從函數的視角求解一類存在性問題

摘?要：對于綜合性要求較高的一類存在性問題，可以從函數的視角對問題進行分析.函數觀是解題的通性通法，掌握至簡的方法，才能解決更為廣泛的問題，突出函數主線的解題策略，既有利于提高數學素養，又能做到知識與問題的雙向促進與融合.

關鍵詞：函數觀;存在性問題;解題策略

作者簡介：李廣修（1961-），男，江蘇宿遷人，本科，中學正高級教師，特級教師，研究方向：中學數學教學.

在解答數學題時，如果注意探求綜合性要求較高的一類問題的求解“套路”，并用大一統的觀點加以統攝，那么就會更深刻地認識數學知識、數學思想方法，更有效地提升解決數學問題的能力、提高數學素養.例如，關于動點、變量方面的一類存在性問題，具有“變”“聯系”特征，把這類問題的解答納入到大一統的函數觀下，用函數值、函數值域及其關系主導解題活動，既可以深化對函數相關知識的認識，也可以形成解決這類問題的策略.請看下面例子.

例1?在平面直角坐標系xOy中，已知點P（1，1），若圓M：（x-2）2+y2=r2上存在兩點A，B使得AP=2PB，則圓M的半徑r的取值范圍是.

分析?由已知，點P應在圓M內，線段AB應是圓M的過點P的弦，當點A的位置確定以后，點B的位置便唯一確定了.可以先讓點A在圓M上運動，考察點P分AB的取值范圍M，而暫不把考慮點P分AB為2.然后，由2屬于M，就可以求出r的取值范圍了.此法本質上運用了函數值、函數值域，以及它們之間的關系，不僅簡捷地解答了問題，而且所使用的方法也具有一般意義.

解析?由已知，點P應在圓M內.如圖1，設CD是過點P的圓M的任意一條弦，由于|PM|=2，則CPPD的取值范圍是

r-2r+2，r+2r-2.

從而，存在兩點A，B使得AP=2PB，當且僅當2∈[r-2r+2，r+2r-2].

于是，r-2r+2≤2≤r+2r-2，考慮到r>PM=2，

所以r的取值范圍為（2，3?2].

例2?若僅存在一個整數x滿足不等式x2+ax+2a<0，則正數a的取值范圍是.

分析?先分參.由不等式x2+ax+2a<0，得x2<-a（x+2）.

因為a>0，x2≥0，所以關于x的不等式x2<-a（x+2）有解就必須x+2<0.

所以x2x+2>-a，且x+2<0.

于是，問題轉化為：求正數a的取值范圍，使得函數y=x2x+2（x<-2）的定義域中恰有一個整數，它的函數值大于-a.

解析?由上面的分析，可知x2x+2>-a，且x+2<0.

記f（x）=x2x+2（x<-2）.

則f?′（x）=x2+4xx+2（x<-2）.

當x∈（-∞，-4）時，f?′（x）>0，f（x）單調遞增;

當x∈（-4，-2）時，f?′（x）<0，f（x）單調遞減，

作函數的f（x）=x2x+2（x<-2）的圖象以及水平直線y=-a，如圖2.

由圖象不難得出，不等式x2x+2>-a（x<-2）的整數解是-4，且，min{f（-3），f（-5）}≤-a

于是，a的取值范圍是（8，253].

例3?設正項數列{an}的前n項和為Sn，數列{a2n}的前n項和為Tn，且Tn=4-（Sn-2）23.

（1）求證：數列{an}為等比數列;

（2）對于任意給定的正整數n，以及給定的正整數y，是否存在正整數x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差數列？若存在，求出x的值;若不存在，請說明理由.

分析?僅分析（2）.由（1）得an=（12）n-1.又因為an，2xan+1，2yan+2成等差數列，得4×2x=4+2y，先考慮x，y取任意的正整數時，等式4×2x=4+2y兩邊的取值范圍，探討這兩個取值范圍的交集是否非空.

解析?（1）由Tn=4-（Sn-2）23，①

得Tn+1=4-（Sn+1-2）23.②

②-①，得an+12=（Sn-2）2-（Sn+1-2）23=（Sn-Sn+1）（Sn+Sn+1-4）3.

即an+12=-an+1（Sn+Sn+1-4）3.

因為an+1>0，所以an+1=4-Sn-Sn+13.③

于是an+2=4-Sn+1-Sn+23.④

④-③得an+2=12an+1，所以an+2an+1=12.⑤

在①中令n=1，2，并結合a1>0，a2>0，解得a1=1，a2=12.

故a2a1=12，⑥

根據⑤和⑥知，對一切正整數n，都有an+1an=12.

所以數列{an}為等比數列.

（2）因為an，2xan+1，2yan+2成等差數列，an=（12）n-1，

所以2×2x×（12）n=（12）n-1+2y×（12）n+1.

即4×2x=4+2y，2x=1+2y-2.

當y≥3時，等式2x=1+2y-2的左邊的取值范圍是偶數集的子集，右邊的取值范圍是奇數集的子集，此時無解;

將y=2代入2x=1+2y-2，得2x=2，所以x=1;

將y=1代入2x=1+2y-2，得2x=32，所以x無正整數解.

綜上，若給定的y值是2，則存在x=1，對于任意給定的正整數n，an，2xan+1，2yan+2都成等差數列;若給定的y值不是2，則對于任意給定的正整數n，都不存在正整數x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差數列.

對于以上三個存在性問題的求解，所使用的思想方法是統一的，將問題轉化為函數值、函數值域方面的問題，用函數求導解答，并且所使用的知識是函數的核心知識，這體現了高中數學課程標準（2017年版）、高考所要求的注重數學通性通法.如果從更一般的角度細想一下，我們就會明白，任何一個科學原理若普遍到能將整個巨大的現象世界統一起來，那么它必是簡單的：只有某個至為簡單的原理，才能統治五花八門的大量問題，這些問題看起來似乎是彼此獨立的且各具特征的.

（收稿日期：2019-09-18）