函數最值在高中數學中的應用淺談

毛晨陽

摘 要最值問題在高中數學課程學習中具有很重要的地位，而函數最值問題涉及的內容非常廣泛，導致最值問題的內容分散，靈活性比較大，求解比較困難?；诖?。本文主要研究函數最值在中學數學中的應用，以便更有效地解決此類問題。

關鍵詞函數最值;函數極值;最值問題;二次函數

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2020）33-0176-02

本篇文章主要以中學數學中函數最值問題為基本的出發點，利用函數最值定義、函數的單調性和性質、導數等方面來求解問題并進行應用幫助學生在解題過程中提供一些思路和方法。這樣可以真正根據具體題目中的特點進行一次認真的分析，合理判斷之后，就可以在解題過程中巧妙地選取最適當的方法，從而在很大程度上節約時間，提高解決問題的效率。特別是，當遇到一些典型題目時候，選擇最合適的方法去解決，更會出現事半功倍的效果。函數最值問題是函數研究中極為重要的部分，函數最值在二次函數、三角函數、現實生活中的應用非常廣泛，而對于現實生活中的問題可以轉化為數學中求函數最值的問題，并通過解決數學中問題來最終達到解決這類問題的目的。

一、預備知識

（一）函數的極值

定義在包含的某個區間內，若，則點為的極大值點，為的極大值;定義在包含的某個區間內，若，則點為的極小值點，為的極小值。

（二）函數的最值

定義1：設函數的定義域為，如果存在一點，使得對定義域內的任意一點，都有，那么我們稱為函數的最大值，記為;

定義2：設函數的定義域為，如果存在一點使得對定義域內的任意一點，都有，那么我們稱為的最小值，記為。

例1：求函數在閉區間上的最值。

分析：先求閉區間上函數的極值，然后把極值與端點函數比較大小，確定最值。

解：因為，所以令，得（舍正）。

又因為

比較得，的最大值為3，最小值為。

二、函數最值在二次函數中的應用

二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）是中學數學中最基礎、最重要的一部分知識。不僅在初中應用廣泛，在高中更為廣泛。y=ax²+bx+c（a≠0）在三角函數和一些實際問題中也得以體現，對學生來說，這類最值的應用是至關重要的。近年來，壓軸題常常會考到它的最值應用，這使它成為了考試中的一個熱點。二次函數是客觀地反應了變量之間的數量關系和變化規律的一種重要的數學模型，是中學階段學習函數的重點和難點，學習上有一定的難度。所以學生對這類問題的學習不僅可使分析以及解決問題的能力得到了提高，也可幫助他們理解和掌握函數思想、分類討論、數形結合等數學方法，在很大程度上節約時間，提高數學素養。

（一）二次函數的主要兩種形式

1.一般式：

（1）當時，開口向上，對稱軸，頂點坐標。

當，隨的增大而減小;當時，則隨的增大而增大;當時，有最小值。

（2）當時，開口向下，對稱軸，頂點坐標。

當時，隨的增大而增大;當時，隨的增大而減小;當時，有最大值。

2.頂點式：

（1）當時，開口向上，取，的最小值是，此時兩個端點是進行最大值的比較;

（2）當時，開口向下，取的最大值是，此時兩個端點是進行最小值的比較。

（二）利用二次函數性質求最值

任何一個二次函數解析式都可以轉化成或，兩者可以相互轉化。因此，在解這類題的過程中，可用配方法、公式法，再由二次函數的性質進行靈活應用去求函數最值。例如，在區間上。配方得到形如函數，再利用的性質來求解函數最值。

例2：二次函數，當時，求的最值。

分析：這個題可將函數進行配方，依的開口的方向來判斷函數的最值。在用配方求解時需要注意，不要將函數與方程它們的配方進行混淆，同時要知道如何去進行函數的配方，在配方的過程中要注意加上一個的同時要減去相同的一個，保證值不變。配方后，根據開口方向和定義域來進行最值的判斷。

解：首先對二次函數配方，由此得出的開口的方向是向上的，所以在的時候，有最小值為。

因為，所以當時，函數值為;當時，函數值為。

故函數的最大值為。

三、函數最值在三角函數中的應用

在中學數學中，三角函數是一種特殊函數，它是數學學習有關于最值問題中常見的應用，有利于使學生更好地去理解這種函數的一些基礎的知識，培養他們學習的邏輯思維。在求解三角函數最值的時候，要能夠理解掌握三角函數的性質，并在公式的靈活變化中，還要能依據其他函數解決最值問題的特點來進行分析，這種函數所學到的知識和一些思想應該有機結合起來。如三角函數圖像的應用。

當時，則、的值域為和，而當確定范圍時，求這類問題，運用數形結合法就是最好的一種解題方法，一是結合三角函數的圖像，二是利用三角函數線。在求函數最值中，最直觀的方法便是圖像法，可觀察圖像，最大（?。┲悼稍谧罡撸ǖ祝c縱坐標取得。求這類問題時，取值范圍是要先知道的，然后結合這個函數圖像，就很容易把函數最值求出來。

例3：已知，，求的最值。

解：由于，則.由的圖像可以看出。故。

四、函數最值在實際生活中的應用

在生活中，人們總會遇到最值問題，如最經濟的材料、最大的面積等等，我們就有必要尋找相對應的適當的方案或策略，而利用導數去解決這類問題，是基本方法中的一種.求這類問題的步驟：先將問題構造成數學模型，根據變量的關系寫出;先求的導數，再去解;把的點的數值與端點的函數數值進行比較，求出最值。注意：在求最值時，要考慮到問題的實際的意義，不符合的理應舍去。當求出的解是一個的時候，則這個解是極值便是最值，可以不用與端點再來比較。在解決實際問題時，要注意用函數表示出相關變量，以及的取值范圍。

（一）用料最省、費用最低問題

最經濟和低成本以各種形式出現，可將這種形式的指標表示為關于的函數，求解最值的方法可以是導數或者其他的，注意的取值范圍。

例5：在一次輪船比賽中，一艘輪船燃燒費和船速的關系為。其他與速度無關的總費用是96元/小時，求使1海里需要費用的總和是最小，船速的值。

分析：這個題主要考查利用導數的方法，用所知道的條件去表示出函數的關系式，利用導數來進行求解。分析問題中的各個量之間的關系，正確寫出關系式是解題的關鍵。

解：設船速為海里/小時，1海里的航行所要費用為元，而1海里航行時間為，則，所以。

令，解得。

因為當時，，當時，所以當時，取得極小值，也是最小值。

故當船速是20海里/小時，1海里航行需要的費用總和最小。

（二）面積、體積最大問題

對面積或體積最大的問題，關鍵是分析這個幾何體的幾何特征，要選擇合適的量去建立我們要用到的目標函數，再利用導數求最值。

例6：某工廠需要加工一種新形狀的玻璃，為此將材質為玻璃的矩形玻璃和半圓進行相接，就是將半圓直徑與矩形一邊相接，半圓的直徑是，當矩形周長是10時，求矩形玻璃面積最大，的值。

分析：本題考查的是尋找矩形玻璃的面積與半徑間的關系，并利用導數求最值。

解：設矩形另一個邊為，由于半圓弧長為，可得到關系式為，所以，令，得。

當時，;當時，。

所以當時，的極大值，也是最大值，故，矩形玻璃面積最大。

五、結論

本文主要介紹了函數最值在二次函數、三角函數以及實際生活問題中的應用，通過相關例題的分析提供給學生一些思路和方法，從而提高學習效率。研究函數最值，不僅讓學生們對函數和數學本身有更好的了解，而且對解決實際問題有著更深遠的意義。

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