基于鄰接矩陣的行星齒輪系同構判定方法

陳天鵬 郭雨竹

摘要：行星輪系（PGTS）的同構判定是一個復雜的問題，為此，提出一種基于鄰接矩陣的方法來判定行星輪系是否同構。首先提出一種新的方法來描述行星輪系的拓撲圖，該新型拓撲圖可準確描述不同構件間相互鄰接的關系。并在傳統鄰接矩陣的基礎上進行改進后提出一種新的非對稱鄰接矩陣來描述行星輪系的拓撲圖，該新型鄰接矩陣可準確描述每個構件的類型，以及與其他構件間的鄰接關系與鄰接方式。再通過計算鄰接矩陣的特征值與特征向量來判別行星輪系是否同構。經過實例驗證，相較于之前的判定方法此方法具有高效性、可靠性。

Abstract： Isomorphism Identification Of Planetary Gear Trains（PGTS） is a difficult problem to solve. To solve it，now propose a method to identify whether the planetary gear trains are isomorphic or not.Firstly， promote a new way to describe the diagram of planetary gear trains ，the new toplogical graph can describle the way of how different parts are joined concretely. And we create an asymmetrical adjacency matrix to describle the toplogical graph based on the traditional adjacency matrix，the new adjacency matrix can describle the kind of the parts and how they are joined concretely.After calculating and comparing the eigenvalue and the eigenvector of the djacency matrix， we can identify whether they are isomorphic or not.Through enough tests，it turns out that this method is highly reliable，also can be efficient.

關鍵詞：行星輪系;同構判定;鄰接矩陣;特征值;特征向量

Key words： Planetary Gear Train;Isomorphism Identification;adjacency matrix;eigenvalue of a matrix;eigenvector of a matrix

0 ?引言

行星輪系是指具有一個自由度的周轉輪系。行星齒輪傳動相比于普通齒輪傳動具有質量輕、體積小、承載能力高、傳遞功率大等優點，因此常被用于制造行星齒輪增速器、減速器、差速器和換向機構。因此，為了創造新的齒輪傳動系統，對行星輪系進行同構判定具有重要意義。

國內外學者在行星輪系這一領域進行了許多卓有成效的研究。1970年，Freudenstein等[1]首先將圖論用于定義輪系，但是當輪系齒輪過多，拓撲圖過于復雜時，不易使用。1987年，Tsai[2]用特征多項式來判定周轉輪系的同構，通過這種方法得到許多新的周轉輪系機構。RAO等[3]提出了基于漢明串和基于遺傳算法的同構識別方法。Yang Ping和V. R. Pathapati等[4，5]通過對相關機構運動鏈分析，研究了齒輪運動鏈的同構判定問題。

本文首先參考劉江南[6]對復鉸的表示方法，提出了一種新的拓撲圖來描述行星輪系，在得到行星輪系的拓撲圖后，利用一種新的鄰接矩陣來描述行星輪系拓撲圖，由該鄰接矩陣可知構件的類型及構件間的配合關系。最后通過鄰接矩陣的特征值與特征向量來判定行星輪系是否同構，且該方法經過驗證具有高效性與可靠性。

1 ?拓撲圖的表示

圖1（a）為一種行星輪系傳動系統的3D模型，這是一種5桿1自由度的PGT，通過對3D模型轉動副和齒輪副以及各構件進行標號可得到如圖1（b）所示的原理圖，利用各構件間的鄰接關系將齒輪副用虛線表示，轉動副用實線表示經轉化可得到傳統的PGT拓撲圖1（c），為了更好地表示不同構件通過相同運動副（如圖1（b）中的運動副a）相鄰接的關系，現將這種鄰接關系用一個多邊形表示，多邊形的邊數等于通過相同運動副連接的構件數，并將這個多邊形用一個新的構件PIN構件表示。不同的構件與PIN構件相連是指這些構件在多處以相同的運動副互相連接。如圖1（d）所示的構件1、3、4、5分別與四邊形的PIN構件6號構件相連接，每個構件再通過PIN構件與其他構件相鄰接（如構件1與PIN構件相鄰接，再通過PIN構件與構件3、4、5相鄰接）最后得到的拓撲圖與實物圖具有一一對應的關系。

2 ?鄰接矩陣的描述

為了更好的描述鄰接矩陣，我們給先出定義1。

定義1：構件的度數。構件的度數用di來表示，其中i表示的是構件號。構件的度數是指一個構件與其它構件相鄰接時所需要的運動副數，在拓撲圖中表現為一個點（多邊形）所連接的線（實線、虛線）數之和。如圖1的1（c）中1號構件的副數為4，則記d1=4。

本文在基于上述PIN構件的轉化方法并改進構件間鄰接描述方法后，提出一種新的鄰接矩陣描述方法，該新方法可以更好地描述各構件間的鄰接關系。對于含m基礎個構件和n個PIN構件的行星齒輪系，用m+n階非對稱方陣進行描述。各行（列）表示不同的構件（PIN構件也包括在內），每個構件的類型由0、1、2來描述，0表示該構件為齒輪構件，1表示該構件為桿類型構件，2表示該構件為PIN構件;每個構件與其它構件間的鄰接關系用0、1來表示，0表示兩構件之間不相鄰接，1表示兩構件相鄰接;每個構件與自身的鄰接關系由0來描述;當構件以低副相鄰接時，用0表示，當構件以齒輪副外嚙合時，用1表示，當構件以齒輪副內嚙合時，用2表示，當兩構件不相鄰接用3表示?，F用一位整數與三位小數來表示兩構件間的鄰接關系與鄰接方式，整數部分表示該構件形狀，小數部分第一位表示該構件度數，小數部分第二位表示該構件與其他構件是否鄰接，小數部分第三位表示該構件與其它構件鄰接方式。綜上所述，則得到鄰接矩陣的的定義如下所示的定義2。

定義2：對于含m基礎個構件，n個PIN構件的拓撲圖a，其轉化后的m+n鄰接矩陣A（a）的第i行第j列元素由下式來表示。

由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可求得圖1（d）對應的拓撲圖a1所對應的鄰接矩陣A（a1）如下所示：

式（6）為一個6階非對稱方陣，每行（列）分別代表一個構件，該矩陣中每行元素的整數部分相同，如第1行整數部分都為0，表示構件1為齒輪構件，第六行整數部分都為2，表示6號構件為PIN構件，第3行元素整數部分都為1，表示3號構件為非齒輪構件。元素a24=0.411表示構件2為齒輪構件，該構件度為4，且構件2與構件4通過齒輪副外嚙合相鄰接;元素a35=1.303表示構件3為非齒輪構件，該構件度為3，且構件3與構件5不相鄰接。

3 ?行星輪系同構的判定

3.1 行星輪系同構判定的方法

基于以上特點可以得到如下理論：

對于兩行星輪系之間的同構有以下必要條件：兩行星輪系的總構件數相同，PIN構件數相同，相對應的分別是鄰接矩陣的階數，元素大于等于2的行數相同。

兩行星輪系的運動副數相同，即低副數相同，齒輪副數相同，相對應的分別是鄰接矩陣中的元素小數點后第三位為0元素的個數和的1/2相同，元素小數點后為1或2元素個數和的1/2相同。

對于兩行星輪系同構的充要條件：兩個鄰接矩陣的特征值相同，特征向量矩陣可通過行變換轉換為同一矩陣。

3.2 行星輪系同構的判別步驟

①寫出兩行星輪系鄰接矩陣，判定兩鄰接矩陣的階數是否相同，如果相同，則進行下一步判斷;如果不同，則不同構。

②判定兩鄰接矩陣元素大于等于2的行數是否相同，如果相同，則進入下一步判斷;如果不同，則不同構。

③判定兩鄰接矩陣中小數點后第三位為1或2的元素的個數和，如果相同，則進入下一步判斷;如果不同，則不同構。

④計算兩鄰接矩陣的特征值與特征向量，如果特征值相同，則進行下一步判斷;如果特征值不同，則不同構。

⑤如果一個行星齒輪系的鄰接矩陣A（a1）的特征向量構成矩陣V（a1）可以經過行變換得到另一鄰接矩陣

A（a2）的特征向量構成矩陣V（a2），則同構;如果不能，則不同構。

⑥結束。

判定流程圖如圖2。

由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可的到拓撲圖（見圖3），a2，a3的鄰接矩陣A（a2），A（a3）。

由鄰接矩陣A（a1），A（a2），A（a3）可知拓撲圖a1，a2，a3對應的鄰接矩陣的階數都為6，元素值大于等于2的行數（即PIN構件個數）都為1，小數點后第三位為1或2個數和都為6（齒輪副數為3），通過同構的必要條件無法判斷三者是否同構，需要進行下一步計算。接下來通過鄰接矩陣可以求出對應的特征值D（a1），D（a2），D（a3）與特征向量V（a1），V（a2），V（a3）。

由式（9）、（10）、（11）可知D（a1）=D（a2）≠D（a3），則拓撲圖a3與拓撲圖a1，a2不同構，拓撲圖a1，a2是否同構需要進行下一步判斷。下面來計算兩鄰接矩陣的特征向量。

兩鄰接矩陣特征向量V（a1）、V（a2），如式（12）或式（13）所示。

由式（9）、（10）可知兩鄰接矩陣A（a1），A（a2）的特征值全部相同（只是行數發生變化），由式（12）、（13）可知兩鄰接矩陣A（a1），A（a2）每個特征值所對應的特征向量數值完全相同，數值的正負號也相同，只是相同數值所對應元素所在的行數發生了變化。（如V（a1）、V（a2）第1列的元素完全相同， V（a1）第1行和V（a2）第5行交換，V（a1）第2行和 第4行交換……）。其中行的交換表示兩行星輪系各構件的對應關系，在本例中，第1行和第5行交換，第2行和第4行交換……。說明輪系a1中的第1行1號構件與輪系a2中的第5行5號構件相對應，輪系a1中第2行2號構件與輪系a2中第4行4號構件相對應……。兩特征向量其余未經行變換所代表的構件一一對應。故兩輪系鄰接矩陣對應特征向量可以變換為相同矩陣，則輪系a1與輪系a2同構，輪系a3與他們不同構。

4 ?實例證明

如圖4所示 a，b為兩9桿1自由度的行星輪系簡化拓撲圖?？傻猛負鋱Da，b所對應的鄰接矩陣A（b1），A（b2）。由式（14）、（15）可知兩鄰接矩陣的階數都為10，元素大于等于2行數（即PIN構件個數）都為1，元素小數點后第3位為1或2個數之和都為12（高副數為6）。為了進一步判斷兩行星輪系是否同構，需要進行下一步計算。

拓撲圖b1、b2對應鄰接矩陣A（b1）、A（b2）：

兩鄰接矩陣特征值D（b1），D（b2）

由式（16）、（17）可知兩鄰接矩陣A（a1）、A（a2）的特征值不同，則簡化拓撲圖b1、b2所對應行星輪系不同構，為了進一步說明兩行星輪系不同構，下面再計算兩鄰接矩陣A（a1）、A（a2）的特征向量。由式（18）、（19）可知兩鄰接矩陣特征向量無法變為相同矩陣，兩行星輪系不同構。兩鄰接矩陣特征向量V（b1）、V（b2），如式（18）、式（19）所示：

5 ?結論

①本文引入PIN構件來簡化傳統的行星輪系的拓撲圖，能夠很好地表示不同構件以相同運動副鄰接的關系，轉化后的拓撲圖與實物圖具有一一對應的關系。

②本文通過優化傳統的鄰接矩陣的表述，利用1位整數3位小數可以更好地表示出構件類型以及不同構件以不同運動副相鄰接的關系。

③本文先利用同構的必要條件來判斷是否同構，再利用同構的充要條件通過鄰接矩陣的特征值、特征向量來判斷是否同構的方法具有高效性，可靠性。

參考文獻：

[1]Buchsbaum F， Freudenstein F. Synthesis of kinematic structure of geared kinematic chains and other mechanisms ☆[J]. Journal of Mechanisms， 1970， 5（3）： 357-392.

[2]Tsai L W. An Application of the Linkage Characteristic Polynomial to the Topological Synthesis of Epicyclic Gear Trains[J]. Journal of Mechanical Design， 1987， 109（3）： 329-336.

[3]Rao A C. A genetic algorithm for epicyclic gear trains[J]. Mechanism and Machine Theory： Dynamics of Machine Systems Gears and Power Trandmissions Robots and Manipulator Systems Computer-Aided Design Methods， 2003， 38（2）： 135-147.

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[5]Rao A C， Pathapati V V N R P R. A New Technique Based on Loops to Investigate Displacement Isomorphism in Planetary Gear Trains[J]. Journal of mechanical design， 2002， 124（4）： 662-675.

[6]劉江南，張文博.變拓撲機構可變運動副設計目錄研究[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2017，44（10）：33-40.

作者簡介：陳天鵬（1999-），男，湖北武漢人，本科，學生;郭雨竹（1999-），女，湖北荊州人，本科，學生。