二項分布事件概率的兩種近似計算方法

侯國亮

[摘 要] 二項分布是一個非常重要的隨機變量模型，很多隨機現象都可以用二項分布模型來描述，但有關二項分布事件概率的計算卻很麻煩。根據泊松定理和中心極限定理給出了二項分布事件概率的兩種近似計算方法，具體例子表明兩種方法簡便有效。

[關 鍵 詞] 二項分布；事件概率；泊松分布；正態分布；隨機現象

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）01-0182-01

一、問題提出

二項分布是一個非常重要的分布，很多隨機現象都可以用二項分布來描述，尤其是一些對人類生活、社會發展有著重大影響的隨機現象都需要用二項分布來描述，比如，實驗的成功與失敗、種子發芽與不發芽、生男與生女、考試及格與不及格、產品合格與不合格、買彩票中獎與不中獎等。事實上，只要某種隨機現象對應的隨機試驗是伯努利（Bernoulli）概型[注]，則該隨機現象就可用二項分布來描述。但有關二項分布事件概率的計算卻很麻煩，需要借助簡便有效的計算方法。本文在深入研究泊松定理和中心極限定理的基礎上，給出了二項分布事件概率的兩種近似計算方法，具體例子表明這兩種方法簡便有效。為了表述方便，下面首先給出二項分布的定義及其數學表示形式。

二項分布：如果隨機變量的可能取值為0，1，2，L，n，且取每個可能值的概率為

PX=k=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，L，n，

則稱隨機變量服從以n，p為參數的二項分布，記作X∶B（n，p），這里Ckn表示從n個不同元素中取出個元素的組合數，即為Ckn=■，0

現就具體問題“設某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個人在一年內死亡的概率為0.005，且每個人在一年內是否死亡是相互獨立的，求在未來一年中這1000個投保人中死亡人數不超過10人的概率”。運用二項分布相關知識，若設X為1000個投保人中在未來一年內死亡的人數，則X∶B（1000，0.005），進而事件{在未來一年中這1000個投保人中死亡人數不超過10人}的概率可表示為

PX≤10=■Ck1000（0.005）k（0.995）1000-k≈0.98652.

顯然，在上面式子中要直接計算Ck1000（0.005）k（0.995）1000-k，k=0，1，2，L，10是相當麻煩的，需要借助簡便有效的計算方法。

二、基于泊松定理的近似計算方法

定義2.1（泊松分布） 如果隨機變量X的可能取值為全體自然數N，且取每個可能值的概率為

PX=k=■e-？姿，k=0，1，2，L，

則稱隨機變量X服從以？姿為參數的泊松分布，其中？姿>0，并記作X∶P（？姿）.

定理2.2（泊松定理[1]） 設？姿>0是一個常數，n是任意正整數，設p=■，則對任一固定的非負整數k，有

■Cknpk（1-p）k=■.

該定理的證明是基礎的、通俗易懂的，詳細證明過程請參見文獻[1]。

討論2.3 因為定理2.2中的條件np=？姿（常數）意味著當n很大時p必定很小，所以上述定理表明當n很大，p很小時，有Cknpk（1-p）k≈■，這也就是說此時以n，p為參數的二項分布的概率值可以由參數為？姿=np的泊松分布的概率值近似。實踐表明，一般當n≥20，p≤0.05時用■作為Cknpk（1-p）k的近似值效果頗佳。

回到部分1中的具體例子，因為n=1000遠遠大于20，p=0.005小于0.05，且有？姿=np=5，所以根據泊松分布定理及討論2.3，可得

PX≤10=■Ck1000（0.005）k（0.995）1000-k≈■■e-5≈0.9863.

三、基于中心極限定理的計算方法

引理3.1 設隨機變量X1，X2，L，Xn獨立同分布，且Xi∶B（1，p），i=1，2，L，n，則■Xi∶B（n，p）.

定理3.2（De Moivre-Laplace中心極限定理[2]） 設X1，X2，L是一個獨立同分布的隨機變量序列，且Xi∶B（1，p），i=1，2，L，Yn=■Xi則對任意一個x∈R，總有

■P■≤x=■■e■dt。

討論3.3定理3.2 表明當n很大時，可認為Yn近似服從正態分布N（np，npq），其中q=1-p，又根據引理3.1可知Yn∶B（n，p），因此定理3.2可用于二項分布的近似計算。

再次回到部分1中的具體例子。由于n=1000比較大，且np=5，所以依據定理3.2及討論3.3，有

PX≤10=P■≤■≈？椎■≈？椎（2.2417）≈0.9875.

其中？椎（x），x∈R表示標準正態分布函數。

四、結束語

1.文中所舉例子表明，基于泊松定理的近似計算結果0.9863要比基于中心極限定理的近似計算結果0.9875更接近精確值0.9865，理論分析和實踐驗證表明，該結論具有一般性。

2.文中介紹的這兩種近似計算方法具有普適性，即對任意二項分布事件概率計算問題，只要滿足近似計算條件，均可用這兩種方法進行近似計算。

[注]伯努利（Bernoulli）概型：實驗的可能結果只有兩個，實驗在相同條件下可重復進行多次且各次實驗結果互不影響（即所謂獨立重復），在每次實驗中兩個可能結果發生的概率不變，滿足這些條件的隨機實驗稱為伯努利概型。

此概率值根據式子■Ck1000（0.005）k（0.995）1000-k用Matlab數學軟件編程計算得到。

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]同濟大學應用數學系.工程數學·概率統計簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2003.