淡水田螺縫合線擬合

唐文獻+吳文樂+張建

摘要：根據淡水田螺的生物特性，首次研究田螺殼螺旋形幾何形狀（縫合線）特征及其分布規律。首先，對田螺殼表面螺旋部和縫合螺旋線等形狀特征進行逆向掃描和特征統計；其次，通過Origin軟件并結合微元法思想擬合出二維螺旋線的數學表達式；在此基礎上建立螺殼三維螺旋線的評價指標集。結果表明，擬合出的2種螺旋線的數學表達式與田螺縫合線相似度極高，從而為農業中螺殼形狀描述研究與仿生應用提供依據。

關鍵詞：田螺；螺旋線；微元法；仿生

中圖分類號： S11+9 文獻標志碼： A 文章編號：1002-1302（2017）01-0189-04

仿生學是生命科學與機械、材料、信息等工程技術學科相結合的交叉學科，具有鮮明的創新性和應用性。仿生學旨在研究和模擬生物體的結構、功能、行為及其調控機制，為工程技術提供新的設計理念、工作原理、系統構成[1-3]。

田螺廣泛分布于湖泊、溪流、池塘、沼澤地、水田、小溝澗等，在寒冷的冬季鉆入泥土中不食不動，待到春暖時期從泥土中向外爬行。觀察常見的螺可發現，螺無論長幼，螺殼的外形總相似[4]。田螺殼本身是一個完整的右旋螺線結構，殼大、薄而堅固，螺殼的生長從殼頂外開始，順著螺管的殼口進行，繞著一根假想中的縱軸螺旋式前進。這種生長方式不僅能維持螺殼基本形狀不變，且無須浪費過多的貝殼質，使其得到足夠的內存空間。陳詩白以北戴河碧螺塔為具體工程實例，探討了如何采用仿生技術開展建筑設計，實現結構體系與仿生形態的一致化[5]。Paolo等對具有代表性的螺旋形仿生建筑進行分析，找出了制約結構技術在形態仿生中開拓發展的原因，認為形態仿生具有廣闊的發展前景[6]。劍橋大學研究表明，有望將螺殼的多種生物學特性在航天、航海事業中推廣應用。然而，現有的螺殼仿生主要集中于建筑行業，仿生只是基于外觀相似，如果將其應用于航天、航海事業，沒有基礎數學的理論支撐將具有潛在危險[7]。

本研究針對螺殼的高強度、大空間、減黏脫附等特性，從數學角度推導出螺殼螺旋線的表達形式，為農業中螺殼形狀研究與仿生海工及航天裝備設計提供數學理論基礎。

1 生物學試驗

試驗基于光學三角原理，采用高精度德國ATOSⅡ型光學掃描儀（技術指標：單幅測量范圍為500×380 mm2；2×2 M像素的CCD相機，分辨率為1 624×1 236像素）對螺殼進行生物學測試，提取殼體表面縫合線的參數值，研究其滿足的數學關系并建立數學表達方程。

以5個典型田螺為對象進行三維掃描，得出螺殼模型。田螺為活性不封閉生物體，體內存在肉質，試驗前需進行預處理，具體操作方法為：將5個外觀相同的成年田螺置于玻璃器皿中，禁食24 h，注入沸水0.5 h后，田螺失去活性，將其內部肉質去除并清理，方可進行掃描試驗[8]。

首先清潔螺殼表面，如果螺殼表面反光嚴重或顏色過深，應噴上顯像劑并在螺殼表面貼5～7個標記點。然后將螺殼固定在儀器測量中心位置開始掃描，每掃描1次順時針旋轉一定角度，保證依次掃描的重合標記點不少于3個。掃描過程中累積旋轉應不小于1周，確保螺殼表面均被掃描。去除圖形外的參考點，使圖形更為簡單，處理更加方便。儀器得到的螺殼表面存在凹凸部分，考慮到計算提取數據點時會影響參數精度，需將凹凸部分刪除并修復。由于田螺表面粘貼標記點，掃描后生成的表面會產生漏洞，可通過系統計算表面的曲率，修復漏洞，得到掃描實體圖。由于現有技術的局限性，掃描出的螺殼不是完整實體，而是由零碎的圖形拼接而成；因此，在精度允許的情況下，利用Geomagic Studio軟件將零碎面構造成曲面片體，以保證模型在UG軟件中能夠高清識別（圖1）。

2 二維螺旋線擬合

常見的螺旋線方程主要有阿基米德螺旋線、對數螺旋線、冪指數螺旋線。對數螺旋線與田螺的縫合線形狀比較接近[9-10]，因此本研究選用對數螺旋線對縫合線進行擬合（圖2）。

2.1 對數螺旋線表達式

2.3 二維表達式的驗證

將擬合出的對數螺旋線方程利用Matlab軟件進行繪制（圖9）。

該圖像呈現出鋸齒螺旋形，與對數螺旋線的圖像存在很大差異，因此將常數轉化為關于θ的函數不合理，只能利用最初的表達式（6）與原始圖像進行對比。將擬合出的對數螺旋線方程利用Caxa軟件進行繪制，與原始坐標所繪制出的螺旋線進行比較（圖10）。

圖10中實螺旋線代表表達式擬合出的曲線，虛螺旋線代表原坐標點繪制出的曲線。初始表達式擬合出的曲線與原始曲線吻合度較高，相似度達到99.32%。雖然擬合過程中在 0～2π范圍內進行取值，但擬合出的圖像適用于任意角度。對其余4只螺殼進行相同的研究步驟，擬合出曲線的相似度分別為98.45%、99.13%、99.61%、98.96%，因此式（4）是描述二維螺旋線最優的表達式，同時也為三維螺旋線的擬合奠定了基礎。

3 三維螺旋線擬合

田螺縫合線的三維圖像與圓錐螺旋線極為相似，現階段國內學者對三維圓錐螺旋線的研究較少，因此存在一定難度。本研究結合合肥工業大學夏鼎立教授的研究[11]對三維螺旋線進行擬合。

三維圓錐螺旋線即動點沿圓錐面上的1條直母線作等速移動，而該直母線又繞圓錐面的軸線作等角速的旋轉運動時，動點在此圓錐面上的運動軌跡（圖11）。田螺縫合線近似滿足其規律，因此對圓錐螺旋線的研究為田螺縫合線數學方程的建立提供了較好方向。

3.1 圓錐螺旋線表達式

由圖12可知，M1M2是三維圓錐螺旋線的一段圓弧，從M1至M2轉過了dτ的角度值，α是圓錐在M2母線與該點切線的夾角，N點是M1在線OM2上的投影，t表示在水平面轉過的角度，ρ代表其極徑。

式（18）中并未提到螺距的關系，但通過二維對數螺旋線與三維圓錐螺旋線的性質可知，螺線在水平面的臂的距離以幾何級數遞增，且錐頂半角也影響著螺旋線的斜度；因此，螺旋線的螺距與兩者密切相關，通過幾何關系可求出每個點的螺距。

3.3 三維圓錐螺旋線的驗證

需對擬合出的數學表達式的合理性進行驗證，將三維圓錐螺旋線在Matlab軟件中的程序圖（圖13）與原始坐標所繪制的螺旋線進行比較。

由圖13可知，擬合出的方程與原始螺旋線非常接近，相似度達到97.23%。對其余4只螺殼進行擬合，相似度分別為98.36%、98.12%、97.19%、99.12%，表明擬合的方程可真實反映田螺縫合線的三維圖像。

4 結論

本研究通過微元思想，將實際生活中田螺表面的縫合線轉化為數學模型，擬合出其二維、三維的數學表達式。通過比較發現，擬合出的數學表達式與原始模型吻合良好，平均吻合度分別達到99.09%、98.00%，能夠較好地反映出真實田螺縫合線的形態，達到了預期效果。本結論為田螺的進一步研究提供了數學依據，并為田螺的仿生研究奠定基礎。

限于本試驗的樣本量較少，本研究結果僅作為初步的研究與探索，今后還需對大樣本螺殼進行研究。

參考文獻：

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