乘法分配律的教學調查與思考

陳會茹

(廣東省中山市石岐中心小學大信學校，廣東 中山528400）

運算律是小學數學“數與代數——數的運算”中的重要組成部分，而乘法分配律又是運算律的重要理論依據，是以后學習化簡代數式、因式分解等知識的基礎，地位十分重要。它涉及乘法和加法兩種運算，結構較為復雜，學生運用乘法分配律時，對意義的理解以及靈活運用有一定的困難。提高乘法分配律的教學效果是教師們亟需解決的問題。

為了更好地了解學生在學習乘法分配律之后的掌握情況、分析學生出錯原因、改進教學，筆者在學校六年級期末復習期間隨機抽取兩個班級進行教學前測和后測。

一、教學前測

1.在（ ）里填上適當的數

你能把其中的規律寫下來嗎？(提示：可以用文字、符號、字母、圖形等表示。）

規律表征：符號、字母、文字、圖形、其它方式

二、教學后測

1.怎樣簡便就怎樣計算

2.在以往的學習中，我們在學習哪些知識時，應用過類似a×（b+c）=a×b+a×c的乘法分配律？

三、由測試引發的教學分析

1.學生主體經驗缺失。學生在學習乘法交換律和乘法結合律之前，已經學過加法交換律和加法結合律，兩者結構相似，很容易遷移理解。但在學習乘法分配律時，學生沒有可以遷移和類比的對象，給乘法分配律的學習造成了困難。從后測的情況看，即便是學生學習了乘法分配律，絕大部分學生也僅僅認為乘法分配律只在簡便計算時才會用到，而對于以前的學習中已經應用的乘法分配律，如購物問題，長方形的周長、面積計算問題，他們并不認可其中應用了乘法分配律。

2.概括困難。盡管教學時舉例多種素材和實例作表象支撐，但學生在概括乘法分配律時，總不如概括交換律和結合律那么順暢和準確。從前測情況看，有近30%的學生不能發現并概括規律。即便是揭示了規律后讓學生再次復述，學生的語言表達仍然不夠規范和熟練。

應用多樣。眾所周知，乘法交換律、結合律的應用模式比較固定，使用情境相對簡單，至多就是兩種定律結合起來使用，而乘法分配律不僅有基本應用，還有各種變式應用，如乘法分配律有直接運用型、變除為乘型、統一數字型、拆數型、添“1”型等等。在這些變式應用中，靈活轉化是難點，對學生的思維提出了很高的要求。從學生后測中所呈現的錯誤看，學生在根據乘法分配律拆分算式進行簡便計算時最容易出錯和混淆。

四、教學思考

鑒于上述教學前測和后測的結果，筆者對乘法分配律的教學進行了整理和復習。

環節一：師生交流，復習引入

師：今天這節課我們一起復習簡便運算的部分知識。

師：昨天我們做了一些簡便計算的練習，誰還記得做簡便計算的依據是什么?

生：運算定律和運算性質。

師：非常正確。我們學過哪些運算定律和運算性質呢?

生：五個運算定律，分別是加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。還有減法的性質和除法的性質。

師：我們一起來復習一下字母表達式。

師：昨天在做簡便計算練習的過程中，你覺得哪個定律用得比較多且比較難用呢?

生：乘法分配律比較難用。

師：為什么說乘法分配律難用呢?說說你的體會或感受。

生：我感覺有些式子符合乘法分配律的形式，但是又不能用乘法分配律，有些式子不符合乘法分配律的形式，但是通過一些變化后又可以用乘法分配律，我不知道怎樣變，所以我就覺得乘法分配律很難用。

師：體會挺深刻的。今天這節課我們進行乘法分配律的專題復習，通過這節課的復習，相信大家對乘法分配律在簡便計算中的應用會有新的認識。(板書課題：乘法分配律的復習)

【點評】復習課開始談話導入，開門見山、直入主題，提問具體明確，導向清晰，另外，由于學生接觸簡便計算較早，（四下）且經歷了多次運用乘法分配律解題的過程，所以有較深刻的體會。

環節二：回憶乘法分配律的內容及意義

師：首先請同學們回顧什么是乘法分配律?用語言描述一下。

生：兩個數的和乘第三個數，可以把這兩個數分別與第三個數相乘再把它們的積相加，結果不變。

師：說得非常好。你能用字母表示乘法分配律嗎？

生：（a+b）×c=a×c+b×c或者a×c+b×c=（a+b）×c

（a-b）×c=a×c-b×c或者a×c-b×c=（a-b）×c

師：兩位同學都說得很完整。為了便于描述，我們把有括號的式子（a+b）×c稱為合攏式，把沒有括號的式子a×c+b×c稱為展開式。

【點評】讓學生回顧用字母表示乘法分配律的形式，緊接著課件展示錯誤的案例來讓學生觀察匯報，提高學生的辨析和糾錯能力，讓簡便計算的復習更有針對性、科學性和時效性。

師：剛剛我們用文字和字母分別表達了乘法分配律，大家還記得數與形嗎？能不能借助圖形幫助我們更好地理解一下乘法分配律呢？想想可以構造什么圖形呢?

生：我覺得可以構造長方形，因為長方形的面積是長乘寬，用式子表示就是a×b，正好是乘法分配律式子中的一部分，所以我想到構造長方形。

課件顯示：

師：用這樣的長方形怎樣說明乘法分配律呢?一個大的長方形分割成了左右兩個小的長方形。

如果用字母a表示長方形的寬，字母b和c分別表示兩個小長方形的長，那么大長方形的面積，兩個小長方形的面積，分別怎樣表示呢？

生：大長方形的面積=(b+c)×a，兩個小長方形的面積=a×b和a×c，大長方形的面積等于兩個小長方形的面積之和，所以：(b+c)×a=a×b+a×c

師：構造長方形表示乘法分配律是一種重要的數學思想——數形結合，用圖形表示數(式子)或用數(式子)表示圖形，都稱為數形結合。

師：你還記得乘法分配律的意義嗎？如式子（18+22）×5=18×5+22×5表示什么？

生：表示（18+22）個5等于18個5加22個5。本質上就是乘法的意義。所以在與小數或分數的簡便計算中同樣可以用乘法分配律。

師：再練習說一個，強化。

【點評】引導學生說出乘法分配律的意義，并用數形結合的思想幫助學生理解乘法分配律的本質，使學生不僅知其然，還能知其所以然。

環節三：運用乘法分配律進行簡便計算

師：前面我們復習了乘法分配律及其意義，下面我們就來檢驗一下大家的學習情況。

類型一：直接運用乘法分配律

師：以上兩題都是直接運用乘法分配律進行計算，一個是展開式，另一個是合攏式，兩個方向，但都可以直接運用乘法分配律，總結一下方法。我們稱這一種類型為直接運用法。

接下來，我們再做一些題目，各小組選1-2人負責匯報。

自主練習

生匯報，講方法。

師：以上這些題目都不能直接運用乘法分配律，同學們都想了不同的方法解決，我們能不能把這么多方法分一分類呢？

【點評】教師依次出示變除為乘、拆數法和添“1”法幾種形式，要求學生先練筆再分類最后說，尤其是運用拆數法和添“I”法簡算時反復讓學生講清拆分的原則和添1的原則，讓學生明確要運用乘法分配律進行簡算，不是簡單地拼湊成乘法分配律的形式，而是根據實際情況靈活運用，同時也滲透了“轉化”思想。

環節四：課堂小結，內化提升

師：關于乘法分配律，我們根據特點劃分了不同的類型，現在你對乘法分配律有沒有更深刻的認識了呢？

有人幫助我們整理了乘法分配律運用的“三字經”，我們了解一下。

分配律，我會用，細觀察，找特征，

乘和差，分別乘，積加減，找同數，

數統一，現原形，除變乘，立馬行

特殊數，巧拆分，單個數， 1靠近，

五種型， 要分清，簡便算 ， 有信心

【點評】課堂小結的提問語言簡練，導向明確，最后將歸納的五種簡算類型以三字經的形式呈現，既活躍了數學課堂氣氛，又幫助學生總結歸納，便于理解和掌提。

環節五：鞏固練習

練習，只需判斷用什么方法

【總評】簡便運算是小學數學計算中最常見的一種，也是計算題中最靈活的一種。學生從一開始接觸計算就從各個不同的角度滲透了簡便計算的思想。

1.本節課的教學滲透了轉化和數形結合的數學思想，上課伊始，老師讓學生回顧乘法分配律的含義和字母表示形式，緊接著結合乘法的意義來闡述乘法分配律的意義，尤其是用求兩個長方形的面積來闡述乘法分配律的意義，清楚明白、一日了然。復習乘法分配律常見的五種類型，其實都是將算式轉化為第一種類型。

2.加強知識的整合做到知識螺旋式上升。先是解答分配律的簡單分合式再是變除為乘、拆分、添“1”等類型，例舉的題型不但有代表性還具有實效性，既各有特點又有連貫性。