例談解析幾何中的多動點最值問題的求解

甘肅省康樂縣康樂中學 齊斌德

例談解析幾何中的多動點最值問題的求解

甘肅省康樂縣康樂中學 齊斌德

解析幾何是高中數學中的重要知識點,是“數形結合”這一數學思想方法的集中體現,圓錐曲線中的一些最值問題是近幾年高考中的熱點,而其中的多動點問題,由于動點多,導致涉及面加大,如果不掌握一些方法,往往在紛繁復雜的情況下理不出頭緒來.所謂“多動點”問題,就是題目中的動點不止一個,而是有多個,某一動點運動時會帶動或制約其他一些點的運動,在這種錯綜復雜的情況下,會有一種“山重水復疑無路”的感覺,但是我們如果能夠盡可能地使動點的數目減少,往往就會出現“柳暗花明又一村”的局面.現就這種情況下求最值問題談一些方法.

一、動點轉化為定點

例1已知點P是拋物線y2=2x上的動點,點P到準線的距離為d,且點P在y軸上的射影是M,點則

|PA|+|PM|的最小值是()

分析 本問題的實質是求折線段APM的最小值,而在這個問題中有P、M兩個點在同時運動,給解決問題帶來了一定的困難,如果能夠將其中的一個動點轉化為定點,則會使問題變得簡單.考慮到拋物線的焦點F為一個定點以及拋物線的定義,可以嘗試著將動點M朝著定點F轉化,這樣就可以將原來問題中的兩個動點轉化為一個動點,從而使問題得以解決.

圖1

(當且僅當A、P、F三點共線時取等號),因此|PA|+|PM|的最小值為因此選擇B.

例2 若點P在拋物線y2=x上,點Q在圓C∶(x?3)2+y2=1上,則|PQ|的最小值為____.

分析 該問題所求的是P、Q兩點之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點都是動點,給解決問題帶來了困難,但是考慮到拋物線的焦點和圓C的圓心是定點,圓C的半徑為定值,如果能夠將兩個動點中的一個和上述的定點和定值建立聯系,就會使問題變得簡單.

解 如圖2,

圖2

欲求|PQ|的最小值,只需要求|PQ|+|QC|的最小值即可,而|PQ|+|QC|≥|PC|(當且僅當P、Q、C三點共線時取等號),的|PC|最小值即為|PQ|+|QC|的最小值.設P(x0,y0),則

(x0≥0),易知此時|PQ|取得最小值

例3(2015年湖南卷)已知點A、B、C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0),則的最大值為()

A.6 B.7 C.8 D.9

圖3

解 如圖3,

當cosθ=1即θ=0時,上式取得最大值7.

二、固定部分動點

例4設P是圓(x?3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=?3上的動點,如圖4,則|PQ|的最小值為_______.

圖4

分析 該問題所求的是P、Q兩點之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點都是動點,給解決問題帶來了困難,這時可以考慮將其中的一個動點固定.

解 不妨將點Q固定,則問題轉化為求圓C外一定點Q到圓C上的點P的距離最小的問題.顯然,當C、P、Q三點共線時,

所以當|CQ|最小時,|PQ|也最小.問題轉化為求圓心C到直線上的動點Q的最小值問題,易知當CQ與直線x=?3垂直時,|CQ|min=6,所以|PQ|min=6?2=4.

再來看例2,如圖5,同樣是求P、Q兩點之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點都是動點,可以考慮將其中的一個動點固定.不妨將點P固定,則問題轉化為求圓C外一定點P到圓C上的點Q的距離最小的問題.顯然,當C、P、Q三點共線時,

所以當|CP|最小時,|PQ|也最小.問題轉化為求圓心C到拋物線y2=x上的動點P的最小值問題,設P(x0,y0),由(1)式易得,此時|PQ|取得最小值

圖5

三、構造新定點

例5已知P是圓(x?2)2+y2=1上的動點,Q是y軸上的動點,A(1,2)為定點,求|AQ|+|QP|的最小值.

分析 本題實質上是求折線段AQP的最小值,因此解決本題的關鍵是化折為直,而目前的條件下很難實現這一目標.實質上,我們只要對A作對稱變換,找到一個新的定點,就可以將折線段化為直線段.

解 如圖6,作點A關于y軸對稱的點A′,則|A′Q|=|AQ|,從而

圖6

問題轉化為求折線段A′QP的最小值,顯然,當A′QP是直線段時長度最小,問題轉化為求圓C上的一個動點P到圓外一定點A′的最短距離,由圓的性質可知當P、C、A′三點共線時,|A′P|最小,最小值為 =|A′C|?|CP|,所以

解析幾何不但強調用代數的方法研究幾何問題,還強調用“幾何要素”來引導代數形式的運算和證明.解析幾何中類似以上的多動點問題是學生在學習中的難點,在實際的問題解決中,可以結合題目中的信息畫出對應的圖像,結合圖形的一些特征,尋找題目中動的量與靜的量之間的聯系,化動為靜,變多動點問題為單動點問題,從而解決相應的問題.