良好的開端是成功的一半

劉榮軍

新課標人教A版高中數學教材為每一章的起始課準備了較為豐富的教學內容——章引言和章頭圖.章引言通常是對本章所學內容、思想方法做一個簡要的介紹，發揮 “先行組織者”的作用，章頭圖往往展示本章內容在科學技術中的應用，傳播數學文化，起著“導游圖”的作用。本文結合筆者自己在起始課方面作的一些教學嘗試，針對不同的教學內容，就如何合理設計相應的章起始課，作些粗淺的探討，力求發揮起始課在全章內容學習中的指南作用，促進學生對數學知識本質的理解，提高教學效率。望能引起同行的重視與共鳴。

一、設計一個探究過程，體驗章節靈魂

高中數學有些章節的學習，帶有過程性、整體性，需要學生通過參與對數學問題的探究，探討研究方案，探索研究過程，體驗、領會數學思想，才能達到整體把握全章的學習要求。

必修3《統計》一章主要介紹最基本的獲取樣本數據的方法，以及幾種從樣本中提取信息的統計方法，其中包括用樣本去估計總本分布、數字特征和線性回歸等內容。因此，對本章內容的教學，重點應在讓學體會統計的基本思想方法，培養學生對原始的樣本數據的處理能力。本章起始課的以下教學實錄，筆者認為頗有新意，是恰當、合理的起始課設計。

《統計》起始課（一課時）教學實錄：

環節一：交流與探討

師：同學們，小學、初中我們了解了有關統計的基礎知識。今天我們將進一步學習它。今天我們將通過對幾個實際問題的討論，來了解本章要學什么，怎么學。對每個問題，同學們要認真思考，可以與同學討論，并積極發表的見解，希望同學們的思考與討論能為本章內容的學習帶來啟發。

背景材料：據報道，北京第29屆奧運會是轉播規模最大的一次，有8.4億中國電視觀眾收看了開幕式，有6.5億中國觀眾觀看閉幕式。

問題：8.4億，6.58億，這兩個數據是怎么得來的？

學生1：調查了全國13多億中國人得出來的。

師：就是說普查，其它同學有不同意見嗎？

學生2：調查過你了嗎？如果是普查，不可能這么快獲得數據，一定是抽查。

師：你認為是怎么抽查的。

學生3：從上海、北京等大城市抽查，方便些。

學生4：不行，上海、北京是發達地區，電視機擁有率高，不能代表全國。

師：說得很好，如何使抽取的樣本具有代表性是本章要關注的內容之一。

環節二：自主學習章引言

教師指導學生去看書：章引言和章頭圖，了解我國沙漠化土地面積，及其年擴展速度；我國淡水人均占有率在全界的排位；我國主要城市缺水量的條形統計圖等。

師：這些數據的獲得都依賴于普查和抽樣調查。普查和抽樣調查是統計的主要手段，并分析普查和抽樣調查的利弊。

環節三：統計案例分析與解決策略探討

案例：某大魚塘養有某品種魚。

問題1：你有什么辦法知道池塘中魚的產量嗎？

學生討論結果：需知道大約條數（總體的個體數），每條魚的平均質量（總體的平均數）。

問題2：如何估計總體個體數？

由于這個問題較難，由教師提供解決方案：從魚塘中隨機地撈出m條魚，并做上記號，重新均勻地投放回魚塘。過幾天，重新隨機地撈出N1條。計其中有標記的魚的條數為，魚的總條數N，利用，可近似地估算出N，并說明m與要足夠大。

問題3：如何估計每條魚的平均質量？

學生：被抽取的魚（樣本）的平均質量當作所有魚的平均質量。

師：很好，就是本章要學的“用樣本平均數估計總體的平均數”。

評析：該教師不惜時間，肯花一課時在看似與第一節內容無關的教學內容之上，設計實際案例，讓學生通過對案例問題的探究和解決，體驗章節靈魂。其實，我認為它的收獲并非某一節有具體教學內容的數學課所能比的。

二、勾畫一條研究軌跡，展現章節藍圖

選修《數學1-2》的第三章“數系的擴充與復數的引入”的起始課設計：

環節一：勾畫研究軌跡

回憶兩次大的數系擴充的背景與過程（基于所學內容）

1.從整數集到有理數集。背景：1個蘋果平均分給3個小朋友，為了能表示出每個小朋友分到蘋果的數量。引入分數。整數集中添加了分數就成了有理數集。然后，定義了有理數集上的運算，并且使整數在整數集中的運算與在有理數集中的運算保持一致。

2.從有理數集到實數集。背景：為了使方程有解，引入了無理數，有理數集中添加了無理數就成了實數集。然后，定義了實數集上的運算，并且使有理數在實數集中的運算與在有理數集中的運算保持一致。

環節二：引出復數概念

由數學內部的矛盾x2+1=0在實數集中無解為認知沖突，引發對數集的范圍進行擴充的必要性.

解決方案：先規定，從而引入虛數i，實數集R中添加i后，規定i可與實數可進行四則運算，于是新數集中便有等數。歸納：新數集中的數均可表示成形如的數。這樣就建立了復數的概念，實現從實數集到復數集的成功擴充。

環節三：展現章節藍圖

介紹本章的主要學習內容：復數的幾何意義、運算與運算律。

介紹復數的地位與作用。復數是16世紀人們在討論一元二次方程、一元三次方程的求根公式時引入的.它在數學、力學、電學及其其他學科中都有廣泛的應用.復數與向量、平面解析幾何、三角函數等都有密切的聯系，也是進一步學習數學的基礎.

這樣的起始課設計，以知識的發生發展為線索，勾畫出與本章知識相關的一條研究軌跡，展現章節藍圖，增強了學生學習復數的興趣.

三、策劃一類類比對象，借鑒研究手段

高中數學有些章節與以前所學章節在內容上具有類比關系。這些章節的起始課可以著眼于“向學生揭示兩個類比對象間的類比關系，讓學生借鑒研究手段”進行設計。例如立體幾何既是平面幾何的延續，在研究方法上又與平面幾何有著類比關系。這一章起始課可以作如下設計：

環節一：學習章引言與章頭圖，提出課題。

經典的建筑給人以美的享受，你想知道它的奧秘嗎？我們生活在現實的空間之中，現實的物體并不是“平面的”，而是空間幾何體。本章將研究空間幾何體的形狀、大小、位置關系等，這就是立體幾何。

環節二：分析類比、借鑒研究手段、明確研究方向

回顧平面幾何的研究內容：平面圖形（三角形、四邊形、圓等）、平面的基本元素（點、線）及其相互關系。如直線與直線的位置關系，平行、垂直的判定與性質。介紹立體幾何的研究內容：空間幾何體、空間的基本元素（點、線、面）及其相互位置關系。如要學習直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的判定與性質。

四、創設一些實際背景，引出數學概念

有些章的核心數學概念有著現實背景，它的起始課應該著眼于“數學建?！钡倪^程設計。如選修1-1《導數及其應用》的起始課設計：

環節一：自學章引言

學生通過自學章引言，了解微積分的發展史。教師指出導數是微積分的核心概念之一，引發“到底什么是導數”的懸念，激發學生的求知欲望。

環節二：創設實際背景，引出概念

創設實際背景：氣球的平均膨脹率與瞬時膨脹率、高臺跳水運動員的的平均速度與瞬時速度。抽象與概括：由瞬時膨脹率、瞬時速度提煉出函數的瞬時變化率，就是導數的概念。

環節三：探討導數的幾何意義，揭示導數應用。

探討導數的幾何意義?；谄鋷缀我饬x，引介紹導數在研究函數的單調性、極值、最值等性質上有著重在的作用。

學生通過這樣的起始課學習，既能了解導數知識的來龍去脈，又能理解導數概念的本質，特別是搭建了全章知識的框架。

五、建立一些數學概念，介紹章節引言

有些章引言的教學，涉及一些專業術語，需要建立一些必要的概念，并由此引發本章學習內容的話題.

以數學選修2-3A版中的第二章《隨機變量及其分布》為例.先讓學生了解隨機變量概念產生的必要性一一為了用數學的方法研究隨機現象，把隨機試驗的結果用一個數字來表示，即在隨機試驗的結果構成的集合與實數集合之間建立映射，把隨機試驗的結果數學化.這樣一來，隨機試驗的結果發生的概率就與數學化之后的實數建立了一種函數關系，就可以運用數學的方法來研究隨機現象。當學生明白了這一邏輯關系之后，再介紹章引言中的內容“把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，就可以利用數學工具來研究所感興趣的隨機現象.

六、總結

良好的開端是成功的一半，章起始課是一章的開始，應得到我們的足夠重視。起始課內容不要增加學生的負擔，讓學生產生畏懼心理，而應以“激發學生的學習興趣，了解全章學習的路線圖”為根本目的。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書.數學（A版）.必修1-5，選修系列2.人民教育出版社.

[2]陶維林.中小學數學（中學版）.研究章引言，上好起始課.