情景引入，過程探究，習題強化，綜合提升

管培祥

[摘? 要] 線面垂直是一種線面相交的特殊情形，在教學“直線與平面垂直的判定”內容時需要關注學生的知識提升和方法培養，在掌握知識核心的同時獲得能力的提升，文章基于本章節的教學重點開展教學分析，提出相應的建議.

[關鍵詞] 垂直;定理;情景;過程;習題

“直線與平面垂直的判定”是立體幾何部分重要的教學內容，該章節內容是研究線面垂直、線面角、二面角、點到平面距離的基礎.作為立體幾何點、線、面位置關系研究的核心內容，新課改明確提出需要將“過程與方法”確立為課堂教學的重要目標，即教學中需要重視知識的探究過程，引導學生掌握相應的學習方法，下面基于上述教學目標進行教學思考.

創設問題情景，完成定義構建

課堂引入是數學教學的重要環節，在該環節中不僅需要激發學生的學習興趣，還需要銜接教材內容來幫助學生順利完成知識過渡，同時明確教學中心，為后續的課堂探究打下基礎. 綜合考慮采用情景創設、問題引導的方式最為有效.

在創設問題情景時需要注意三點：一是注意聯系實際，從生活實際中提煉問題模型，利用趣味性的問題來引導學生思考;二是注意聯系舊知，促進新舊知識的過渡融合，通過階梯遞進的方式來促進學生的知識提升;三是情景設計必須圍繞課堂教學重點，問題設計中心明確.基于上述分析可以在教學的引入階段設計三個環節：聯系生活→情景展示→定義總結.

1. 聯系生活，問題思考

教學中讓學生回顧思考直線與平面存在哪幾種位置關系，然后給出圖1、圖2所示的場景圖，思考旗桿與地面、書本與桌面之間的位置關系是否相同，對應上述位置關系中的哪一種，是否可以舉出生活中的其他例子. 利用生活素材引導學生思考，對直線與平面的垂直關系產生初步的認識.

2. 情景展示，感知認識

直線與平面的垂直關系十分常見，在情景創設階段可以利用多媒體，通過播放一天中旗桿與地面影子的變化來激發學生的學習興趣.教學中可以構建圖3所示模型，引導學生從中發現直線l與地面所在平面α內經過點B的直線均是垂直關系，在此基礎上思考直線l與平面內不經過點B的直線是否垂直，從而激發學生的思維，同時初步體驗數學模型抽象的過程.

3. 定義總結，概念形成

通過情景教學來完成定義構建是最終的目的，因此在第三環節需要引導學生思考如何來定義直線與平面的垂直，即完成感性認識到理性認知的過渡，在該環節中不僅需要學生掌握直線與平面垂直的語言描述，還需要學習定義的符號語言. 而在完成定義總結后還可以開展拓展探究：若用“無數條直線”替換定義中的“任意一條直線”，所得的結論是否依然成立，利用定義辨析來幫助學生深化理解定義.

情景引入定義總結的教學方式更符合學生的認知思維，能夠充分調動學生的知識經驗來完成新知探究. 而從生活中提取教學素材、利用幾何模型來直觀感知可以初步培養學生的感知能力.教學過程中側重知識的銜接聯系，有助于學生形成“用數學方法研究現實問題”的經驗.

開展過程探究，完成定理構建

本章節的核心內容是關于直線與平面垂直判定定理，教材中省略了定理的發現、猜想、證明的過程，但在實際教學中需要關注學生的思維活動，讓學生體驗定理的探究過程，因此教學時需要采用課堂探究的教學方式，即圍繞定理設計探究活動，讓學生充分參與其中，主動思考，通過自主探究來完成定理構建. 基于上述分析，教學中可以設置如下三個環節：問題呈現→動手探究→定理形成.

1. 類比猜想，呈現問題

線面垂直與線面平行之間有著一定的關聯，可以類比線面平行判定定理進行教學，通過猜想、分析來發現定理的核心要點. 具體教學時可以采用設問引導的方式，利用遞進追問來調動學生思考，可以設置如下問題：（1）如果一條直線與一個平面內的一條直線垂直，該直線是否與平面垂直？（2）如果一條直線與一個平面內的兩條直線均垂直，該直線是否與平面垂直？（3）平面內的兩條直線是什么關系，當一條直線與其均垂直時該直線才與平面垂直？利用上述三個具有針對性的問題，可引導學生充分辨析思考，逐步向定理靠攏，呈現判定定理的核心問題.

2. 動手探究，分析思考

在該環節中需要設計具體的探究活動，讓學生通過參與實驗活動來理解定理.

第一步可設計簡單的折紙演示試驗：準備圖4所示的紙板△ABC，過其頂點A進行翻折，獲得折痕AD，然后將翻折后的紙板豎直放在桌面上，思考此時折痕AD與桌面是否相垂直？若設桌面為平面α，思考如何翻折才能使折痕AD與平面α相垂直.

第二步開展動手實踐活動，讓學生拿出提前準備的紙板，按照圖5命名頂點，過點A作BC上的垂線，垂足為點D.然后以AD為折痕進行翻折，豎立在桌面上，觀察其中的垂直關系AD⊥CD，AD⊥BD是否發生了變化，思考可以得出怎樣的結論？

第三步開展拓展辨析活動，給出圖6所示的模型，直線l與平面α內的兩條相交直線m和n均垂直，且經過兩直線的交點A，可知此時直線l與平面α相垂直，思考：若直線l不經過交點A，是否可以得出同樣的結論？

3. 提煉定理，總結概括

基于上述三個實踐活動，學生必然對定理產生了一定的認識，在該環節就需要逐步引導學生來對其加以概括，形成數學定理. 與定義的概括相類似，既要學生用語言來準確描述，還需要能夠利用符號語言來加以表示，同時需要點明上述由二維向三維轉化的過程是定理生成的常用方法，其中蘊含的是降維思想.

而完成定理概括后還需要引導學生總結其中的關鍵詞，思考是否可將這些關鍵詞替換，學生在思考的過程中會進行充分的思維活動，逐步由定理的表層認識上升到對定理的深層理解，這樣的教學方式有利于學生后續應用定理來分析問題.

采用實踐活動引導探究的方式可以顯著提升學生的參與度，學生經歷活動探索來提煉定理有助于學生對定理的直觀理解. 而在該過程中學生體驗了折紙試驗、模型構建以及定理歸納，其中涉及眾多的思想方法，例如模型思想、化歸思想等，這些數學思想對于學生的長遠發展是極為有力的.

定理應用深化，變式題組設計

學習定理的意義是為了解決問題，培養空間思維. 教學中完成定理概括后可以借助具體的問題來幫助學生深化理解，感悟定理的應用. 同時設計適度的變式問題來拓展學生的思維，提升思維的多樣性.

在定理應用的初始階段可以借助教材習題，通過習題的講解來幫助學生形成正確的解題策略，如給出如下問題：已知a∥b，a⊥α，試求證b⊥α. 該習題的教學需要分三步進行：第一步——語言概括，模型構建，即理解題目的符號語言，利用通俗語言再現問題，繪制相應的圖形，如圖7所示;第二步——提煉條件，形成思路，即從問題中提煉出其中的條件特征，如直線a與b相平行，直線a垂直于平面α，然后結合線面垂直定理來逐步推理，形成具體的解題思路：a⊥α？圯a⊥ma⊥n■b⊥mb⊥n ？圯b⊥α;第三步——過程概述，問題證明，即根據上述分析思路來書寫證明過程，需注意引導學生準確使用符號語言來表述幾何關系.

完成習題講解后可以進一步設計變式題組，可以結合“一題多變”“一題多用”等方式來達成應用強化的教學目的，而在變式教學中需注意題目設計需圍繞“直線與平面垂直的判定”內容，如利用下述問題開展變式.

問題：如圖8所示，V-ABC為三棱錐，已知VA=VC，AB=BC，點K是AC的中點，試求證AC⊥平面VKB.

變式思路1：條件不變，問題變——試求證VB⊥AC. 原問題是求證線面垂直，求證時必然需要求證直線AC與平面內兩條相交線均垂直，而變式問題就是其中的分問題.

變式思路2：添加條件，深入分析——設AB和BC的中點分別為點E和點F，試判斷EF與平面VKB的位置關系. 該變式是在原問題基礎上的條件添加，需要利用原題結論來進行推理，可以提升學生利用定理解決問題的靈活性.

變式思路3：在變式2的條件下，分析能否說由于VB⊥AC，VB⊥EF，故VB⊥平面ABC. 該變式有利于學生辨析線面垂直的判定定理，深入體會定理中“相交”二字的核心意義.

三個變式環環相扣，圍繞教材定理開展核心探討，既有助于幫助學生強化定理，感知聯系，又利于引導學生進行知識整合. 同時變式過程也是對學生思維的引導過程，學生的思維得到了極大的鍛煉，為后續解題能力的提升打下基礎.

總之，高中立體幾何部分的核心內容，在教學“直線與平面垂直的判定”時需要教師充分考慮學情，將學生已有知識經驗、生活經驗作為課堂引入的落腳點;把握定理定義的核心內容，采用過程探究的方式來設計教學環節;以知識應用為最終目標，利用習題講解來強化學生對知識的理解，幫助學生系統思考，創新思維.