二項分布要點解讀

寇玉琴

二項分布是離散型隨機變量中繼“兩點分布”“超幾何分布”后的又一常見的、重要的隨機變量的概率分布.其分布的特殊性以及與組合、概率等的綜合性，使它成為近幾年高考中的高頻考點. 本文從二項分布的概念、二項分布的三種常見題型兩個大方面出發，列舉幾個典型范例加以解讀，以期幫助讀者有效掌握二項分布知識，準確解答二項分布問題.

辨析二項分布模型，正確寫出分布列

例1 在一次數學考試中，第題和第題為選做題. 規定每位考生必須且只需在其中選做一題. 設名學生選做每一道題是相互獨立的，且選做每道題的概率均為.

（1）求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；

（2）設這名考生中選做第題的學生個數為，求的分布列.

解析 （1）設事件表示“甲選做第”，事件表示“乙選做第”，

則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“，且事件相互獨立.

故

.

（2）由題意知，隨機變量的可能取值為且.

則.

故變量的分布列為

[ ]

點評 題目中“名學生選做每一道題是相互獨立的，且選做每道題的概率均為”，說明了它是4次獨立重復試驗，并且每次事件發生的概率都是. 因此它符合二項分布的兩個條件，是典型的二項分布模型.

例2 在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球和個黑球，乙箱子里裝有個白球和個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個箱子里各隨機地摸出個球，且每次游戲結束后將球放回原箱. 若摸出的白球不少于個，則獲獎.

（1）求在一次游戲中摸出個白球的概率；

（2）在兩次游戲中，記獲獎的次數為，求的分布列.

解析 （1）記“在一次游戲中摸出個白球”為事件，事件的概率為，

則.

故在一次游戲中摸出3個白球的概率.

（2）記“一次游戲獲獎”為事件，事件的概率為，

則.

而獲獎次數為的所有可能取值為0，1，2，

由題意知，.

，

，

.

則的分布列為

[ 0 1 2 ]

點評 “每次游戲結束后將球放回原箱”點明了是有放回地次摸球試驗，這是典型的二項分布模型. 值得注意的是，有時超幾何分布在產品數量相當大時，也可以近似地看成二項分布.

判斷某隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：（1）是否為次獨立重復試驗，在每次試驗中事件發生的概率是否均為；（2）隨機變量是否為在這次獨立重復試驗中某事件發生（不發生）的次數.

掌握二項分布概念，會計算期望和方差

例3 （1）同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在次試驗中成功次數的均值是 .

（2）一批產品的二等品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數，則 .

解析 （1）由于同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，

所以這次試驗成功的概率是.

因此在2次試驗中成功的次數.

則.

（2）由題意知，該事件滿足獨立重復試驗，是一個二項分布模型，其中，.

則.

點評 這道題的選材來源于生活，是同學們熟悉的背景，容易入手. 題目中“有放回地抽取”就說明了它是二項分布模型. 另外，本題考查的是二項分布的期望與方差，直接用公式計算比較簡單.

明確交匯知識，建立數學模型

例4 近幾年來，某地區經常出現霧霾天氣，學校為了學生的健康，對課間操活動做了如下規定：課間操時間，若有霧霾，則停止組織集體活動；若無霧霾，則組織集體活動. 預報得知，這一地區在未來一周從周一到周五天的課間操時間出現霧霾的概率是：前天均為%，后天均為%，且每一天出現霧霾與否是相互獨立的.

（1）求未來一周天至少一天停止組織集體活動的概率；

（2）求未來一周天不需要停止組織集體活動的天數的分布列；

（3）用表示該校未來一周天停止組織集體活動的天數，記“函數在區間上有且只有一個零點”為事件，求事件發生的概率.

解析 （1）未來一周天都組織集體活動的概率是：，

則至少有一天停止組織集體活動的概率是：.

（2）由題意知，的取值是.

，

，

，

.

則不需要停止組織集體活動的天數的分布列如下表.

[ 0 1 2 3 4 5 ]

（3）因為函數在區間上有且只有一個零點，且，

所以

所以

所以

所以事件發生的概率為：

+

點評 次獨立重復試驗是相互獨立事件的特殊情況.當相互獨立事件發生的概率部分相同時，可以用二項分布公式來表達.

例5 為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸（單位：cm）. 根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布. 假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望.

附：若隨機變量服從正態分布，則，.

解析 由題意知，尺寸落在之內的概率為.

則尺寸落在之外的概率為.

因為，

所以.

則.

點評 二項分布與頻率分布直方圖（或莖葉圖）、正態分布、獨立性檢驗等的綜合已經成了高考的創新題型與高考一大亮點. 解決二項分布的創新性、交匯性問題，務必要明確交匯知識，正確應用相關知識，建立恰當的數學模型求解.endprint