王學俊
化“折”為“直” 巧解最值
王學俊
轉化思想是一種最基本的數學思想,用于解決問題的基本思路是:化未知為已知,把復雜的問題簡單化,把生疏的問題熟悉化,把非常規的問題常規化,把實際問題數學化,實現不同的數學問題間的相互轉化,這也體現了把不易解決的問題轉化為有章可循、容易解決的問題的思想.
【探索活動】
引例:如圖1,在一條小河l(小河的寬度忽略不計)的兩側有兩個村莊A、B,在小河邊修一碼頭P,使PA+PB和最短.
圖1
圖2
【分析】可能你不難發現動點P的位置,連接AB與l的交點即為點P,如圖2.因為兩點之間線段最短,求“共點折線”(有公共端點的折線段)的最值問題,把“折線”轉化為“直線”是解決這一類問題的基本模型.
變式:如圖3,若兩個村莊A、B在小河l的同側,在小河邊修一碼頭P,使PA+PB和最短.
圖3
圖4
【分析】這也是一道求“共點折線”的最值問題,但與上題的不同之處在于:兩定點位于動點所在直線的同側.如圖4,利用對稱性把同側問題轉化為兩側問題,且可保證動點P到A、A′的距離相等,要求PA+PB和最短,只要求PA′+PB和最短,這樣,化“折”為“直”即可解決.
【提煉方法】
求“共點折線”的最值問題方法:
(1)若兩定點在動點所在直線的同側,利用對稱性,把同側問題轉化為兩側問題;
(2)通過化“折”為“直”來巧解最值.
【知識運用】
一、兩折線問題
例1 如圖5,正方形ABCD的邊長是4,點P是CD上一點,且DP=1,Q是對角線AC上任一點,求:QP+QD的最小值.
圖5
圖6
【分析】求動點Q到兩定點D、P的距離和的最小值,就是求“共點折線”的最值問題,你能從復雜的圖形中找到熟悉的原型嗎?
【解題思路】
(1)化同側為兩側:如圖6,找到點D關于動點Q所在直線AC的對稱點B;
(2)化“折”為“直”:連接BP,線段BP的長即為QP+QD的最小值.
因為在Rt△BCP中,BC=4,CP=3,所以BP=5,即QP+QD的最小值為5.
變式:如圖7,在銳角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,求:MN+BM的最小值.
圖7
【分析】這是一道求“共點折線”的最值問題,與之前有所不同的是:點N也是一個動點.要將其轉化為所學的方法解決,必需化“動”為“定”,可先將點N看成一個定點來解決.
【解題思路】
(1)化“動”為“定”:先把動點N看成定點,利用化“折”為“直”找到線段和的最小值.如圖8,作點B關于AD的對稱點B′,連接B′N,線段B′N的長即為MN+BM的最小值.
(2)再把點N看成動點,當點N運動到B′N⊥AB時,線段B′N的長度最小,如圖9.這樣問題就轉化為求一點B′到線段AB的距離.
圖8
圖9
因為AB=4,所以AB′=4,
在△ANB′中,∠ANB′=90°,∠BAC=45°, sin45°=NB′∶AB′,∴B′N=22,即MN+BM的最小值為
【題后反思】求“共點折線”的最值問題,要能從復雜的圖形中找到熟悉的原型,從而把復雜問題簡單化.若兩定點變為一動一定時,可將動點看成定點,把非常規問題常規化.
二、三折線問題
例2 如圖10,在平面直角坐標系中,A(1,3),B(4,1),在x軸上找一點M,在y軸上找一點N,使四邊形ABMN周長最小,求點M、N坐標.
圖10
【分析】圖中A、B為定點,M、N為動點,所以AB長度為定值,要使四邊形周長最小,只要AN+NM+MB和最小,這是一道“三折線”和最小問題.要想用所學的知識來解決,必需遮擋住其中一條折線,使其轉化為“兩折線”問題,找出表示兩折線和的最小線段,再求出與第三條折線和的最小值.
【解題思路】
(1)化“三折”為“兩折”:遮擋住其中一條線段,如圖11,把點M看成定點,線段A′M長即為AN+NM和的最小值.
(2)再求A′M+MB和的最小值,如圖12,線段A′B′長即為AN+NM+MB和的最小值.
(3)要求M、N點的坐標,可先求出直線A′B′的函數關系式,再求它與坐標軸的交點.
圖11
圖12
由對稱可知:A′(-1,3),B′(4,-1).
【題后反思】求“三折線”和最小問題,我們可以遮擋一部分,將其轉化為熟悉的“兩折線”問題求解,再依次求解.以后遇到多折線都可以用這方法.
變式:如圖13,在平面直角坐標系中,A(1,3),B(4,1),在x軸上有兩點C(a,0),D(a+2,0),當a為何值時,四邊形ABDC周長最小.
圖13
【分析】圖中A、B為定點,所以AB長為定值,這也是一個“三折線”和最小問題,但從C、D坐標可看出CD=2,要使四邊形周長最小,只要AC+BD和最小.這與“共點折線”不同的是,這兩條線段沒有公共端點.要想用所學知識來解決,就要使兩條線段有公共端點,可以通過平移變換將其轉化為“共點折線”來解決.
【解題思路】
(1)將兩線段轉化為“共點折線”:如圖14,將點B水平向左平移2個單位,連接CB′,即得到CB′=DB,AC+BD=AC+B′C;
(2)如圖15,當AC+CB′的和最小時,確定點C的位置;
(3)求出直線AB″的函數關系式與x軸的交點即為點C坐標.
圖14
圖15
因為B(4,1),所以B′(2,1),B″(2,-1),
直線AB″的函數關系式是y=-4x+7,
【題后反思】若兩線段無公共端點,要求它們和的最小值,可先通過平移將其轉化為“共點折線”,再化“折”為“直”來求和的最小值.
在解決上述問題的過程中,我們應用了化“折”為“直”、化“動”為“定”、化“三折”為“兩折”等方法,充分體現了用轉化思想解決問題的基本思路,也體現了把不易解決的問題轉化為有章可循、容易解決的問題的思想.
(作者單位:江蘇省常州市金壇區直溪中學)