結構化視角下“認識比”學材開發的實踐與思考

萬兆榮，吳玉國

（1.淮安市新民路小學，江蘇 淮安 223002；2.南京市游府西街小學，江蘇 南京 210000）

一、結構化學材開發的實踐

小學數學結構化學材開發需要將數學學習的研究對象看成整體性的結構，抓住兒童認知起點與知識發生發展這兩條線，以“高觀念”的教學思路統攝“低落點”的教學行為，在結構之中統攝教材內容，深入研究如何使用各種外部表征，幫助兒童建立真正反映知識本質的內在表征，構建能夠作用于兒童自主認知整體關聯的學習資源材料。本文以“認識比”教學為例就結構化學材開發做進一步探討。

（一）連續層級——內容重整，要突出知識發生發展與學生認知起點的自然融合

“兩個數相除又可以叫作兩個數的比?！眹鴥刃W數學教材大都用這樣的概念揭示比與除法的聯系。相關例題的選材具體內容如表1，這里主要從知識表征方式、概念描述、習題整體比較、單元編排結構等維度對比分析。

表1 不同版本教材對比

蘇教版將認識比安排在分數乘法之后，分數四則混合運算、百分數之前，教材以2杯果汁和3杯牛奶的倍數關系凸顯同類量的比，以900米的路長，小軍與小偉分別用時15 分鐘、20 分鐘，用“比”表示計算速度，凸顯了同類量比明理，異類對等關系量比明質的特點，在練習設計中尤其凸顯與幾何直觀的綜合融通。人教版從楊利偉太空展示的國旗長度引發長與寬的倍數關系，理解同類量比的關系，接著從“神舟五號”運行距離與時間并置的兩個量的對等關系，逐層深入理解“比”。北師大教材基于比是比例前奏的考慮，教材以5幅照片的比較，引導學生通過數格子發現第一幅與第二、第四幅照片相同，繼而再引發對照片長寬數量關系的探究，發現不同大小的兩幅圖長之間是2 倍關系，寬也是2 倍關系；另外，同一幅圖的長寬之間是6÷4=1.5，在除法的基礎上引出“比”。滬教版以小明和小杰的投籃次數與投中次數比較水平高低，以投籃命中率來直接揭示同類比，基于分數、除法與“比”之間的關系建立概念。

縱觀各教材，均從生活中得到啟發，從兩個數的倍數關系中轉化，大都采用告知的方式從除法的角度建構比的概念，體現了傳統的“算術之中算理”的邏輯過程，即算中明理。自學生從認識除法開始，在實際運用中就體會到“等分除、包含除、當量除”的三種不同意境，“等分除”是把一個量進行等分，這里并沒有兩個量的“比”的關系，因而成為除法與比概念融通理解的障礙，很多時候學生即使學完了“比”，也不理解為什么兩個數相除又叫作這兩個數的比。因此，學生對比的概念缺乏深度理解，對“比”的內涵也就沒有了認同感。然而，多少學者認為比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性（長度、面積、體積、質量）的可比性，比卻能夠解決物體不可度量的屬性（顏色、形狀、質地等）的可比性。[1]比更多是為了表征隱含于數量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的，這才是比的重要意義。比所突出的是每一份所代表的項目是相同的，可能不會給出實際的數量，只要存在對等的關系。另外，分數的“比的定義”即可被看成皮亞杰所謂的“自反抽象”的一個實例，也即如何“把從已發現的結構中抽象出來的東西映射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”[2]。因此，從“分—份數—分數—除法”關系結構中自然認識比整體結構中認識比，突出“份數對等”的關系尤其重要，也更加突出結構化學材設計的必要性。

【學材改編1】從比較到比

將蘇教版教材2 杯果汁、3 杯牛奶的直觀圖例，改編成三杯不同顏色的果汁依次呈現。通過觀察引發問題思考：

問題1：看到這三杯飲料你想到什么？

問題2：如果分別配制這樣的三杯飲料有什么不同？

操作：現場以飲料和水逐步配比三杯飲料（如圖1），再以圖示直觀呈現依次操作過程。

問題3：可以怎樣表示果汁與水的關系呢？分別說出兩種量的關系（如圖2）。

圖1

圖2

學生思維活動的水平主要取決于外在刺激的程度。通過引領學生從分析哪杯果汁更甜中去體會，果汁的甜與不甜還與水有關，引發實踐操作需要，怎樣配制引發數學思考，請仔細觀察這三杯飲料，你想到什么？怎樣才能配制出這樣不同的飲料？在飲料的配比過程中，將學習置于真實的場景，全景式的思維活動激發兒童引發份數需要，現場按果汁1份水1份、果汁1份水2份、果汁1份水3份三種不同的配方，通過開放的問題情境讓學生借助生活經驗，巧妙設計，讓學生在解決問題過程中深刻地體會同類量比的意義，自主并自覺地豐富和理解“比”的意義。這里，借助于生活常識和已有的知識基礎，從多種搭配數據中提取不變的核心元素，學生能依據實物的影像在頭腦中想象制作來進行內在的思維活動，由低走高實現新舊知識完美對接，從變化的倍數關系抽取出“份數”，再由“份數”引出配比，從而引出比的一種情況，一個數是另一個數的幾分之幾，可以寫成比。

（二）關聯層級——融會貫通，突出知識結構關聯與多元表征方式的自覺組合

結構化學材開發的特點是利用多元表征方式統攝比的內容，主要借助實物操作、圖像、口頭語言、現實情景、文字符號等表征方式，凸顯知識結構的關聯過程。

【學材改編2】從兩個量的比到多個量的比

活動1：將圓形依次等分成兩份、三份、四份......逐個呈現，說出所看到的比（如圖3）。

圖3

活動2：從兩個色變化到三個色，要求學生說一說你所看到的比。

活動3：生活中像這樣的比在哪里見過？舉例說明。

只有從變化活動對象過程中，才能從它的對象的多種多樣的屬性中區分出哪些是進行這種活動所必需的本質的屬性，哪些是無關的不必需的非本質的屬性，從而使活動的內容得到概括，使學生建立起概括的定向映象。[3]這里通過動作和圖像表征讓學生感悟比與分數、份數、統計圖表的關聯。借助圓形圖片的變式為學生直觀理解比的意義提供了強有力的支持，從1：1、1：2、1：3……再到1：1：1、1：2：3 變化中建立整體圖式，不僅將比置身于份數與分數之中立體關聯，且在份數的變化中實現從“過程到對象的轉移”，同時由一幅圖的拓展，從“部分與部分之比”延伸到“部分與整體之比”，如紅與藍的比1：2 的圓形中，既可以看到1：2，也可以看到2：1，還可以看到1：3、2：3，充分擴展學生對比的直覺感受，是基于標準的度量，有順序，有結構。從圖形直觀再到生活實物直觀，如體會生活中金龍魚油1：1：1，混凝土中水泥、石子、黃沙等多個量的比具有獨特價值，體驗到了比表示數量間的關系的簡潔明了，除法算式與分數關系怎么能表示這三個量之間的關系呢？生活中還有更多個量的比，這是除法與分數不能替代的特殊價值。

【學材改編3】從同類量比到不同類量的比

1.如圖4，從小華路程1500米，小偉路程1500米中可以想到比嗎？

2.呈現時間15 分鐘、20 分鐘，又可以想到哪些比呢？

3.小華路程720 米，時間9 分鐘，小偉路程960米，時間12分鐘又可以看到哪些比呢？

圖4

將蘇教版教材文字表達轉化為表格，通過變式有序呈現，從小華的1500 米與小偉1500 米的數據隱喻中，學生直接獲得1：1的比，學生已經從外部直觀轉入頭腦內部對事物進行分析與綜合、抽象與概括的技能轉化，這里通過時間15 分鐘、20 分鐘的呈現，引發學生尋找新的比，學生很容易發現各個量之間的比，通過不同類量比的過程理解比的對等關系，體現“比”的本質屬性，逐步完善比的認識，既賦予過去的知識以新的內涵，看到了知識的生長與發展的過程，從而在腦中建立起活動的定向映象，也使他們對于比的意義、比的類型的理解更加完整、透徹。學生在認識到比的價值的同時，看到了比更多是為了表征隱含于數量之中的、不可度量的事物屬性，這就是比的本質，也是本課學習的價值所在。

兩個數相除與兩個量的比不是兩個等價的概念，兩個量的比可以轉化為兩個數相除，但兩個數相除不能籠統地說就是這兩個數的比。[4]這里，通過圖像、表格表征從知識整體性的角度出發，讓學生感悟比與除法、正比例的關聯?；诓煌榫暗谋鹊膽帽嫖?，從簡約抵達豐富，無論是比的基本性質、化簡比、除法中商不變性，還是今后要學習的比例尺、正反比例等數學知識的初步滲透，將比與除法的必然性、發展性關系展現無余，無須概念揭示學生已經深刻領悟到比的意義與價值。

（三）循環層級——實踐應用，突出知識價值取向與兒童素養生長的有機結合

【學材改編4】從應用比到拓寬比

辨析1：（如圖5）先表示出這兩幅圖中的各個比，根據圖示再想一想3：2，6：4，9：6 可能有什么關系呢？

生：相等。

思考：你能想到什么好辦法，讓人一眼就能看清他們相等呢？

學生討論得出結果：添加橢圓圈或者切割均分長方形。

辨析2：足球比賽2：0是我們今天數學課上認識的比嗎？借助圖5的方法，你能說清楚足球比賽與今天比的區別嗎？

回顧：比是什么？比里有什么？比有什么用？關于比，你已經了解了哪些？還有什么疑問？

圖5

無論是增加橢圓圈，還是長方形均分的歸類，或者是從相似長方形到相似三角形變化，既讓兒童感知比的美，又豐富了空間想象力，更加體現了比的應用價值。借助圖6的直觀，對足球賽2：0比分的辨析比較，學生體會到比能夠更方便地表示兩個數量之間的關系，更能讓別人明白兩個數量之間存在的關系。再通過“比是什么？比里有什么？比有什么用？”等一系列“回問”，課后四人合作畫一張有關比的圖這樣的實踐操作活動，既拓寬了比的學科價值，又進一步拓寬了比的知識結構、兒童認知結構和素養結構，充分體現應用循環、文化循環和結構循環三個特征。

二、結構化學材開發的思考

結構化學材開發的本質就是選擇與兒童的知識體系、認知結構相匹配，與學生的學習興趣和價值認同相吻合的學習資源，讓兒童在結構之中感受數學的整體性，使習得的知識結構化、能力結構化，與學生思維能力和思維品質的提升相呼應。

（一）在連續中著力核心知識元素的“直觀”過程

直觀是由反映事物的外部特征與外部聯系的一系列認識活動構成的，結構化學材開發中教師要精心挑選或人為創造，利用好“實物直觀、模像直觀與語言直觀”，為領會抽象知識提供必備的認識支架。上例中借助飲料配比的實物直觀的活動，提供給學生領會比的概念所必需的基礎性知識經驗，建立了1份果汁與1 份水獨立與融合的關系，在此基礎上要特別突出模像直觀的過程，突出了比的重要因素，促進學生進一步關于“比”的思維加工，再通過語言直觀理解果汁與水是獨立的個體，在比的關系中確是以份數關系貫通的一個整體。如果缺乏直觀這個開端，學生就只能從形式上學得一些空洞的概念，直接接受比與除法相互關系，而對為什么比又表示兩個數相除所反映的實際一無所知，以及為什么學習比產生嚴重的曲解。

（二）在關聯中凸顯多元表征形式的“概括”過程

結構化學材開發的重要特點在于貫通知識之間的聯系，我們知道，當學生去認識那些具有聯系的材料時，遠比認識那些本身聯系較少的材料要容易得多。系統化的學材便于識記，也便于保持及重現，為此，結構化學材開發過程中，要注意由易到難、層次分明、條理清晰、由簡到繁的循序性原則，將此概念放入不同的表征系統之中，借助多元表征對知識的本質特征與內在聯系進行反映，在知識的廣度與深度上提供給學生探索，由內在的思維建構“外化”成為外部的獨立存在，促進學生概括的過程，抽出實物的本質，撇開事物的非本質因素。例如，雖然學生通過有關比的配比實驗或圖形的直觀后，在頭腦中建立了比的前、后項與比號的關系。這時，學生對比的本質特征的認識，必須通過多元表征把感性經驗進行加工改造，我們要呈現大量相同類型的事物，讓學生能夠概括出它們之間的共同點，需要將各種不同種類的比能夠壓縮在圖示中。如：從兩色圓的均分到三色圓，從路程與路程的比到路程與時間的比，只有確立好方向性，才能真正形成比的概念。

(三)在循環中突出的項目綜合應用的“回問”過程

從邏輯意義上來說，具體事物的抽象化是歸納過程，抽象知識的具體化則是演繹過程，知識的應用需要順應學生的經驗與經歷，借助“比”的概念的具體化，可以將比的基本性質與化簡，以及比的應用的具體化，借助學材“點子圖的橢圓圈”讓學生看到都是2：3，借助長方形的均分，同樣是2：3，4：6，6：9，但長方形的形狀完全相同，這樣學材設計把比的基本概念放在知識整體結構中。當再一次“回問”比的相關問題時，學生對比發生興趣，自然會主動想去學，逐漸學會，乃至會學。同樣，讓學生四人一小組整理知識結構，把課堂轉移到課外，引導學生自主歸納、概括，在整理的結構圖式之中感受數學的整體性，使之將科學的知識系統，內化成為學生自己的認知結構，以牢固地掌握知識系統和基本要求，在圖式結構繪制中，通過同化與順應，進一步系統化和概括化，形成一種穩定的心理結構，讓學生所學的知識能夠實現結構化，從而真正促進學生的數學氣質、素養和能力的整體提高?！?/p>