王丙森
人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》(A版)選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”第2.2節“橢圓”給出了橢圓的定義:平面內與兩個定點的距離和等于常數(常數大于兩定點間距離)的點的軌跡叫做橢圓.通過研究教材筆者發現,在教材中還隱藏著一些橢圓的其他定義方法,值得我們去發現和發掘.
定義1:如圖1,教材中通過探究固定兩點,用繩畫橢圓的方法給出橢圓第一定義:平面內與兩個定點F1,F2距離的和等于常數(常數大于│F1F2│)的點的軌跡叫做橢圓.定點F1,F2叫做橢圓的焦點,焦點的距離│F1F2│叫做橢圓的焦距.
定義2:如圖2,教材P47例6和教材P50“信息技術應用”部分“用幾何畫板探究點的軌跡”給出了橢圓第二定義:若點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到直線l:x=■的距離的比是常數■(a>c>0),則點M的軌跡是橢圓.定點F(c,0)是橢圓的一個焦點,直線l:x=■稱為相應于焦點的準線.
定義3:如圖3,在教材P42“探究與發現”部分閱讀材料“為什么截口是橢圓”中,給出了橢圓的截面定義:用一個不與圓錐底面平行的平面去截一個圓錐,若截口是封閉的曲線則為橢圓,這也解釋了為什么圓、橢圓、雙曲線、拋物線叫圓錐曲線,書中用數學家旦德林的方法給予了證明,使橢圓的第一定義與橢圓的截面定義完美結合.
定義4:如圖4,由教材P41例2能得到橢圓的壓縮定義:橢圓可以由圓上的點“均勻壓縮”得到,這體現了圓與橢圓的關系.
定義5:如圖5,通過教材P41例3可得出橢圓的斜率定義:設點A(-a,0),B(a,0),直線AM、BM相交于點M,且它們斜率之積是-■,則動點M的軌跡方程是■+■=1(x≠±a).
定義6:如圖6,教材P49習題2的2B組可由直線相交得到橢圓:作一個矩形長為2a,寬為2b,如圖建系,若在線段OF上任取點R,在CF上取點R',滿足■=■,則直線ER和GR'的交點L的軌跡為橢圓的一部分,其方程為■+■=1(x≥0,y≥0).
定義7:教材P49習題2的2A組:若點M(x,y)在運動變化過程中總滿足■+■=10,則點M的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程.
方程可以看成一個動點到兩個定點的距離和為定值的點的軌跡,且距離之和大于兩個定點間距離,所以點M的軌跡是橢圓,方程為■+■=1.
通過此習題推廣到一般,可得到橢圓第一定義的等價式:
│MF1│+│MF2│=2a(M(x,y),定點F1(0,C), F2(0,-C), 2a>│F1F2│),
?圳■+■=2a
?圳■+■=1(b2=a2-c2).
由此可以得到橢圓的文字語言、幾何語言和數學符號語言,使代數與幾何圖形完美地結合,體現了解析幾何的基本思想:利用條件建立曲線的方程,通過方程研究曲線的性質,同一種曲線可以有不同的產生和形式.
定義8:如圖7,教材P49習題2的2A組:圓O的半徑為定長r,A是圓O內一個定點,P是圓上任意一點,線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q 的軌跡是什么?為什么?點Q的軌跡是橢圓,根據條件可得│QO│+│QA│=r(r>OA),所以由橢圓的定義:點Q的軌跡是橢圓.
由上述對教材中橢圓定義的探究和發掘,可知教材的重要性,并得到以下啟示:
1.教師教學要立足于教材
高中數學知識有很強的系統性,從教材目錄開始,到每一章的全部內容,再到每個知識點的引入、定義的產生、公式的形成,教材中都有完整的展示.教師要準確地把握教材,體會教材的編寫意圖,掌握教材的整體框架,讓學生在教材中學習數學知識的系統性和邏輯性,掌握數學思想和數學方法,清楚數學的本質.
2.教師要超越教材
在人教版《數學》教材中,每一節都設置有“觀察”“探究”“思考”“課后閱讀”“例題”“習題”,教師要學會優化教材結構,對教材進行創造性的整合和加工,將教材變成學生易于接受的數學知識.對例題、習題進行適當變式,培養學生思維的發散性和靈活性.
3.教師要把握考點
高考考點在書中,課本是試題之源,試題在書外,教師要在掌握教材方法的基礎上向外拓展,提高學生的數學能力,使其順利解答各種題目.教師要深入挖掘教材和高考的關系,讓學生從書山題海中解脫出來,使學生的數學邏輯思維水平得到真正的提高.
總之,教材是知識的載體,教師的教學內容來源于教材,同時又要高于教材.教材是高考命題之本,教師要學會對教材進行挖掘和整合,學會全面審視教材,理解和掌握數學的本質,通過教材激發學生學習數學的興趣,為學生提供豐富的數學思想和方法,培養學生學好數學,用好數學的意識.endprint