一個圓錐曲線問題的推廣及應用

我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式。

一、圓錐曲線的性質

1. 圓錐曲線焦點位置的判斷

（1）橢圓：由，分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 （答：）

（2）雙曲線：由，項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；

（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。

2. 橢圓的性質

定義1平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a（2a>|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓。即：│PF1│+│PF2│=2a。

定義2 橢圓的第二定義，準線方程及離心率。

動點M（x，y）與定點F（-c，0）的距離和它到定直線L： x=-的距離的比是常數，（a>c>0）時，M點的軌跡即為橢圓。即到定點距離與到定直線的距離的比等于定值e（0

定理1 設AB是橢圓的右焦點弦，準線與x軸的交點為，則小于。

定理2 設橢圓與一過交點的直線交于A（x，y），B（x，y）兩點，則│AB│稱為弦，且│AB│=│x-x│。

定理3 設橢圓與一過交點且垂直于長軸的直線交于A，B，兩點，則│AB│稱為通徑，│AB│=。

3. 雙曲線的性質

定義1 平面內一動點P與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數的點的軌跡叫做雙曲線. 即=2a，標準方程為。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距.。通常│F1F2│記為2c， 正常數記為2a.。

定義2 雙曲線的第二定義，準線方程及離心率。

動點M（x，y）與定點F（-c，0）的距離和它到定直線L： x=-的距離的比是常數，（a>c>0）時，M點的軌跡即為雙曲線。即到定點距離與到定直線的距離的比等于定值e （0定理1 漸近線是雙曲線特有的性質，即無限接近但不可以相交，當焦點在x軸上時，雙曲線漸近線的方程是y=x；當焦點在y軸上時，雙曲線漸近線的方程是y=x。

定理2 當半實軸長=半虛軸長（即a=b，）時，雙曲線稱為等軸雙曲線，漸近線方程為y=x，其標準方程為x^2-y^2=C，其中C≠0；離心率e=

4. 拋物線的性質

定義1 平面內與一個定點F和一條直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線焦點，直線l叫做拋物線準線。

定義2。定點F不在定直線l上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值離心率e不同，當e=1時為拋物線，當01時為雙曲線。

定理1 拋物線的過焦點的所有弦中，以拋物線的通經為最短。

定理2 設AB是拋物線的長為m的動弦，則

（1） 當（通徑長）時，AB的中點M到x軸的距離的最小值為；

（2） 當（通徑長）時，AB的中點M到x軸的距離的最小值為。

定理3 拋物線焦點弦：設過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A（x，y2），B（x，y2）兩點，直線OA與OB的斜率分別為k1，k2，直線l的傾斜角為a，則有x1，y2=-，x1，x2=，k1，k2=-，=，=，=，=++p。

例1. （1）已知一拋物線的標準方程是，則求此拋物線的準線方程及它的焦點坐標；

（2）已知拋物線的焦點坐標是 ，求它的標準方程。

解：（1）因為，所以準線方程是.焦點坐標是，

（2）由題可知所求拋物線的焦點在軸負半軸上，且，，則所求的拋物線的標準方程就為

二、圓錐曲線在生活中的應用

圓錐曲線是描述各大星系圍繞運行的曲線，也是現實當中隨處可見的曲線，再者圓錐曲線的光學性質在日常生活當中運用甚多。

例2 如圖，我國年月日發射的第一顆人造地球衛星——“東方紅”號，是以地心為一個焦點的橢圓。已知人造地球衛星的近地點（距地面最為近的點）與地面之間的距離為，遠地點（距地面的距離最近的點）與地面之間的距離為，且、、都在同一直線上，地球半徑大約是，求衛星運行的軌道方程（精確到）.[圖1

]

解：如圖1建立直角坐標系，讓點、、在軸上，且為橢圓的右焦點（則記為左焦點）。

由于橢圓的焦點在軸上，則假設它的標準方程為：

則，

.

解：，.

所以b===

用計算器求得，因此，衛星的軌道方程是

三、圓錐曲線的光學性質和應用

一只燈泡散出的光，會以燈光為點形成球形射出，然而，燈泡裝在手電筒里以后適當的調節，就能射出一束比較強的平行光線，這到底由什么原理組成的呢？

其實在電筒離得小燈泡的身后就有一面反光鏡，這面鏡反光鏡的鏡面的形狀是一個由我們如上所述拋物線的原理，即繞著它的軸旋轉[圖2] 而得到的一個曲面【8】（如圖2所示）這個面就被稱為拋物面。經證明，拋物線有一重要的性質即從焦點射發出的光線，在經拋物面反射后，其反射光線就會平行于拋物線的對稱軸。探照燈也是利用這個原理設計的。

同樣的道理我們運用拋物線的這個性質理論，都可讓一束拋物線的軸的光線且是平行與拋物線的，它在經拋物面的反射候會集中于它的焦點上。在生活中這個原理也被人們應用來設計了一種可以為食物加熱的太陽灶。就是在太陽灶上面安裝了一個形如旋轉拋物面的一面反光鏡，在太陽光和這面反光鏡的軸平行的時候，經過反射的太陽光會集中于它的焦點出，此時這個位置的溫度就會逐漸變得很高。

雙曲線和橢圓的光學性質與拋物線的光學性質之間是有一些不同的。由雙曲線的一個焦點所發出的光線在經其反射過后，其反射光線一定是散開的，就好似從另外的一個焦點射出來的那樣（如圖3所示）。然而由橢圓上一焦點所散出的光線，在經其反射之后，反射的光線會交于橢圓的另外一個焦點上（如圖4所示）， 當然雙曲線以及橢圓的光學性質也各種設計以及生活當中被人們廣泛地運用。

[圖3 圖4]

三、圓錐曲線的性質及應用

1. 直線與圓錐曲線的位置關系的實際應用

例4 過原點且斜率為正值的直線交橢圓[圖7] 于E，F兩點，設A （2，0），B（0，1），求四邊形AEBF面積S的最大值。

分析 由圖形的對稱性可知，當且僅當橢圓弧AB上的點F到直線AB的距離最大時，四邊形AEBF的面積取最大值，不難發現此時的點F恰是橢圓平行于AB的切線與橢圓的共共點。

解 設直線是與直線AB平行的橢圓的兩條切線，則當E，F分別與兩切點重合時，四邊形AEBF面積S取最大值。設切線的方程為，代入橢圓方程可得，令得，即兩切線的方程為，它們的距離為，而，故。

例5 已知A（1，1）為橢圓內一點，[圖8] 為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點。求的最大值和最小值。

解 已知 ，左焦點（-2，0），右焦點。由橢圓的定義

由 知

（當在延長線上的處時，取右“=”，當在的反向延長線的處時，取左“=”）

即的最大值、最小值分別為，，于是的最大值為，最小值為。

反思 利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質求得最值。

例6 求二元函數的最小值. [圖9]

分析 如圖所示，的表達式是兩點、之間距離的平方，且所以，、分別是圓與雙曲線上的一點。 易知，所以

小結 由于平面解析幾何本身是數形結合的產物，所以借助圖形的幾何性質 也是破解圓錐曲線問題的重要對策，而且往往能收到事半功倍的效果。

總結 本文在介紹圓錐曲線的圖形的簡單形成之后，利用了數形結合的思想，函數與方程的思想，簡單的概括的圓錐曲線的圖像函數，并根據一些簡單的例子鞏固了圓錐曲線的概念。再者，又利用了分類討論的思想；對橢圓、雙曲線、拋物線的幾個相同的性質及不同的性質進行分析，最后歸納總結。且在了解了圓錐曲線的幾個基本性質之后再對其在生活中的推廣應用進行一個簡單的講解與分析。在一些例題的分析之后，也讓我們了解到天體在宇宙運行的軌跡以及圓錐曲線在生活中被廣泛應用的奧秘。