高中數學特征值和特征向量解題策略

李澤地

對于特征值和特征向量這一章節的教學，教師首先需要引導學生親歷矩陣特征值與特征向量意義的探索過程，體驗分析歸納得出矩陣特征值和特征向量的存在與性質，通過講授與案例結合的方式發展學生的探究、交流能力.

一、特征值和特征向量的定義

對于特征值和特征向量的考查，最簡單的考查形式就是對定義和計算的考查.在新課導入階段，教師首先可以提問：對于線性變換，是否存在平面內的直線，使得該直線在這個線性變換作用下保持不變？是否存在向量，使得該向量在這個線性變換的作用下具有某種“不變性”？因此引入新課.在講授定義過程中，可以類比伸縮變換、反射變換，結合下述案例進行講授.

案例1 已知矩陣A=12-14.求A的特征值和特征向量.

分析 可先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量.

解答 矩陣A的特征多項式為f（λ）=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6，

令f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3，

當λ1=2時，解得α1=21，

當λ2=3時，解得α2=11.

所以矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為21，同理，屬于特征值3的一個特征向量為11.

點評 本題主要考查矩陣特征值和特征向量的定義，根據定義進行基礎運算就可以得到相應的答案.

案例2 已知矩陣A=4001，B=1205，列向量X=ab.

（1）求矩陣AB;（2）若B-1A-1X=51，求實數a，b的值.

分析 （1）根據矩陣的乘法，即可求得AB;

（2）根據矩陣乘法計算公式，求得X=AB51，即可求得X，即可求得a和b的值.

解答 （1）AB=40011205=4805;

（2）由B-1A-1X=51，解得X=AB51=480551=285，又因為X=ab，所以a=28，b=5.

點評 本題考查矩陣的乘法，矩陣的乘法的運算，考查學生對特征向量的轉化，需要學生能正確理解特征向量的意義.

案例3 已知矩陣M=100-1.

（1）求矩陣M的特征值和特征向量;（2）設β=23，求M99β.

分析 （1）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量.

（2）依據題意，M=100-1為反射變換矩陣，所以M99=M.

解答 （1）f（λ）=λ-100λ+1=（λ-1）（λ+1）=0，所以可以求得λ1=1或λ2=-1.

當λ1=1時，由0·x+0·y=00·x+2y=0，取x=1y=0，即a1=10;同理，當λ2=-1，a2=01.

（2）因為M99=M，所以M99β=Mβ=2-3.

點評 本題主要考察了矩陣特征值和特征向量計算等基礎知識，是基礎題.

二、特征值、特征向量的應用

特征值和特征向量由于其重要地位在高中數學中的應用極為廣泛，主要有以下幾方面：第一類是Fibonacci數列的通項，該應用計算量較大，但是可以用作數學推理講授;第二類是求解一階線性微分方程組，可以將方程的系數寫成矩陣形式，結合特征值和特征向量列出線性組合從而求解;第三類是和曲線方程相結合，該類型題目考查數學模型法和方程思想;最后一類是在現有特征值和特征向量基礎上給出新定義，讓學生結合新定義求解.

案例4 設矩陣M=a021的一個特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2+y2=1，求曲線C的方程.

分析 由已知可得矩陣M的特征多項式，由一個特征值為2求得a值，再由矩陣變換得到方程組，代入曲線方程.

解答 由題意，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-a）（λ-1）

∵矩陣M有一個特征值為2，f（2）=0，∴a=2.

∴Mxy=2021xy=x′y′，即x′=2xy′=2x+y，代入方程x2+y2=1，得到2x2+（2x+y）2=1，即曲線C的方程為8x2+4xy+y2=1.

案例5 現將所有平面向量集合記作R2，f是R2到R2的映射，記作y=f（x）或（y1，y2）=f（x1，x2），其中涉及到的均為實數.若存在非零向量x∈R2，及實數λ使得f（x）=λx，則稱λ是f的一個特征值.如果f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），計算f的特征值，并求相應的x.

分析 此題考察新定義，根據題中給出的新定義列出方程，即可作答.

解答 由f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），可得x1+x2=λx1x1-x2=λx2，解此方程組可得λ-1λ+1=1，從而λ=±2.

當λ=2時，解方程組x1+x2=2x1x1-x2=2x2，此時這兩個方程是同一個方程，

所以此時方程有無窮多個解，為x=m2+1，1，其中m∈R且m≠0.

當λ=-2時，同理可得x=m1-2，1，其中m∈R且m≠0

點評 本題考察的是新定義題型，這種題目要求學生能夠快速讀題，掌握新定義，并且根據新定義來作答.此類題型近幾年考察較多，教師在平時授課中要加以重視.

本章節知識教師在講授時可對題型進行分類，以例題為引導講授.教學重點應該放在掌握矩陣特征值和特征向量求法，難點是學生能夠獨立完成矩陣向量計算，對于各種變形題，可以通過思考正確作答.

（收稿日期：2021-09-12）