圓錐曲線常見錯誤歸類剖析

方曉玲

摘 要：圓錐曲線題目涉及知識面廣、綜合性強，在教學中發現學生在解決此類問題時常因疏忽出錯.本文列舉一些常見的錯誤解法并進行錯因剖析，希望能給同學們一些幫助.

關鍵詞：圓錐曲線;歸類剖析; 正解點睛

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考重點考查內容.在每年的高考中都占有較大的比例，其中有諸多盲點或者可設陷阱的知識點.本文將一些常見的錯誤進行簡要歸因分類，期望能增強同學們防錯的“免疫力”.

1 套用定義，產生錯解

在歷年高考試題中，圓錐曲線的概念是一個必考點，如圓錐曲線的定義、焦點坐標等，這些是要牢記的知識點，不能混淆.

例1 已知雙曲線x2 16-y2 9=1上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離是.

錯解 設雙曲線的兩個焦點分別為F1（-5，0），F2（5，0），由雙曲線的定義，知||PF1|-|PF2||=8.

所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.

故點P到點（-5，0）的距離為16.5或0.5.

剖析 由題意，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1，所以|PF1|=0.5不合題意.事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線的定義，分析出點P的存在情況，然后再求解.本題中，因左支上的點到右焦點的最短距離為9>8.5，故點P只能在右支上.所以|PF1|=16.5 .

2 忽視范圍，造成誤解

在解關于圓錐曲線的綜合題時，要考慮圓錐曲線本身的范圍，而在進行純代數運算時常常會忽略它.

例2 已知實數x，y滿足x2 4+y2=1，試求z=（x-1）2+y2的最值.

錯解 由x2 4+y2=1，得y2=1-x2 4.

則有z=（x-1）2+y2=3 4（x-4 3）2+2 3≥2 3.

所以z的最小值為2 3，不存在最大值.

剖析 圓錐曲線中的橫縱坐標存在其本身固有的范圍，求有關最值時若忽視了這一點，就會出現上述解法中的錯誤.事實上，本題中還應考慮到-2≤x≤2，于是可得z的最大值與最小值分別為9與2 3.

3 盲目互換，形成疵解

在求圓錐曲線方程時，要注意焦點在x軸還是y軸上.

例3 若雙曲線的漸近線方程為y=±1 2x，焦距為10，則此雙曲線的方程為.

錯解 若雙曲線的焦點在x軸上，可設其標準方程為x2 a2-y2 b2=1，由a2+b2=（10 2）2及b a=1 2可解得a2=20，b2=5.

所以此時雙曲線方程為x2 20-y2 5=1.

若雙曲線的交點在y軸上，由a2+b2=（10 2）2及a b=1 2可解得a2=5，b2=20.

所以雙曲線的方程為x2 5-y2 20=1.

故所求雙曲線方程為x2 20-y2 5=1或x2 5-y2 20=1.

剖析 若雙曲線的焦點在y軸上，則其漸近線方程變為y=±a bx（不是y=±b ax），故應為a b=1 2，此時雙曲線標準方程為y2 a2-x2 b2=1，結合a2+b2=（10 2）2可解得a2=5，b2=20，從而雙曲線方程為y2 5-x2 20=1，故正確答案應為x2 20-y2 5=1或y2 5-x2 20=1.

其實這兩解互為共軛雙曲線方程.產生錯解的原因就是不針對具體情況進行認真考慮，而只是盲目地簡單互換.

4 考慮不周，導致漏解

在將方程變形時應注意范圍的變化，這樣才不會出錯.

例4 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=3 2，已知點P（0，3 2）到這個橢圓的最遠距離是7，求這個橢圓的方程.

錯解 依題意設橢圓方程為 x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）.

因為e2=c2 a2=a2-b2 a2=1-b2 a2=3 4，

所以b2 a2=1 4，即a=2b.

設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則

d2=x2+（y-3 2）2

=a2（1-y2 b2）+y2-3y+9 4

=-3（y+1 2）2+4b2+3.

當y=-1 2時，d2有最大值，從而d也有最大值.

所以4b2+3=（7）2.

解得a2=4，b2=1.

于是，所求橢圓的方程為x2 4+y2=1.

剖析 盡管上面的解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，當y=-1 2時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y的取值范圍.事實上，由于點（x，y）在橢圓上，所以-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值時，應分類討論如下：

若-1 2<-b<0，即0

若-b≤-1 2，即b≥1 2時，當y=-1 2時，d2取最大值， 所以由4b2+3=7得b2=1，a2=4.

于是，所求橢圓的方程為x2 4+y2=1.

綜上兩種情況，所求橢圓的方程為 x2 4+y2=1.

5 忽視隱含，引起增解

在解關于圓錐曲線的綜合題或運用圓錐曲線性質時，要注意一些隱藏條件，避免出現增解.

例5 （人教A版（選修2-1）第62頁B組第4題）已知雙曲線x2-y2 2=1，過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點，且點A是線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程;若不存在，說明理由.

錯解1 假設存在直線l，設其方程為y-1=k（x-1）.

由y-1=k（x-1），x2-y2 2=1整理，得

（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則由x1+x2=2k（k-1） k2-2得k（k-1） k2-2=1，可得k=2.

故直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

錯解2 假設滿足題設的直線l存在，并設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

所以x21-y21 2=1，x22-y22 2=1.

兩式相減，得

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2） 2=0.

因為x1+x2 2=1，y1+y2 2=1，

所以kl=y1-y2 x1-x2=2（x1+x2） y1+y2=2.

于是直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析 以上兩種解法出錯的原因都在于忽視了隱含條件“直線l與雙曲線有兩個交點”，故應該還有限制條件：△=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0，

解得k<3 2，顯然符合題設的直線l不存在.

追本溯源 關于中點問題一般可以采用兩種方法解決：（1）聯立方程組，消元，利用根與系數的關系設而不解，從而簡化運算解題;（2）利用“點差法”求出與中點、斜率有關的式子，進而求解.不管應用何種方法都必須注意判別式△的限制.因為對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出直線的斜率k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點.

（收稿日期：2020-02-02）