含參函數的零點問題的處理策略

東北育才雙語學?！●R江寧

函數是每年高考數學中的必考問題.“含有參數的零點問題”涉及等式的分拆與變形、函數圖像和性質的探究，往往要求考生利用多種手段對函數的圖像、性質進行研究，并且問題的解決往往涵蓋函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸等四種數學思想，因此備受命題人的青睞，成為近年高考數學中的熱點問題.

含參函數的零點問題的特點是參數的不同取值對函數的零點產生影響.從題目形式上看分為兩種：一是可分離參數的函數，二是不可分離參數的函數，而后者往往以復合函數的形式出現.下面我們對這兩類問題舉例研究.

一、可分離參數的函數零點問題的處理策略

例1函數f（x）=x2-ax+1在區間上有零點，則實數a的取值范圍是____.

【解析】題意等價于方程x2-ax+1=0，在區間內有解，又x=0不是方程的解，

則f（x）=x2-ax+1的零點問題等價于y=a與y=的交點個數問題，

其圖像如下圖所示：

【總結提升】可以分離參數的函數的零點問題往往是：已知函數零點個數，求參數取值范圍.解決這類問題，我們可以先把所求變量進行分離，然后畫出分離變量后的函數圖像 （函數確定，圖像固定——靜），最后通過平移直線（參數變化，直線平動——動），采用動靜結合的方式，形象直觀地找符合題意的交點情況進行解答.

同時要學會辯證地處理問題，比如有些題目分離出簡單的含參函數更為簡潔，接下來只需要考查該函數隨著參數的變化規律即可，看下面的例子.

例2已知函數，若函數g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個零點，則實數 k 的取值范圍為____.

【解析】題意即求直線 y=k（x-1）與函數 y=f（x）何時有兩個交點.

其圖像如下圖所示：

觀察圖像可知：

①直線 y=k（x-1）過原點或與函數 y=f（x）的圖像相切時，函數 g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個零點.

令 Δ=（2-k）2-4k=0，

③直線y=k（x-1）過原點時，即k3=0也符合題意.

綜上，所求實數的范圍是

【總結提升】同例1一樣，例2利用分離參數的方法，轉換成兩個函數在定義域內的交點個數問題，不同之處在于例2中分離出的是個一次函數，進而將函數零點個數問題轉化成繞一定點的動直線與函數的交點的個數問題.同學們在處理具體問題時，要以分離出哪種形式更簡潔、更利于研究函數的性質為原則.

例3已知函數恰有三個零點，則實數m的取值范圍是____.

【解析】因為x=0不是函數f（x）的零點，

m=0 時，函數 f（x）無零點，

故只需討論x，m≠0的情況即可.

綜上，m的取值范圍是m＞1.

【總結提升】例3分離參數時，同學們可能采用了不同的分離參數方式，如分離出等，但是為了方便畫函數圖像，這里采取了分離出.對比以上三個例題，同學們在分離參數時要學會權衡拆分成何種形式更為簡潔.

在這里還要提醒同學們在轉化與化歸過程中，注意方程的等價性，請看下面的例子.

例4若關于x的方程有四個不同的實數根，則實數k的取值范圍是____.

【總結提升】例4和例3的分離參數的方法相同，但是在化簡時，兩邊同時約掉了，注意x=0就是方程的一個解，我們只需要研究化簡后的方程有三個不為零的解即可.對比以上兩個問題，在分離參數時不僅僅要注意分離的形式不同，還要注意在整理變形時可能會出現導致零點個數發生改變的情況.

鞏固練習

參考答案：

1.A2.B3.0，1]（4.（-∞，0）∪（0，1）

二、不可分離參數的函數零點問題的處理策略

不可分離參數的函數零點問題往往以復合函數的形式出現，處理這類問題的關鍵是采用換元法將內外層函數分開，再利用分離參數的方法研究.這類問題的處理方式有兩種：一是由內而外分析.研究由于自變量的變化導致內層函數變化，再研究由內層函數的變化導致外層函數變化；二是將內層函數進行換元，由外而內進行研究.下面我們對這兩種研究方式舉例說明.

例5已知函數若f（f（x））=t有 3 個零點，則 t的取值范圍是 ____.

【解析】f（x）的圖像如圖所示：

令 f（x）=m，

則由于x的變化，m隨之變化，進而f（m）隨之變化.

其變化情況如下表：

x 0→1　1→3 m=f（x）　1→3　3→0 f（m）　3→0　0→3→1

因此 f（f（x））=t解的情況可由下圖分析：

由圖像分析得，要使 f（f（x））=t有 3 個零點，只需 1≤t＜3 即可.

例6已知y=f（x）是定義域為R的偶函數，當，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a，b∈R）有且僅有6個不同的實數根，則實數a的取值范圍是____.

【解析】作出函數 f（x）的圖像如下：

如圖可知， f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，

當 x=0 時，函數取得最小值 f（0）=0.

要使關于x的方程

有且僅有6個不同實數根，

設 t=f（x），

當 t＜0，方程 t=f（x）有 0 個根，

當 t=0，方程 t=f（x）有 1 個根，

則t2+at+b=0必有兩個根t1、t2，

則有兩種情況符合題意：

例7已知函數，方程 f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，則t的取值范圍是____.

其函數圖像如圖所示：

要使方程 f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實根，令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應有兩個不等根m1，m2，且

【總結提升】

1.復合函數的零點問題處理方法有兩種：

一是由內及外的分析方法，例5研究的思路是由x的變化分析m的變化情況，再研究f（m）的變化規律.進而利用分離參數的方法解決.

二是由外及內的分析方法，如例6設t=f（x），進而將問題轉換成t2+at+b=0的兩個實根t1、t2與f（x）的交點個數問題.

2.例7和例6相比區別在于：m1，m2的范圍不僅僅是，還要滿足 mm=1，這樣才12導致了t的范圍發生了進一步的改變.同學們思考一下將例6中的b改成又會有什么改變？（提示：兩根之差為定值）

鞏固練習

1.已知函數f（x）=3sin2x-sinx+a在x∈0，2π）[有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.

參考答案：

2.c=0，-1＜b＜0；

3.b＜-2；

4.[1，54）

本文主要針對含參函數的零點問題進行研究，考生要把握好怎樣分離參數，分離出哪種形式才能使問題的解決更加簡潔，同時注意整理化簡時零點個數是否發生改變，最終把問題轉換成兩個函數圖像相交交點個數問題來處理，采用動靜結合的方式，形象直觀地找出符合題意的解.對于復合函數的零點問題要把握好內外兩層函數之間的關系，采用由內而外或者由外而內的思路，利用換元法轉換成可以分離參數的形式去解決.只要我們適當轉換靈活應對，相信在考試中一能取得優異成績，祝同學們2017高考成功！