疊加原理在力學中的應用

丁學成　馮曉敏

(河北大學物理科學與技術學院　河北 保定　071000)

宋增云

(陸軍步兵學院石家莊校區軍政訓練系　河北 石家莊　050083)(收稿日期：2018-01-11)

1　引言

力學課程是物理學及相關專業學生步入大學后的第一門物理課程，是大學物理與中學物理的銜接課程，具有承上啟下的作用，在培養學生學習研究物理問題的基本方法方面起著重要作用[1]，學生對力學課程的學習效果對后繼物理課程的學習至關重要. 力學課程以牛頓定律為綱研究機械運動的3種形式. 疊加原理貫穿著整個力學課程，包括中學和大學力學兩部分[2,3]. 中學階段，疊加原理用加法來實現；而大學階段，疊加原理用定積分實現. 通過加法運算和定積分計算的關系可以實現中學與大學力學知識的銜接；利用積分思想和方法解決力學問題，即疊加原理思想和方法的運用，是力學課程的一個重要課題. 因此，對疊加原理的理解和應用在力學課程中是非常重要的.

本文從疊加原理和定積分的概念出發，討論了疊加原理與定積分的對應關系，給出了疊加原理的3種表述形式，并舉例說明.

2　定積分的概念和疊加原理

定積分的概念可以用數學公式[4]表示為

(1)

其中i=1,2,…,n，λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，ξi為每個小區間[xi-1,xi]上的任取一點(xi-1≤ξi≤xi). 從式(1)可以看出，定積分是無窮多項的和.力學中研究的問題主要是線性問題，滿足線性疊加原理，在數學物理中疊加原理可以表述為幾種不同原因的綜合所產生的效果，等于這些不同原因單獨產生效果的累加[5].在力學中疊加原理包含以下3種含義：

(1)力在研究的整個空間(或整個時間間隔)內的積累效果等于力在每一個小的空間(或小的時間間隔)積累效果的疊加；

(2)兩個或多個力(或力矩)的作用效果等于每個力(或力矩)的作用效果的和；

(3)質點系(或剛體)的作用等于各個質點(或質元)作用的和.

以上這3層含義中都體現了加和，在大學階段一般以無窮多項加和形式出現. 疊加原理與定積分概念均體現無窮多項加和，所以大學階段用定積分表示疊加原理.

3　疊加原理在質點力學中的應用

質點力學是力學的開篇內容，是從中學到大學過渡部分. 在利用疊加原理研究力的作用效果時，中學階段，物體一般受到兩個或多個恒力作用，利用加法就可以實現. 而大學階段，物體受到的力一般為變力，即F=F(x)或F=F(t)，需要用定積分來實現. 為實現順利過渡，就要讓學生理解變力作用體現了無窮多項加和的含義.

在中學階段，一個質點在n個恒力連續作用下做的功A可以用數學公式表示為

(2)

其中Fi為質點在第i個小位移Δri范圍內受到的力，i=1，2，…，n. 到了大學階段，力F是位置的函數，以一維問題為例，如F=F(x)，可以把連續作用的變力F(x)看成多個恒力的作用，第i個恒力記作F(ξi)， 作用的空間范圍(小位移)記作Δxi，ξi為每個小空間范圍[xi-1,xi]上的任取一點(xi-1≤

ξi≤xi)，i=1,2,…,n. 這時變力F(x)做的功A可以寫成

(3)

為了得到精確的恒力，要求力作用空間范圍無限小，即Δxi→0，則式(3)可以寫成

(4)

其中，λ=max {Δx1,Δx2,…,Δxn}，式(4)表示無窮多項加和，可以寫成定積分形式，即

(5)

其中積分上下限a和b分別對應于質點的始末兩態的位置，這就是大學物理力學中給出的功的積分形式定義式.

4　疊加原理在剛體力學中的應用

剛體力學是力學課程的核心內容，也是疊加原理應用的提升部分. 在這部分疊加原理主要體現無窮多個力矩(力)的同時作用效果，以及部分貢獻與整體效果的關系. 從以下實例可以看出疊加原理在剛體力學中的作用.

如圖1所示，一質量為m，長為l的勻質細桿放在摩擦系數為μ的粗糙水平面上，當細桿繞過桿一端且垂直于轉動平面的O軸轉動時，可以利用疊加原理的第二種含義計算摩擦力矩.

圖1　摩擦力矩計算示意圖

設細桿繞垂直于圖面的O軸順時針旋轉，桿上每一點均受摩擦力，將桿長分成n等分，第i小份的長度為Δri，第i小份到軸的距離為ri，所受摩擦力記為ΔFi，根據力矩的定義M=r×F，可以看出，每一小份受到的摩擦力矩的方向均為垂直圖面指向外，則整根桿受到的摩擦力矩可以近似寫成

(6)

當Δri→0時，即ΔFi→0，式(6)變成

(7)

式(7)為摩擦力矩的精確值，具有無窮多項加和的含義，可以寫成如下定積分形式

(8)

疊加原理的第三種含義可以利用質點的動能推導得到剛體的轉動能過程進行解釋. 計算剛體定軸轉動的轉動動能時，首先將剛體分割成n份，第i份(質元)的質量和速度分別為mi和vi，則剛體的轉動動能Ek可以寫成

(9)

剛體做定軸轉動時，剛體上各點轉動速度不同，但轉動的角速度相同，即n個質元的轉動角速度都相同，將轉動角速度記作ω，則vi=riω. 式(9)可以改寫成

(10)

為了得到剛體動能Ek的精確結果， 就要保證每一份內部各點的ri值相等， 這就要求Δri→0，即

mi→0，式(10)又可以寫成

即

(11)

由于剛體上各點的轉動角速度相等，所以將求解動能時的積分過程轉化到了利用積分求解轉動慣量問題.剛體角動量推導過程與轉動動能的推導過程相似.

5　結束語

力學以牛頓定律為綱研究機械運動的3種形式，定積分的思想和方法在力學問題中的應用是力學課程一個重要研究內容，它是疊加原理的思想和方法的具體應用形式. 利用數學上定積分是無窮多項和的意義，將中學的力學問題和大學力學內容銜接起來，給出了疊加原理在力學課程中3種含義，并通過實例對3種含義進行了解釋.