#gt#8：c*x）<=6；

x（1）>=x（5）；x（2）>=x（7）；x（8）>=x（9）；x（6）>=x（10）；

x（4）>=x（11）；x（5）>=x（12）；x（7）>=x（13）；x（6）>=x（14）；

@for（kehao（i）：@bin（x））；

end

分取權重（0.7，0.3；0.8，0.2；0.9，0.1）進行比較，取權重a=0.8，b=0.2及a=0.9，b=0.1時，運行結果x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x11=1，最少選5門課程，最大學分21分.

四、結束語

對比上面兩個模型，本文針對大學生選課問題，設置0-1變量，以選課門數最少及所得學分最多為目標，從不同角度，通過設置雙目標以及引入權重將雙目標轉化為單目標的方法，建立線性規劃模型，利用lingo軟件進行求解，所得結果相同，即為最優方案.雙目標模型在生活中的應用較為常見，但求解往往較為復雜，本文引入權重的思想對雙目標模型進行轉化，為雙目標模型的求解提供了新的思路.

【參考文獻】

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