動作與語言齊飛，形象共抽象一色

蔣依寶

【教學內容】? 人教版《義務教育教科書·數學》四年級上冊第105頁。

【教學目標】

1.通過探究，認識解決問題策略的多樣性，初步形成尋找解決問題最優化方案的意識。

2.通過實驗，積累活動經驗，初步體會運籌思想在解決問題中的應用。

3.經歷操作、觀察、思考等系列探究過程，嘗試用數學的方法來解決實際問題，形成烙餅問題的規律，初步培養應用意識和解決實際問題的能力。

4.體驗探索和合作的樂趣，感受數學與生活的密切聯系，逐漸養成合理安排時間的良好習慣。

【教學重點】? 在解決問題中體會優化思想和方法策略。

【教學難點】? 形成烙3張餅的最佳方案。

【教學過程】

一、創設情境，導入新課

呈現課本主題圖。

師：圖中的阿姨在干什么？你見過這樣的情境嗎？

生1：這個阿姨在烙餅。我在老朱麥餅店里看到過烙餅。

生2：我外婆會烙餅，她把餅放在平底鍋中，先烙好一面，再翻過來烙第二面，還要添上一些菜油什么的。

師：這些都是生活中的烙餅，這節數學課我們用數學方法來研究“烙餅問題”（板書課題）。

二、自主探索，探究烙法

1.解讀信息，理解規則

呈現信息：每次最多只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面要烙3分鐘。

師：“每次最多只能烙兩張餅”是什么意思？

生1：指鍋里最多同時能放下兩張餅。如果只有一張了，鍋里只放一張也是可以的。

生2：也就是說，一張、兩張都可以放，三張就放不下了。

師：“兩面都要烙”又是什么意思？

生：就是每一張餅的正面要烙，反面也要烙，這樣才能把餅烙熟。

2.比較烙一張與兩張餅所用的時間

（1）烙1張餅

師：如果要烙1張餅，需要幾分鐘？

生：先正面烙一次，再反面也烙一次，一共要2次，2次需要6分鐘。

師板書：1張餅，正——反，2次，6分鐘

（2）烙2張餅

師：如果要烙2張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？請先想一想該怎么烙，再把你的雙手當成餅，動手烙一烙，可要記住你的烙餅過程哦。

學生各自操作，教師巡視。待操作基本完成，教師讓一學生上臺演示并說操作過程。

生：我把兩張餅都放在鍋里，先同時烙兩張餅的正面，再翻轉過來同時烙這兩張餅的反面。這樣就烙了2次，需要6分鐘。

師板書：2張餅，1正2正——1反2反，2次，6分鐘

（3）比較烙法和所用時間，明確同時烙省時

師：烙1張餅用了6分鐘，烙2張餅也用了6分鐘，這很奇怪！為什么餅的張數不同，所用時間卻是相同的？

生1：烙2張餅時，因為這2張是同時放在一起烙的，烙2張餅的正面才用了3分鐘，烙這2張餅的反面也只用了3分鐘，所以只用了6分鐘。

生2：烙1張餅時，是3分鐘才烙一個面;而烙2張餅時，是3分鐘同時烙了兩個面，不讓鍋空著，就節省了時間。

生3：前面說“每次最多只能烙兩張餅”，現在把2張餅同時放到鍋里，充分利用了鍋的空間。

生4：也就是說，烙2張餅，把2張餅放在同一個鍋里，鍋放滿了;烙1張餅，鍋里只放了1張，鍋里有空隙。

師：那烙1張餅時，這個空隙能避免嗎？

生4：不能避免，除非有兩面可以同時烙的雙面機器，我在電視里看過這種機器，但是這個鍋不能兩面同時烙。

生5：所以呀，烙1張餅，只能一面一面地烙，要烙2次，需要6分鐘。烙2張餅，要2張同時烙，一次就烙了2個面，節省時間，只要烙2次，只要6分鐘。

生6：我在烙餅之前想了又想，烙2張有兩種方法：第一種是一張一張烙，烙第一張就要6分鐘，烙第二張也要6分鐘，一共要烙4次，要用12分鐘;第二種是把2張放在一起同時烙，一共只烙2次，只要6分鐘。題目里說“最少需要烙幾次”，我就把2張放在一起烙，不讓鍋空著，就能節省時間，最少要2次，最少需要6分鐘，但是不能再少了。

師：你這是先想后做，這是一種很好的學習習慣！在動手做之前，我們要先思考怎么做，然后再去做，這樣就可以少走彎路。

3.探究3張餅的最優烙法

（1）探究烙3張餅

提出問題：如果要烙3張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？

師：先獨立思考，你準備怎么烙？再同桌合作，把兩本數學書和一本作業本當成3張餅，進行實驗操作，并互相說一說操作過程。

同桌合作烙餅，教師巡視。

指兩組上臺分別烙餅：由一生說過程，另一生操作，教師板示記錄。

小組一：1正2正——1反2反——3正——3反

小組二：1正2正——1反3正——2反3反

師：請觀察記錄下的烙餅過程，這兩種方法，是否都把餅烙熟了？

生：每個餅都烙了2次，也就是正反面都烙了，肯定是烙熟了。

（2）比較兩種烙法，研究怎樣把鍋放滿，從而節省時間

師：同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？

生1：第二組把鍋放滿了，每次都有2張;第一組開始有2張，到后來就沒有把鍋放滿。

生2：第一組在前兩次，是把鍋放滿了的，后來兩次加起來也只烙了一張，一共4次，比第二組多1次。

師：（問第一組同學）你們當時是怎么想怎么做的？請再介紹一下。

生：我們想，兩張同時烙省時間，所以一開始就把第一、二兩張一起烙，兩張烙好了，只剩下一張，只好把這一張正面烙一次，反面也烙一次。

師：（問第二組同學）你們當時又是怎么想怎么做的？也請再介紹一下。

生：我們也想省時間，開始兩張同時烙，要2次;還剩下一張，也要2次，這兩次鍋里都有空隙。我想鍋里有空隙肯定不好，就調整烙餅順序，調成功了，每次鍋里都沒有空隙。第一次不變，還是烙第一張和第二張的正面;第二次，把第二張取出來放到外面，把第三張換進來，第二次就烙第一張反面和第三張正面;兩次以后，第一張就烙好了，第二張和第三張的反面都還沒有烙，所以第三次就烙第二張和第三張的反面。

生（第一組）：他們小組開始也出了問題，后來重新安排，每次鍋里都有2張餅。我們小組沒有調整，所以失敗了?，F在知道，烙3張不能只想著前面的2張，這樣就會出問題。要把3張合起來安排，烙第二次時把第二張取出來放在外面，把第三張換進去，這樣每次都有2張餅。

師：請各小組將你們的方法與第二組對照，如有不同，再烙一遍。

師：用實驗操作法解決問題，實驗前要思考，實驗中要觀察，如果發現出了問題，要靜下心來思考，調整解決問題的思路。烙3張餅，最關鍵的是思考第二次怎么烙，用調換的方法，把第二張取出來放到外面，把第三張拿進來，這樣就解決這個難題，使鍋里每次都有兩張餅，保證鍋里都不會空，我們把這種方法叫做交替烙餅法（板書）。

師：請大家回想用交替法烙3張餅的順序，在頭腦中再烙一遍。

學生在腦中烙餅。

（3）驗證有沒有比烙3次更少的方法，抽象提升

師：我們繼續研究，要烙3張餅，烙3次是不是最少的次數？2次行嗎？

生1：交替烙餅，每次都把鍋放滿，已經把鍋充分利用了，烙3次是最少的，2次肯定不行！

生2：3張餅有6個面，因為每次最多只能烙2個面，所以至少要烙3次。

師：你能用算式來表示嗎？

生2：3×2=6（面），6÷2=3（次）。

生1：交替烙餅需要調來調去，就是為了保證每次鍋里都有兩張餅?，F在用計算法更省心，先算出共有幾面，再除以2就是次數。

師：對呀！動手操作與列式計算是有聯系的。動手實驗，調來調去，這是對烙餅方法的最優化，目的是保證每次鍋里都要有2張餅，每次都能烙2個面，所以有人說：“烙餅，烙餅，其實就是烙面?！绷兴闶骄褪怯嬎阋还灿袔讉€面，最少需要烙幾次。

4.總結方法，探究規律

（1）比較烙3張與烙2張的方法

師：我們回頭看烙3張與烙2張的方法，它們有什么不同？

生：烙2張是把2張一起放進鍋里，先烙好正面，再烙反面，不需要調來調去。烙3張要用交替法，需要調來調去，這樣才能保證每次烙2個面。

（2）探究4張餅的烙法

師：4張餅怎么烙？至少要幾次？

生1：因為4等于2加2，所以可以2張2張烙。先烙2張，要2次;再烙2張，也要2次。一共要4次。

生2：算式是4×2÷2=4（次）。

師：烙4張是2張2張地烙，還有那些張數也可以這樣烙？

生：2、4、6、8、10……都是雙數，它們都可以用2張2張的方法烙，算法都一樣：次數=2×張數÷2。（師板書：次數=2×張數÷2）

（3）探究5張餅的烙法

師：5張餅怎么烙？

生1：先烙2張，再烙2張，最后烙1張。

生2：這樣不行，要6次了。因為5等于2加3，所以要先烙2張，再烙3張。2張一起烙要2次，3張交替烙要3次，一共5次。

生3：5張有10個面，每次烙2個面，需要5次。第二個同學是對的。

師：烙5張是把2張同時烙與3張交替烙結合在一起，這樣每次都烙2個面，次數最少，節省時間。還有哪些張數可以這樣烙？

生1：因為7=3+2+2，9=3+2+2+2，11=3+2+2+2+2……所以，這些張數的餅，是先把3張拿來交替烙，再兩張兩張烙。

生2：5、7、9、11……都是單數，先拿3張交替烙，剩下的張數是雙數，就兩張兩張烙。計算方法都一樣：次數=2×張數÷2。

生3：9=3+3+3，9張分成3個3張，都用交替法烙。12、15、18……也都這樣烙。

師：比較烙9張的兩種方法，你們有什么想說的？

生1：這兩種方法都是對的。

生2：后面的方法不好，全部用交替法了。兩張兩張同時烙方便，三張交替烙有時候會弄錯，在沒有辦法時，只好用交替法。

師：分析得有道理，兩種方法都能用。當能兩張兩張烙時，就盡可能兩張兩張烙。

（4）餅的張數和烙的次數的關系

師：通過操作與思考，掌握了烙餅方法，明白了“烙餅，烙餅，其實就是烙面”。那餅的張數與烙的次數有什么關系呢？

生1：我看出來了，除了1張，其他的烙幾張就要烙幾次。

生2：因為每張有2個面，每次最多能烙2個面，所以可以用“張數×2÷2”來計算次數。又因為一個數乘以2，再除以2，結果還是原數，所以餅的張數和烙的次數相等。

師：找到了規律就要用。我們班有40人，如果每人要1張餅，至少要烙多少時間？

生：40張餅需要烙40次，40×3=120，至少需要120分鐘。

三、課堂總結

師：這節課我們研究了烙餅問題，你學到了什么？

生1：鍋里可以放1張，也可以放2張。不過，2張2張烙省時間。

生2：把鍋放滿了就省時間。2張餅，要2張同時烙;3張餅，要用交替法;張數是雙數，就2張2張烙;5張、7張、9張……，先拿3張交替烙，剩下的2張2張烙。只有1張餅時，沒有辦法，只好烙2次。

生3：烙餅，烙餅，其實就是烙面。所以，烙的次數=張數×2÷2，除了1張餅，其余的數量，烙的次數都等于餅的張數。

師：這節課我們又是怎樣學習的？

生：我們用實驗操作的方法來學習。烙3張餅最難，開始時我們方法不對，烙的次數不是最小，后來調整順序，用交替法就成功了。所以，在實驗前要先思考，在實驗中又要觀察思考，還要列式計算驗證，這樣就保證不會出錯。

【教學分析】

“烙餅問題”的教學應該讓學生學到什么？學習障礙在哪里？怎樣在教學中引導學生突破難點？這是教學之前需要思考的幾個核心問題。對于第一、二兩個問題，大家都心知肚明：“烙餅問題”的教學是讓學生尋找解決問題的最優化方案，進而形成規律，并能運用規律解決問題;學習難點（障礙）是“當有3張餅時，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅？”但對第三個問題，老師們的理解和做法各有千秋，筆者曾聽過多節“烙餅問題”公開課，其共同特點是“直觀教學”，即借助教具或學具的直觀操作來幫助學生突破難點，但是，這個“直觀操作”由誰來做？怎樣做？在做的過程中應該注意什么？眾說紛紜，做法不一，歸納起來有兩類：第一類，是教師演示，教師通過演示教具，指導學生通過觀察獲得感性認識，讓學生知曉“三張餅正反面的組合與烙的順序”。其教學理由是：激發學習興趣，集中注意力，且能使抽象知識具體化，縮短學生掌握所學知識的認識過程，提高教學效率。第二類，是學生操作實驗，在教師指導下，學生利用學具獨立操作，手腦并用，經歷烙餅過程，從而獲得直接經驗。筆者認為，學生操作實驗與教師演示功能類同，但學生操作實驗更勝教師演示一籌。究其原因，第一，教師演示法是教師演示烙餅過程，是演給學生看的，教師是主動的操作者，學生是被動的觀察者;而學生操作學具，模擬烙餅，人人動手，認真思考，思維隨之展開，更容易把學生推到探究烙餅問題的主體地位。皮亞杰曾對此做中肯分析：“當著兒童的面做實驗而不讓兒童自己去做實驗，就消失了動作本身所提供的那種提供知識與培養性格的價值?！钡诙?，從數學學科性質來看，實驗操作的反映是符號化的數量關系和空間形式。小學數學課與小學科學課的操作實驗有著本質區別：科學課中學生實驗的對象就是其認識對象;而數學課的實驗操作，學生只是把學具作為中介物（如本節課的手、數學課本和作業本），利用烙餅動作把蘊含在操作中的數學的抽象邏輯關系物化出來，其動作本身就是認識對象，動作反映了解決問題的思維過程，動作伴隨著語言，通過語言使動作程序內化成學生的智力活動方式，從而掌握數學知識，進而發展數學思維?？梢?，操作實驗法不僅有助于動作思維、形象思維，也有助于抽象邏輯思維，促進大腦兩半球的和諧發展。第三，操作學具，學生多種感官協同，有利于建立廣泛的神經聯系，有利于知識的理解、鞏固和提取。

本課采用學生實驗操作法教學，教學目標達成度高。教學有以下特色：

（一）學具操作的目的性明確

如前所說，數學課的實驗操作，學生只是把學具作為中介物，利用動作把蘊含在操作中的數學的抽象邏輯關系物化出來，其動作本身就是認識對象，反映了解決問題的思維過程，并通過語言使動作程序內化成學生的智力活動方式，從而掌握數學知識，進而發展數學思維?？梢?，學具本身并不十分重要，只要能替代實物，便于操作，便于觀察即可，重要的是操作實驗的動作及其程序，更重要的是要明確學具操作的目的。

烙2張餅的操作實驗，所用學具是雙手，教師讓學生先想再做，取材簡單，伸手即可，但意味深長，其目的是使學生親自獲得一些感性的具體材料，為探究烙3張餅做必要準備。烙2張餅，這2張放在一起烙，一次烙2個面才用3分鐘，2次只用6分鐘。與烙1張餅比較，所用時間相同，其差別在于：烙2張，把2張餅放在同一個鍋里，鍋里放滿了，節省時間;烙1張，鍋里只放1張，鍋里有空隙，但這個空隙無法避免。

烙3張餅的操作實驗，所用的學具是兩本數學書和一本作業本，桌面當鍋，書本和作業本當餅，兩本書相當于第一、二兩張餅，作業本相當于第三張餅，便于操作，便于觀察，此次操作目的是突破教學難點——當有3張餅時，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅。引導學生先獨立思考，再同桌合作操作實驗，在學生有初步體驗時讓學生上臺展示烙餅過程，配以語言描述，教師做必要的板書記錄（小組一：1正2正——1反2反——3正——3反;小組二：1正2正——1反3正——2反3反），將學生的智力活動顯現出來，為后續研究“同樣烙3張餅，為什么第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了”提供研究素材，這樣就自然而然地把思維指向到“如何調整烙餅順序，使每一次鍋里都有2張餅”上來，通過討論交流，讓學生將內隱的調整過程及調整方案表述出來，進而形成“如何將鍋放滿”的策略，達到既發展動作思維和形象思維，又發展初步抽象邏輯思維的目的，有效地促進大腦兩半球的和諧發展。

交替烙餅之后的再次操作和在腦中“烙餅”，是對交替烙餅法的鞏固，對烙餅過程的梳理，也是對解決問題過程的反思總結。

（二）重視操作實驗與語言的有機結合

有研究表明：語言與操作相結合，這是提高實驗操作效果的有效途徑。本課教師深諳此道。首先，每次操作活動，教師都精心設計了指導語，以保證學生操作實驗中思維定向的正確性。烙2張餅時，教師在提出“如果要烙2張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘”這一問題的基礎上，加上指導語：“請先想一想該怎么烙，再把你的雙手當成餅，動手烙一烙，可要記住你的烙餅過程哦?！崩?張餅時，教師也是先提出問題：如果要烙3張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？隨后馬上加上指導語：先獨立思考，你準備怎么烙？再同桌合作，把兩本數學書和一本作業本當成3張餅，進行實驗操作，并互相說一說操作過程。

其次，讓學生充分地陳述自己的操作過程，以語言的條理性促進思維的邏輯性，并要求學生說出實驗的結果，用語言把已獲得的認識成果固定下來。烙2張餅時，待學生獨立操作后，讓學生上臺演示并說出操作過程。烙3張餅時，先獨立思考，同桌合作實驗，再讓兩組學生上臺“烙餅”：一生說過程，另一生操作，教師記錄研究成果，這充分暴露了學生的思維過程。然后，引發觀察比較：同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？發動全班學生討論，分析原因，并讓兩個小組再說一說“當時是怎么想又是怎么做的”，學生的思維過程被暴露無遺，至此，用交替法解決“當有3張餅時，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅”這一難題也就水到渠成。

（三）給學生留下足夠的思維空間

數學課的操作是學習意義上的操作，是一種特殊的動手活動，其特殊性在于學生借助手的活動來實現和反映其內部的思維活動，所以必須給學生留有足夠的思維空間。在烙2張餅后，引導學生與烙1張比較：“為什么餅的張數不同，所用時間卻是相同的？”這個問題既是研究烙3張餅的基礎，又是本節課學習的關鍵點。教師舍得在此花時間，充分地讓學生表達自己的見解，最后達成一致意見：把2張放在一起烙，不讓鍋空著，就能節省時間。更重要的是，教師重視培養學生良好的學習習慣：先想后做，在做之前要先思考怎么做，然后再去做，這樣少走彎路。探究烙3張餅，教師在記錄兩種不同烙法之后，提出一連串的問題：“請觀察記錄下的烙餅過程，這兩種烙餅方法，是否都把餅烙熟了？”“同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？”“你們當時是怎么想怎么做的？請再介紹一下?！薄耙?張餅，烙3次是不是最少的次數？2次行嗎？能用算式表示嗎？”引導學生觀察比較、分析思考，通過語言表達使動作程序內化成學生的智力活動方式，從而掌握數學知識，進而發展數學思維。

（四）適時、適量和適度地進行了學具操作

本節課的學具操作，做到了適時運用、適量運用、適當運用。

適時就是注意了操作的最佳時機，當學生想知而不知，似懂而非懂時，操作學具，這樣起到了化難為易的效果。烙1張餅需要6分鐘，那么烙2張餅需要幾分鐘？這個問題從字面上去理解，許多學生會說是12分鐘，這時候就需要操作學具，并將烙1張與2張的動作程序進行比較，進而明白其中的道理。烙3張餅，如何合理安排烙的順序，使時間花費最少，更需要直觀形象的支撐，并且要操作多次，以便于積累更多的活動經驗，通過比較優化，得到正確結果。

適量是指控制了學具操作的次數，本節課的學具操作使用了3次，并沒有搞得琳瑯滿目。一是烙2張餅，其目的是理解2張餅放在一起烙，合理利用空間，一次能烙2個面;二是烙3張餅，其目的是解決“怎樣放置安排才能使鍋里每次都有2張餅”這個難題;三是再次烙3張餅，這是對交替烙餅的鞏固。如果要說有第四次，那就是拋開學具，借助表象在腦中操作，這是對交替烙餅法的梳理，也是對階段學習的反思和小結。至于4張、5張餅，沒有安排直觀操作，而是借助數的組合來完成，這樣就培養了邏輯思維能力。如果在這個節點上繼續學具操作，那所演的戲就是“傻把戲”！

適度是指當學生的感性認識已經積累到一定程度時，就讓學生在豐富的表象的基礎上及時抽象概括，掌握火候，使感性認識逐步上升為理性認識。教師恰當地運用了對比和類比，引導學生從直觀形象到抽象概括。探究烙2張餅，在全體獨立操作、個別上臺演示之后，對烙1張與2張餅的操作進行對比，使學生明白如何操作才能省時，并且教師做必要的學法指導：要先想后做，做之前要先思考怎么做，以避免少走彎路。探究烙3張餅，在兩組學生上臺演示、教師板示記錄之后，及時對比兩種烙法，重點研究怎樣把鍋放滿。教師借助學生的活動經驗，讓學生充分暴露其思維過程，此時，動作思維、形象思維共舞，進而提煉出交替烙餅法。在此基礎上，讓學生回想交替烙餅法的順序，借助表象在腦中烙餅，抽象思維呼之欲出。緊接著對烙3張與2張的方法進行對比，進一步明確2張同時烙和3張交替烙及其應用范圍。探究4張、5張餅的烙法，就沒有再操作學具，而是運用類比進行推理，舉一反三，得出規律。至于烙餅的張數和烙的次數的關系，那是水到渠自然成的事情。