探究物體在線性力作用下的運動形式

鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽　122500)

瞬態變量的初始值f(0)=x0、穩態值f(∞)=x∞和時間常數τ是瞬態過程的三要素，解答這類問題關鍵是應用物理規律推導出某個變量的微分方程的標準形式，再利用瞬態過程的三要素寫出微分方程的通解即瞬態過程的物理量隨時間變化的表達式.下面以物體在線性力作用下的直線運動問題為例進行分析.

1　物體只受線性力的作用

這表明，速度變化量跟位移成正比，即速度隨位移均勻變化，把這種運動稱為另類勻變速運動.

如果物體受到的線性力為動力，那么速度隨時間如何變化呢？下面推導關系式.

設速度v=v0+Ax，則加速度

由牛頓第二定律有

由此得微分方程的標準形式

圖1

可得x=x0eAt.當t=0時x=x0，不為零.這表明當t=0時物體已經發生了位移，因此運動物體的計時起點與位移起點不重合.如果選擇運動物體的計時起點與位移起點重合，那么v≠Ax，即不存在速度跟位移成正比的運動，這是因為v=v0eAt中的初速度v0不能為零，則v=v0+Ax中的v0不能為零，所以v≠Ax.雖然由v=Ax在數學上也可推出v=v0eAt，但不合實際.

圖2

只要物體受到的作用力跟速度成正比，而且是阻力，做減速運動，就是瞬態過程，因此速度隨時間變化的圖像存在水平漸近線.對于這種瞬態過程，速度隨位移均勻變化，而不是成正比.

【例1】如圖3所示，光滑U型導軌PQMN固定在水平面上，處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌寬度為L，QM之間接有電阻為R，其余部分電阻不計.一質量為m，電阻也為R的金屬棒ab垂直放在導軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑行，最后停在導軌上，對此過程，求：

(1)在電阻R上產生的焦耳熱；

(2)通過電阻R的電荷量和ab棒運動的位移；

(3)位移隨時間變化的關系式.

圖3　例1題圖

2　物體受恒力與線性阻力共同作用

如果物體同時受到恒力與線性阻力的作用而做直線運動，則運動過程為瞬態過程.物體受到的合力與速度關系是一次函數關系，從數學角度而言，仍然屬于線性關系.

【例2】在無風的情況下，一個質量為m的雨滴由初速度v0開始在豎直方向自由下落.受到空氣的阻力與速度的一次方成正比，即f=kv，求其運動過程的速度、加速度和位移隨時間變化的規律是什么？(雨滴在運動過程中的質量變化忽略不計)

解析:雨滴所受重力為恒力F=mg，受空氣阻力為f=kv，由牛頓第二定律列出關于速度的一階線性微分方程為

變形為

取導數可得加速度為

速度圖像如圖4(a)所示，加速度圖像如圖4(b)所示，都存在水平漸近線，這種加速運動過程是瞬態過程.

圖4

由此可得位移隨時間變化的關系式為

考慮到圖2(a)中的凹邊梯形與圖4(a)中的凹邊梯形相似，那么對于圖4(a)，速度圖線與時間軸圍成的凸邊梯形面積等于對應的矩形面積S1=v∞t與凹邊梯形面積S2=Δv·τ之差.其中

只要物體受到線性阻力f=kv的作用做減速運動，或者物體在恒力F和線性阻力f共同作用下做減速直線運動或加速直線運動，物體將趨于停止或趨于勻速運動，有關物理量隨時間變化的過程是瞬態過程.