淺談《高等數學》在高考立體幾何中的應用

李強

摘要：在平面解析幾何中，通過坐標法把平面上的點與一對有序數對應起來，從而可以用代數方法來研究幾何問題.空間解析幾何也是按照類似方法建立起來的.高考數學立體幾何解答題的設計，注意到求解方法既可以用傳統的幾何方法，又可用向量方法來處理，但是高中數學用向量方法處理時計算量比較大，容易出錯是很多高中生頭痛的問題，尤其是在求平面法向量時過程較為復雜，本文結合高等數學中空間解析幾何的內容，給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.

關鍵詞：高等數學；高考；立體幾何；空間解析幾何

1.兩向量的向量積

定義1.1 兩個向量 與 的向量積（外積）是一個向量，記作 ，它的模是

其中 為 與b間的夾角. 的方向與 與 都垂直.（圖1）.

（圖1）

定理1.1 兩個不共線向量 與 的向量積的模，等于以 與 為邊所構成的平行四邊形的面積.

定理1.2 兩向量 與 共線的充要條件是 0.

證 當 與 共線時，由于sin=0，所以 |ab|=|a||b| = 0，從而ab0；反之，當ab 0時，由定義知，a =0 ，或b =0，或sin = 0，a ∥ b，因零矢可看成與任向量都共線，所以總有a // b，即a與b共線.

定理1.3 向量積滿足下面的運算律

（1）反交換律 a b b a，

（2） 分配律（a b） c a c b c，c （a b） c a c b.

（3） 數因子的結合律（a） b a （b） （a b） （為數）.

定理1.4 設定理1..4 設 ，則

為了幫助記憶，可利用三階行列式符號將上式形式地寫成

使用時可按第一行展開.

例1 設a （2 1 1），b（1 1 2），計算ab

解

2.高中向量解空間立體幾何基本思想

2.1平行與垂直的判斷

（1）平行：設 的法向量分別為 ，則直線 的方向向量分別為 ，平面

線線平行 ∥ ∥ ；線面平行 ∥ ；

面面平行 ∥ ∥

（2）垂直：設直線 的方向向量分別為 ，平面 的法向量分別為 ，則

線線垂直 ⊥ ⊥ ；線面垂直 ⊥ ∥ ；

面面垂直 ⊥ =0

2.2夾角與距離的計算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐標運算

（1）夾角：設直線 的方向向量分別為 ，平面 的法向量分別為 ，則

①兩直線 ， 所成的角為 （ ）， ；

②直線 與平面 所成的角為 （ ）， ；

③二面角 ─l ─ 的大小為 （ ），

（圖2）

例3、如題圖3，在五面體 中， ∥ ， ， ，四邊形 為平行四邊形， 平面 ， .求：

（Ⅰ）直線 到平面 的距離；

（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值.

（圖3）

解（Ⅰ）如圖以A點為坐標原點， 的方向為 的正方向建立空間直角坐標系數，則

A（0，0，0） C（2，2，0） D（0，2，0）設 得 ，由 .即 ，解得 ∥ ，

面 ，所以直線AB到面 的距離等于點A到面 的距離。設A點在平面 上的射影點為 ，則 因 且 ，而 ，此即 解得 ①，知G點在 面上，故G點在FD上. ， 故有 ② 聯立①，②解得， . 為直線AB到面 的距離. 而 所以 .

（Ⅱ）因四邊形 為平行四邊形，則可設 ， .由 得 ，解得 .即 .故

由 ， 因 ， ，故 為二面角 的平面角，又 ， ， 所以 .

3向量積在高考立體幾何中的應用

在第一節中我介紹了向量積的大小和方向問題，向量積的方向就是兩個向量的所在平面的法向量，而我們在第二節中介紹了在高考中用向量法解立體幾何時重點是如何去求法向量，在這個基礎上我把兩個內容有機的結合起來就得到我們的“秒求法”求法向量。

在例題3中設A點在平面 上的射影點為 ，則 因 且 ，而 ，此即 從而求解出法向量 .

我們可以用求兩個向量向量積的方法求法向量，

法向量在不為零向量的情況下與長度無關，亦可?。?，1，2）作為平面的法向量.

4結論

本文通過對高等數學的深入研究與高考數學立體幾何解答題的設計有機結合，用高等數學中空間解析幾何的內容，給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.對即將參加高考的同學有很大的幫助，同時為準大學生們對高等數學有一定認識，提高了即將要學習高等數學的興趣.

參考文獻：

[1]王福楹等.高等數學第七版冊[M].上海：同濟大學，2014：17-20.

[2]文尚平.5年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學，2016：129-152.