近三年全國新課標Ⅰ卷中數列試題的分析研究

呂昊 濮安山

摘 要：數列模塊是高中數學知識體系中非常重要的組成部分，縱觀近三年全國新課標Ⅰ卷，數列試題一直是必考內容且占有較大比重.本文針對近三年全國新課標Ⅰ卷理科數學和文科數學試題中的“數列”考點和分值情況進行分析，找尋數列試題的命題特點和解題規律，并為應屆考生備考復習提出一些建議.

關鍵詞：數列;試題;命題分析;備考建議

2019年4月23日，江蘇正式啟動了新一輪高考綜合改革.新的高考模式中，語文、數學、外語將采用全國卷，自2021屆考生開始實行，而在過去的“08方案”下，江蘇省所有學科采用自主命題試卷.因此為了積極應對高考改革新方案，研究全國卷命題特點并進行試題分析對2021屆考生備考復習很有必要，數學作為一門重要的基礎學科更是受到廣大考生的高度關注.數列是高中代數知識的重要組成部分，《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，數列是一類特殊的函數;是數學中重要的研究對象;是研究其他類型函數的基本工具;是反映自然變化規律的基本模型.數列涉及的數學基礎知識、思想方法量多面廣，常與其他數學知識緊密聯系，同時也是將來學習高等數學的基礎.

1 數列試題統計與分析

1.1 題型與分值分析

從統計表可以看出，全國新課標Ⅰ卷數列試題題型分布較穩定，理科數學以選擇題和填空題為主，除了2017年為兩道選擇題，2018和2019年都是一道選擇題加一道填空，每一年的總分值都是10分.文科數學以解答題為主，分值為12分，值得注意的是，2019年的文科數學卷除了一道解答題外，還兼有填空題，分值為17分.

1.2 考點分析

全國新課標Ⅰ卷數列試題所考查的知識點也相對較穩定，具體涉及到的數列知識點有：等差數列或等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式、求和以及與其他數學知識結合.試題考查的內容與方法注重基礎，解題方法與解題技巧較為常見，講究解題的通性通法.

1.3 難度分析

整體來看，全國新課標Ⅰ卷數列試題難度并不是很大，以容易題和中檔題為主.通過分析數列題出現的位置可以發現，若是以選擇題的形式考查，除了2017年理科Ⅰ卷數列選擇題為第12題，其他都是出現在前9題，對考生來說較容易做對;若是以填空題的形式考查，無一例外的都是第14題，即填空題的第二題，難度也并不是很大，對考生來說也很容易得分;若是以解答題的形式考查，都是出現在解答題的第一題或第二題的位置，部分解答題最后一問與函數或不等式相關知識點結合，解題方法與技巧是考生較容易掌握的，仍然屬于容易題.

對比近三年全國新課標Ⅰ卷理科數學與文科數學中的數列試題，理科試題難度整體上比文科試題難度稍大.理科以選擇題、填空題為主，綜合性強、思維跨度大;文科以解答題為主，側重考查基礎知識和基本方法.理科數列題的總分值往往都低于文科數列題的總分值，體現了“尊重差異，文理有別”的原則，充分考慮了文、理科學生能力的差異.

2 命題特點

對近三年全國新課標Ⅰ卷文、理科數學試卷中的10道數列試題進行分析后，可以發現數列試題重點考查等差數列和等比數列的相關知識，著重強調學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法，同時部分試題也體現了“堅持創新”的命題要求.總體來說數列試題的命題緊扣考試大綱，突出對學生數學核心素養的考查.

2.1 考查數列的概念和性質

常見命題方式：

（1）等差、等比數列的定義;

（2）判斷是否構成等差或等比數列;

（3）等差數列、等比數列的性質.

例1 （2017年全國新課標Ⅰ卷文科第17題）記Sn為等比數列{an}的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求{an}的通項公式;

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列.

解析 （1）設{an}的公比為q.

由題設，可得a1（1+q）=2，a1（1+q+q2）=-6.

解得q=-2，a1=-2.

故{an}的通項公式為an=（-2）n.

（2）由（1）可得Sn=a1（1-qn） 1-q=-（-2）n+1-2 3.

由于Sn+2+Sn+1=-4 3+（-1）n·2n+3-2n+2 3

=2[-2 3+（-1）n·2n+1 3]=2Sn，

故Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列.

點評 本題考查了等差數列的性質、等比數列的通項公式與求和公式.第（1）問先利用數列中前2項和前3項的和，計算出等比數列的首項和公比，即可得出其通項公式;第（2）問根據已得出的通項公式，利用等比數列前n項和公式直接寫出結果，再利用等差中項的性質判斷是否成等差數列即可，屬于容易題.

2.2 考查數列的通項公式和前n項和公式

常見命題方式：

（1）求等差數列的公差或等比數列的公比;

（2）求數列通項公式;

（3）利用等差數列和等比數列前n項和公式直接對數列進行求和.

例2 （2017年全國新課標Ⅰ卷理科第4題）記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為（ ）.

A.1? ? B.2? ? C.4? ? D.8

解法1 設等差數列的公差為d.

則a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，

S6=6a1+6×5 2d=6a1+15d=48.

聯立2a1+7d=24，6a1+15d=48，解得d=4.

解法2 由S6=3（a1+a6）=48，得a1+a6=16.

即a4+a3=16.

由已知a4+a5=24，兩式相減可得2d=8.

即公差d=4.故選C.

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，屬于容易題.解法1采用了常規的“基本量法”，此種方法雖然常用，但如果能靈活地運用等差數列、等比數列的一些性質，可以在一定程度上簡便計算，例如解法2運用了等差數列的性質：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，提高了解題速度.

例3 （2019年全國新課標Ⅰ卷理科第9題）記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0，a5=5，則（ ）.

A.an=2n-5? ? ?B.an=3n-10

C. Sn=2n2-8n? ?D.Sn=1 2n2-2n

解析 設等差數列{an}的公差為d，則S4=4a1+6d=0，a5=a1+4d=5，解得d=2，a1=-3.

故an=2n-5，Sn=n2-4n.

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，屬于容易題.根據題目中已給的條件，采用“基本量法”即可求解.

例4 （2019年全國新課標Ⅰ卷理科第14題）記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a1=1 3，a24=a6，則S5= .

解析 設等比數列的公比為q，則a24=（a1q3）2=a6=a1q5.由a1=1 3得q=3.故S5=1 3（1-35） 1-3=121 3.

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，屬于容易題.解題過程中涉及冪的乘方運算以及繁分式計算，因此除掌握數列“基本量法”解題技巧外，準確計算是解決此類問題的關鍵.

2.3 考查數列的遞推公式

常見命題方式：

（1）根據an=〖HL（2：1，Z;1，Z〗S1， （n=1）Sn-Sn-1 （n≥2）〖HL）〗求數列通項，進而再對數列求和;

（2）判斷或證明數列為等差數列或等比數列.

例5 （2018年全國新課標Ⅰ卷理科第14題）記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1，則S6= .

解析 〖JP4〗當n=1時，由S1=2a1+1=a1，解得a1=-1;

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2an+1-（2an-1+1）=2an-2an-1，則有an=2an-1.

所以數列{an}是首項a1=-1，公比q=2的等比數列.

所以S6=a1（1-q6） 1-q=-63.

點評 本題考查數列的遞推關系式、等比數列的定義與前n項和公式.解決此類問題需要掌握an與Sn之間的關系，即當n≥2時，an=Sn-Sn-1，以此得到數列{an}中相鄰兩項的關系，從而確定該數列是等比數列，再結合令n=1求出a1的值，根據求和公式求解即可，屬于容易題.

例6 （2018年全國新課標Ⅰ卷文科第17題）已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設bn=an n.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由;

（3）求{an}的通項公式.

解析 （1）由條件，得an+1=2（n+1） nan.

將n=1代入得a2=4a1.

因為a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4.

（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.

由條件，得an+1 n+1=2an n.

又因為bn=an n，所以bn+1=2bn.

又因為b1=1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.

（3）由（2）可得an n=2n-1，所以an=n·2n-1.

點評 本題考查數列的遞推關系式、等比數列的定義與通項公式.第（1）問根據數列的遞推關系式，將n=1，n=2代入即可得到對應的a2，a3，從而得到b1，b2，b3的值;第（2）問根據數列遞推關系式的轉化與判定，并結合等比數列的定義即可判斷{bn}是等比數列;第（3）問結合（2）的結果進行適當變形即可求解.對于像這樣的既不是等差也不是等比的數列{an}，可以構造一個與之有關的等差或等比數列{bn}，從而通過{bn}這一中間“橋梁”很容易得出{an}的通項公式，此種求數列通項的方法需要掌握.本題屬于比較常見的題型，整道題偏簡單.

2.4 考查數列的前n項和求法

常見命題方式：

（1）錯位相減法求和;

（2）裂項相消法求和;

（3）分組求和法求和.

縱觀近三年全國新課標Ⅰ卷文、理科數學試卷中的10道數列試題發現，大部分考查數列求和的試題都可以直接用前n項和公式求解，并且均未涉及到錯位相減、裂項相消以及分組求和法求和，但這并不意味這三種方法不需要掌握，這三種求和方法對考生有一定的技巧要求，尤其是錯位相減法有不少易錯點，考生平時應注重反復訓練，提高計算的準確率和解題速度.

2017年全國Ⅲ卷文科第17題和2017年全國Ⅱ卷理科第15題考查了裂項相消法求和;2017年全國Ⅰ卷理科第12題創新性地將數列求和與推理結合，并作為選擇題的壓軸題出現，試題新穎且有一定的難度.

例7 （2017年全國新課標Ⅱ卷理科第15題）等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則∑n k=11 Sk=.

解析 設等差數列{an}的公差為d，由題知a3=a1+2d=3，S4=4a1+6d=10，解得a1=1，d=1.