孫風儀
三角恒等式的證明是高中數學學習中的一塊重要知識點。由于其分析思路復雜多變,不少同學難以掌握和靈活運用。本文以高中數學中的三角恒等式的證明方法為例,嘗試一題多解,能開拓解題思路,激發解三角恒等式的靈感, 培養數學學習興趣。以期對該類知識點的掌握和靈活運用有所幫助。
該題是:證明: =
證法一:比較法。比較法是證明等式或者不等式常用的方法,也是比較兩個實數大小的一種方法其理論依據是: ; ; .
- =
= = = 0
=
小結:根據要證 ,需證 。
證法二:切割化弦。切割化弦是處理三角題常用方法,尤其是同角三角函數之間的基本關系,一般地,一個式子有正切,余切或者正割,余割時,選擇切割化弦。
左邊 = = = = ①
右邊 = = = = ②
= = = .
左邊=右邊。 =
小結:在證法二中的 ,這個等式: = 類似于人教版必修4第19頁的例7,其證明方法也有很多種,下面給出一個利用正余弦倍角公式的方法,我們姑且稱之為證法三。
證法三:利用倍角公式。由上法二得
= = = = =
= = = = =
=
小結:其中 = = 是正切半角公式的另外兩種形式。
證法四與證法五:左到右或右到左:這也是證明等式的一種常用方法,即從一邊推到另一邊,一般都是從難到簡,因為這道題左右兩邊形式一樣,難易程度相同,故從左到右與右到左
都可。只需看清結論找準方向即可。
證法四:左邊右邊。
左邊 = =
= =
= =
= = 右邊
=
小結:方法四和方法五都是左邊到右邊,但分子分母原來的因子是不一樣的,方法四是看看右邊的分子部分尋求思路的。而方法五是根據右邊的分母部分選擇所配的因式,當然,這個題也可以從右邊往左邊證明,方法同上。
證法五:比例的性質。此種方法運用了初中學過的分比合比的性質.
∵tanx ∴ = --------③
∴ = = =
∴ =
再由③得 : = 得:
= = =
∴ =
由于: = 前面在證法二中已證.
故: =
小結:在學習的過程中,進行解題訓練時,可以偏重于某一個或某幾個思路進行,待熟練掌握后,可以嘗試著尋求另外的一些分析方法,拓展自己的思維空間,改善自己的思維方式,同時也有助于更好的掌握這方面的知識點,增強自己的解題能力。