由難化易 由繁化簡

關峰

【摘?要】高中數學的解題過程相對繁瑣，難度較高，需要學生掌握一定解題思路和方法，以精準地把握數學解題關鍵，將困難轉變為容易，將繁瑣轉變為簡單，從而輕松應對各種題型的考驗?；瘹w思想就是高中數學中一種由難到易、由繁到簡的重要思想，學習和掌握化歸思想，學會從陌生到熟悉、方程到函數、數理到形狀、抽象到具體等類型的轉換，對高中生的數學學習至關重要，能使學生將未知轉換為已知，從而輕松完成解題過程。

【關鍵詞】高中數學;化歸思想;由難化易;由繁化簡;解題過程

高中數學的解題過程通常是一個步步為營、連續不斷的探索過程，是將復雜困難、陌生抽象、缺少規范的問題，運用解題思維，通過解題步驟，化歸為一個或多個簡單易懂、熟悉具象、規范連續的問題，并實現從未知向已知范圍的轉化，這便是化歸思想的精髓。高中數學學習難度大，課程容量也大，倘若不能掌握和利用好化歸思想，必將浪費掉大量的時間和精力在解題上，使得學習進度變得緩慢，學習效果變得不佳。因此，筆者在這里重點討論化歸思想在高中數學解題過程中的運用，以幫助學生找到解題關鍵。

從客觀的角度看，分類、類比、聯想等思維方式，都可以被當做是化歸思想的體現形式?！稗D化”是化歸思想的核心內容，即“把未知轉換為已知，將復雜轉換為簡單，將矛盾轉換為答案”?；瘹w思想在基本數學知識中也有所體現，如多元方程轉化為一元、高次轉化為低次、高維度轉化為低維度。簡單來說，化歸思想的解題模式為：分析問題后提出新的問題，解決新問題來應對原有的問題，這種思維內在轉換，注重以變通的方式解決數學問題。

高中階段的數學知識較難，教師在教學的過程中，要充分考慮學生的“個性特征”，如果教師能夠在這一個期間，激發學生的學習興趣，消除學生對高中數學知識學習的抵觸心理，那么一切教學活動都能達到事半功倍的效果?；瘹w思想改變了傳統的解題方式，教師引導學生應用化歸思想進行解題，能讓學生充分體會到解題帶來的成就感以及快樂，從而促使學生形成正確的理性思維習慣，讓學生從無盡的“題?！敝袙昝摮鰜?。

一、化歸思想的解題應用

（一）靜態化為動態，借助函數特性解題

高中數學化歸思想在解題中，可以將兩個靜態的數學常量，打造成動態的函數關系，通過函數的性質來解讀兩個常量之間的動態關系，從而解決問題。例如，在學習比較指數與對數函數的大小時，可以把以1/3為底2的對數與以1/3為底1/3的對數做比較。雖然是基礎的數學題型，但是其中也滲透了靜態向動態轉化的思想。兩個比較數值都處于靜態，要通過構造函數打造二者的動態關系。如設置成以1/3為底x的對數函數，將1/3為底1/3的對數和以1/3為底2的對數作為這個函數的不同變量取值，把靜態的對比轉化成動態，再利用對數函數的單調性，構建出其在x與y軸上的動態曲線，分別找到x等于2和x等于1/3時的y坐標數值，從而得到答案?？傊?，這種靜態與動態關系的轉化，重點在于找到“以1/3為底2的對數”“以1/3為底1/3的對數”兩個靜態數值之間的同化關系，利用“以1/3為底”這一共同的點，打造出“以1/3為底x的對數函數”，從而將靜態轉化為動態，利用“以1/3為底x的對數函數”在（0，+∞）區間內為減函數的特性，從而輕松地獲取結果。而“以1/3為底x的對數函數在（0，+∞）區間內為減函數”便是問題的關鍵突破點。

（二）不等式轉化為等式，找到清晰解題思路

不等式是高中數學教學內容的基礎，在數學問題中常常與函數方程結合，偏向于具備綜合性質的問題。例如，在不等式：4≥ax-2≥0中，x的集是[1，3]，問：a的取值范圍是？要解決這個問題，就需要找到a的取值范圍，找到兩個節點，而這兩個節點還是要通過帶入值構建等式的方法解出答案值。因此，要將x的端點值1和3分別帶入“4=ax-2與ax-2=0”的方程式中，變成等式：4=3a-2與a-2=0，得出k=2的結果。由此可見，在處理不等式問題的時候，要從節點入手，轉化為等式關系，從而找到問題的關鍵突破點，順利解決問題。

（三）運用化歸思想，解決等差數列問題

數學思想在高中數學的教學中極少占用課時，最主要的原因是絕大多數數學教師自身的理解水平也尚未達到那個高度，更別提課堂設計了。但是，數學思想絕對比類似于平面向量這樣一個具體知識點更加普遍適用，這一點尤其體現在解題的時候。例如，在解題時能成功地將條件轉化成能被直觀理解與直接使用的形式，經常是解決問題的關鍵。轉化地過程可不僅是在某些題中偶爾被用到，仔細觀察每一道做過的中高難度的高中數學題，就會發現，基本每一道題都有轉化的過程。在高中數學中，數列是重點內容，在考試中通常都會作為一道數學大題，讓學生通過對等差數列與對比數列進行整理和歸納，解決所提出的數列問題。

二、化歸思想的應用方法

（一）分解法

分解法是將看似沒有規律的題目，轉變為有規律的題目，然后根據簡單的計算，就可得出答案。

（二）換元法

換元法是指將不標準且看似復雜的不等式、函數、方程轉化為簡單的數學問題。在世紀解題的過程中，換元法是一種經常使用的計算方法。如“局部換元法”，將題目中某一個式子看作一個整體，然后用一個變量替換它，就能讓整個式子變得更加簡單。

三、化歸思想應用原則

化歸轉化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所應用的場景也不同，在不同的情況下，具體采用怎樣的化歸方法，也有一定的原則和規律可循。

（一）簡單原則

解決數學問題，一定要將看似復雜的問題簡單化處理，這也是化歸思想的基本原則?；瘹w思想最終的應用目標，就是為了將復雜的問題，變成簡單易懂的問題，以便解題過程的進一步推進。例如，在上文中我們應用疊加法和錯項消除的方式，把復雜數列化成簡單的等式，從而輕松地處理了問題。

（二）熟悉原則

學習知識的過程，就是新的事物從陌生變得熟悉的過程，雖然數學知識內容較為抽象、枯燥，但是許多數學知識之間都有著密切的內在聯系，題型之間能進行相互轉換，學生只要掌握了熟悉的原則，就能夠將陌生的知識內容，轉化為熟悉的知識內容，題目在學生眼前也就更加簡單了。例如，在解決三元一次方程組時，就可以充分利用化歸思想，先將其轉化為二元一次方程組，使題目簡單化，然后再經過轉化，使二元一次方程組轉化為一元一次方程式。這種簡化的方法要求學生對于簡化的原則非常熟悉，也需要教師提前做好教材內容的提練和簡化工作，從而根據化歸思想進行轉化，成功地解決數學問題。

（三）直觀原則

在一些比較計算中，需要把問題向直觀去表達，從可觀的角度，發現問題的解決辦法。例如，在上文中對數比較的過程中，如果只是進行生硬的計算，恐怕很難輕易得出答案，即便得出答案，也未必準確?？墒侨绻褍蓚€對數常量，變成一個擁有加減性的函數，通過函數的性質，來進行數值的比較，那么就會輕松和簡單很多。

四、結語

總之，化歸思想形式多變，在日常學習中，一定要讓學生多注意積累，多進行總結，把每一種解題思路和解題關鍵都牢牢地把握。所謂熟能生巧，當學生熟悉了尋找這類問題的解決關鍵點之后，自然可以把化歸思想用得爐火純青。高中數學的解題過程是一個步步為營、連續不斷的探索過程，是將復雜困難、陌生抽象、缺少規范的問題，運用解題思維，通過解題步驟，化歸為一個或多個簡單易懂、熟悉具象、規范連續的問題，并實現從未知向已知范圍的轉化，這便是化歸思想的精髓。高中數學學習難度大，課程容量也大，倘若不能掌握和利用好化歸思想，必將浪費掉大量的時間和精力在解題上，使得學習進度變得緩慢，學習效果變得不佳。因此，筆者在這里重點討論化歸思想在高中數學解題過程中的運用，以幫助學生找到解題關鍵。

一、化歸思想的解題應用

從客觀的角度看，分類、類比、聯想等等思維方式，都可以被當做是化歸思想的體現形式?！稗D化”是化歸思想的核心內容，即“把未知轉換為已知，將復雜轉換為簡單，將矛盾轉換為答案”?；瘹w思想在基本數學知識中也有所體現，如多元方程轉化為一元、高次轉化為低次、高維度轉化為低維度。簡單來說，化歸思想的解題模式為：分析問題后提出新的問題，解決新問題來應對原有的問題，這種思維內在轉換，注重以變通的方式解決數學問題。

高中階段的數學知識較難，教師在教學的過程中，要充分考慮學生的“個性特征”，如果教師能夠在這一個期間，激發學生的學習興趣，消除對高中數學知識學習的抵觸心理，那么一切教學活動都能達到事半功倍的效果?；瘹w思想改變了傳統的解題方式，教師引導學生應用化歸思想進行解題，能讓學生充分體會到解題帶來的成就感以及快樂，從而促使學生形成正確的理性思維習慣，讓學生從無盡的“題?！敝袙昝摮鰜?。

二、化歸思想的應用方法

（一）靜態化為動態，借助函數特性解題

高中數學化歸思想在解題中，可以將兩個靜態的數學常量，打造成動態的函數關系，通過函數的性質來解讀兩個常量之間的動態關系，從而解決問題。例如，在學習比較指數與對數函數的大小時，可以把以1/3為底2的對數與以1/3為底1/3的對數做比較。雖然是基礎的數學題型，但是其中也滲透了靜態向動態轉化的思想。兩個比較數值都處于靜態，要通過構造函數打造二者的動態關系。如設置成以1/3為底x的對數函數，將1/3為底1/3的對數和以1/3為底2的對數作為這個函數的不同變量取值，把靜態的對比轉化成動態，再利用對數函數的單調性，構建出其在x與y軸上的動態曲線，分別找到x等于2和x等于1/3時的y坐標數值，從而得到答案?？傊?，這種靜態與動態關系的轉化，重點在于找到“以1/3為底2的對數”“以1/3為底1/3的對數”兩個靜態數值之間的同化關系，利用“以1/3為底”這一共同的點，打造出“以1/3為底x的對數函數”，從而將靜態轉化為動態，利用“以1/3為底x的對數函數”在（0，+∞）區間內為減函數的特性，從而輕松地獲取結果。而“以1/3為底x的對數函數在（0，+∞）區間內為減函數”便是問題的關鍵突破點。

（二）不等式轉化為等式，找到清晰解題思路

不等式是高中數學教學內容的基礎，在數學問題中常常與函數方程結合，偏向于具備綜合性質的問題。例如，在不等式：4≥ax-2≥ 0中，x的集是[1，3]，問，a的取值范圍是？要解決這個問題，就需要找到a的取值范圍，找到兩個節點，而這兩個節點還是要通過帶入值構建等式的方法解出答案值。因此，要將x的端點值1和3分別帶入“4=ax-2與ax-2=0”的方程式中，變成等式：4=3a-2與a-2=0，得出k=2的結果。由此可見，在處理不等式問題的時候，要從節點入手，轉化為等式關系，從而找到問題的關鍵突破點，順利解決問題。

（三）運用化歸思想，解決等差數列問題

三、化歸思想應用原則以及案例

（一）簡單原則

（二）熟悉原則

1.分解法

2.換元法

3.化歸轉化的原則

化歸轉化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所應用的場景也不同，在不同的問題情況下，采用怎樣的化歸方法，也有一定的原則和規律可循。主要總結為：第一，熟悉化原則。就是把陌生的問題盡量向我們熟悉的角度轉化，例如，上文中提到的不等式的問題，要轉換成等式來解答就會容易很多;第二，簡單化原則。在遇到較為復雜繁瑣的問題時，尤其是在數列的相關問題中，就需要我們利用化歸思想進行簡單化處理。在上文中，我們應用疊加法和錯項消除的方式，把復雜數列化成簡單的等式，從而輕松地處理了問題;第三，直觀化原則。在一些比較計算中，需要把問題向直觀去表達，從可觀的角度，發現問題的解決辦法。例如，在上文中對數比較的過程中，如果只是進行生硬的計算，恐怕很難輕易得出答案，即便得出答案，也未必準確?？墒侨绻褍蓚€對數常量，變成一個擁有加減性的函數，通過函數的性質，來進行數值的比較，那么就會輕松和簡單很多。

四、結語

總之，化歸思想形式多變，在日常學習中，一定要讓學生多注意積累，多進行總結，把每一種解題思路和解題關鍵都牢牢地把握。所謂熟能生巧，當學生熟悉了尋找這類問題的解決關鍵點之后，自然可以把化歸思想用得爐火純青。

參考文獻：

[1]司馬澍.化歸思想在高中數學函數學習中的運用研究[J].科技經濟導刊，2017（28）.

[2]陳卓.高中數學化歸思想方法的案例分析——基于蘇教版高中數學教材必修四內容[J].數學之友，2017（4）.

[3]杜文偉.轉化與化歸思想在高中數學中的應用[J].中學數學，2014（15）.