數學建模 停車距離問題教學過程

摘?要：數學建模是新課標中學科核心素養的一個重要部分，本文章主要是本人在上完一節數學建模課——“停車距離問題”之后進行反思與整理，將完整的教學過程及設計意圖再一次進行展現。

關鍵詞：數學建模;停車距離

一、 引入部分

（一）生活事故重現

開頭語：很高興來到溫州育英和同學們一起來探討數學問題，在座的有來自瑞安的同學嗎？老師就是瑞安人，瑞安什么都好，就是有條隧道讓我很不喜歡，每次回家經過老是堵車或發生事故，我們先通過一個視頻一起感受下。

（二）觀看視頻

師：事故總是帶來悲傷，相信大家都感到很惋惜，那我們怎么樣可以減少或避免事故的發生呢？

剛才視頻里有兩段追尾的事故，大家覺得造成追尾的原因是什么呢？

注：抓住學生的回答，特別是有學生說到速度或距離的時候，如果都沒有學生提出，就假裝有。

生：速度太快，距離太近，那在一定的速度下，應該與前車保持多少距離才比較安全呢？

師：其實道路安全法有這么一條規定“當汽車行駛速度超過100公里/小時，與同車道前車距離要保持100米以上”。同學們覺得這100米是否合理呢？這節課我們就帶著這個問題來研究下行車距離問題。

（三）引出課題

注：板書跟上“停車距離問題”。

二、 確定變量

（一）影響因素分析

師：影響行車距離的因素有哪些呢？板書影響因素。

注：口頭提問，學生一起回答，板書記錄關鍵因素，如速度、反應時間、摩擦力、制動力、空氣阻力等。

師：大家覺得影響行車距離的最關鍵因素是什么？

師：今天我們就主要研究距離與速度之間的關系，那其他影響我們做如何處理呢？

師：很好，控制變量法，假設其他影響因素保持不變。

用紅色粉筆圈出速度。

三、 建構模型

連接語：從剛才同學們對影響因素的分析中，我們大概也了解了汽車停止前的運動狀態，大家看屏幕，一開始司機會有個反應階段，對應的距離我們稱為反應距離，接下來開始減速，對應的距離稱為制動距離，合起來我們稱停車距離。

問題1：在這樣的運動狀態下，能否建立距離d與速度v的函數關系式？

連接語：通過理論分析我們得到了距離d與速度v是一個二次關系，那我們現在可以解決開始的這個問題了嗎？（反應時間和加速度不知道）很好，對不同的人，不同的環境，它們都是不一樣的，那我們該怎么去估算它們呢？（數據，試驗，調查）

很好，老師這里剛好有一組公路局公布的試驗數據，大家請看屏幕。（介紹表格內容）請同學們根據這組數據，來估算α，β。

1～2分鐘交流溝通，下去指導。

四、 參數估計，求解模型

下面我們請第一小組的代表來分享一下計算的結果，先板書介紹理論，再輸入數據。

連接語：通過兩種不同的參數估計方法，我們得到了兩個不同的模型，現在我們能解決開始的那個問題了嗎？

關鍵問題①80米離100米還有20米空間，為什么留這么長？

關鍵問題②100米真的夠嗎？你們就這么相信這兩個模型啊，就不怕它們有大的誤差嗎？

師：那我們還是把模型算出來的值與真實試驗值做下對比吧。

師：根據模型，應該說對100的預測應該還是比較準的，大家建構的模型很棒，為自己鼓鼓掌吧。

關鍵問題③現在路上超速駕駛的司機也常有，我們再利用模型預測一個吧，比如速度為128km/h，大家快速算一下。

師：兩個模型分別是121.8和125.4，你們覺得保持多少距離比較安全??？

師：其實老師一開始保留了一個公路局公布的數據，真實試驗值多少呢？是141.4。

師：誤差有點大，大家可以再看看這兩個模型，速度比較小時，模型值與真實值是比較接近的，速度比較大時，誤差似乎大起來了，那大家覺得這兩個模型還適合用于高速的預測嗎？

師：那你能否構建新的模型使得對低速與高速的預測誤差都相對較小呢？

關鍵問題④要尋找新模型，首先我們肯定要先了解誤差的來源，大家覺得為什么會有誤差呢？

師：很好，模型的構建是基于理想化運動狀態得到的;參數估計方法不同誤差也會不同。

師：那我們就先從參數估計方法入手，大家覺得對高速的預測哪個模型可能會更好一點？

師：那我們就從這里入手，大家看導學單2，看數據特點，看能不能得到一些啟發。

注：誤差產生原因①模型本身是在理想化運動狀態下得出來的;②參數估計不同也會有誤差。

五、 優化模型

小組討論，學生分享。

（一）調整參數估計方法

師：從數據上看，當選的組號比較大時，預測值比較大，組號比較小時，預測值比較小，我們組把數據分成兩組，前六個為一組，后六個為一組，再通方案2方式分別估計出兩組（α，β），進而得到兩個模型。

師：看Excel表格，到此為止，我們通過不同的參數估計方法得到了3個模型，現在我們把數據通過圖像呈現出來，讓大家更加直觀地感受下。

確實，模型3能相對精確的對低速和高速進行預測。

（二）調整模型類型

連接語：以上是根據數據的特點，通過調整參數估計方法來優化模型。我們再看剛才分析的誤差產生的第二個原因，得到的模型是基于理想化運動狀態，那我們看這個式子d=tv+12av2，在實際生活中，t和a一定是和v無關的常數嗎？如果不是，那d與v還一定會是二次嗎？那我們能否拋開理論，直接從數據出發重新去構建模型呢？

師：大家看數據，我們一般都是怎么樣利用數據來判斷兩個量之間可能存在的函數關系的？好，那大家在坐標系下把點描描看，看有什么新的想法？

六、 總結

同學們，接下來我們來總結下這節課的內容，本節課我們是從一個實際情景里抽象出一個數學問題，然后通過分析影響因素確定了主要變量，然后先是從理論角度建構模型，再利用數據估算參數求解模型，然后解決問題，但在問題的解決過程中我們又發現了模型的不足，所以又通過細化數據改變參數估計方式優化模型，同時，我們又拋開理論直接從數據本身出發重新建構了新的模型，已達到我們的要求。這其實就是一個數學建模的過程。在整個建模的過程中，我們不禁會思考我們得到了這么多模型，到底哪個好，其實每個模型都有誤差，但也都有它的價值，模型只有在一定條件下才是好模型，這也正如一位統計學家所說“all modles are wrong， but some modles are useful”。

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

作者簡介：

楊云飛，浙江省溫州市，浙江省溫州中學。