合理利用幾何畫板 提升學生數學核心素養

姚晉秋

摘? 要 在高三數學復習課中合理運用幾何畫板，可以幫助學生直觀感受數學知識的內在聯系，便于探究“定點定值”“軌跡方程”等動態問題，提高課堂效率，提升學生數學學科核心素養。

關鍵詞 幾何畫板;高三數學;直線與圓;定點定值;軌跡方程;數學核心素養

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）20-0066-03

1? 教學背景分析

本節內容是高三數學一輪復習“直線和圓”的探究課，是對本章知識的總結和提升，尤其是對直線與圓位置關系中的動態問題進行復習。在這之前，學生已經系統復習了“直線方程”“圓方程”“直線與圓的位置關系”及“圓與圓的位置關系”等知識，并能熟練掌握基本題型的解題方法，但涉及動態問題難免會束手無策。因此，無論是從高考應試方面，還是從提升學生數學學科核心素養方面，本節內容都是不可缺少的。此外，高三數學一輪復習的下一章內容是“圓錐曲線”，“定點定值”“最值問題”“軌跡方程”向來是“圓錐曲線”中的重點與難點，而本節探究內容所用的思想方法對下一章的復習具有類比和啟發作用，因此，這就使得本節知識變得尤為重要。

幾何畫板是高中數學常用的教學軟件，不僅能畫出幾何圖形，還具備變換、度量、動畫、跟蹤軌跡等諸多功能。用幾何畫板輔助數學課堂教學已經變成常態，尤其是數學新授課，它不僅融合了PPT中的功能，而且使得原本抽象的靜態圖變得生動而形象，讓學生對問題的分析更加直觀，激發學生學習數學的興趣。在高三復習課中合理地運用幾何畫板，能給學生創造一個實際“操作”幾何圖形的環境，增強其對幾何圖形的感性認識，幫助其形成豐富的幾何背景經驗，從而有助于對動態問題的理解和證明。

2? 制定課前任務

探究直線與圓的動態問題是本節課的重點與難點，但如何才能自然地引出動態問題呢？筆者制定如下課前任務。

1）直線l：y=kx-3與圓C：x2+y2=16的位置關系是

2）若直線l：y=kx-3與圓C：x2+y2=4有兩個不同交點A、B，且AB=2，則k=

3）過點作圓x2+y2=4的切線方程為

4）過直線l：x-y+4=0上一定點P（2，6）作圓O：x2+

y2=4的切線，求：①切線方程;②切線長;③切點所在的直線方程。

【設計意圖】

1）會用幾何法和代數法判斷直線與圓的位置關系，而題1中所給的含參直線恒過一個定點且此定點在圓的內部，這既是判斷直線與圓位置關系的第三種方法，又為下文探究1作熱身。

2）復習直線與圓相交及相切基本問題，指出圓心到直線的距離d是解題關鍵，圓本身的幾何性質決定所有的動態問題都離不開這個基本量。

3）第四題中所給的點P是定點且位置比較特殊，學生會用多種方法求解。利用幾何畫板變動P的位置之后，如圖1所示，讓學生明白，多種解法中的“兩圓公共弦所在直線即為切點所在的直線”為最優解法，且自然地引出探究1。

3? 課堂探究提升

【探究1】如圖2所示，過直線l：x-y+4=0上任意一點P（x，y）作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A、B，探究直線AB是否過定點。

【設計意圖】拖動點P，追蹤直線AB，軌跡如圖3所示，定點一目了然。啟發學生思考：如何在有了“形”的直觀后，用“數”的運算得到定點坐標？在這一過程中提升學生數學運算、直觀想象等核心素養。

【解題方法】設P（m，m+4），通過課前任務可以知道，A、B兩點所在直線方程為mx+（m+4）y=4，所以恒過定點Q（-1，1）。

【探究2】過直線l：x-y+4=0上任意一點P（x，y）作圓

O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A、B，探求A、B中點的軌跡方程。

【設計意圖】取AB的中點M，追蹤點M的軌跡，拖動點P，得到點M的軌跡。消參法和定義法是求軌跡方程的兩種常用方法，引導學生用這兩種方法探求軌跡方程，在解題過程中培養學生邏輯推理、數學運算等核心素養。

【解題方法1】如圖4所示，點M即為AB與OP的交點。由探究1知直線AB的方程為mx+（m+4）y=4，直線OP的方程為（m+4）x-my=0，兩式聯立消去m，得M的軌跡方程為x2+x+y2-y=0（y≠x）。

【解題方法2】由探究1知直線AB恒過定點Q（-1，1），又因為QM⊥MO，所以M點在“以OQ為直徑的圓”上?？紤]到點M與點O不會重合，所以軌跡是一個不封閉的圓，如圖5所示，軌跡方程為（x+1/2）2+（y-1/2）2=1/2（y≠x）。

【探究3】如圖6所示，過直線l：x-y+4=0上任意一點P（x，y）作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A、B，探究四邊形PAOB面積是否存在最小值。

【設計意圖】最值問題是解析幾何中常見的題型，怎樣把四邊形的面積表示成某個變量的函數形式呢？如圖7所示，拖動點P，四邊形面積隨之改變。學生的第一反應是四邊形面積隨著切線PA的變化而變化，但考慮到點P和點A都是動點，PA的范圍不容易求，由于有了課前任務作為鋪墊，此時學生自然會想到連接PO，用PO的長度作為變量來表示四邊形面積。這個過程有效發展了學生的數學建模核心素養。

【解題方法】S四邊形PACB=2S△PA0=A0·PA=A0·

，PO最小值為O到直線x-y+4=0的距離，所以四邊形PAOB面積的最小值為4。

【探究4】已知P為直線l：x-y+4=0上的點，若圓O：x2+y2=4上存在點A、B，使得∠APB=60°，求點P橫坐標的取值范圍。

【設計意圖】“存在性問題”是近年來考試的熱點。前三道探究問題中，PA、PB均是切線，在探究4中A、B變成動點，思維難度又上一個臺階。首先固定點P，任意拖動點A、B，讓學生直觀感受∠APB的大小變化，如圖8所示。此時會發現，當PA、PB分別為圓的切線時，∠APB最大。其次拖動點P，發現當點P離圓O越遠，∠APB越小，也就不可能存在點A、B，使得∠APB=60°;而點P越靠近圓O，∠APB越大，會存在無數組點A、B，使得∠APB=60°。最后，學生自然會去尋求∠APB的“臨界狀態”，如圖9所示，找到解題突破口。

【解題方法1】設P（m，m+4），連接PO，如圖10所示，在△PAO中，sin∠APO=AO/PO。由分析知∠APO≥

30°，所以PO=AO/sin∠APO≤4，進而求出點P橫坐標的取值范圍是[-4，0]。

【解題方法2】在掌握方法1的基礎上，引導學生理解：在平面內，若PO≤4，則P點的軌跡是“以O為圓心，4為半徑的圓及其內部”;又P在直線x-y+4=0上，所以點P為直線與圓面的公共部分，如圖11所示，從而可以求出點P橫坐標的取值范圍。此種方法需要找出點P的“隱藏軌跡”，在解題中應用廣泛。

4? 課后復習鞏固

為了鞏固課堂所學知識，筆者制定課后作業：復習教科書中相關的作業與練習，整理直線與圓動態問題錯題，提出一個有價值的問題并嘗試解決它。

【設計意圖】數學基礎知識與數學基本技能是我國高中數學課程目標的重要構成部分。通過課堂學習，切實提高學生“從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。數學課程不應僅僅滿足于教給學生一些結論，而應該給學生以更多數學思想、精神的浸潤。這節在幾何畫板輔助下的“直線與圓動態探究”復習課，將會在很長一段時間內讓學生銘記在心。事實上，從學生的作業反饋來看，確實收到不錯的教學效果，學生提出諸如“如圖6，求線段AB的取值范圍”等很有探究價值的問題。

5? 總結

數學學科核心素養的培養不是無源之水、無本之木、必須接地氣，要有良好的學習基礎與具體教學過程目標來支撐。幾何畫板的合理利用，一改高三復習課高強度、沉悶的課堂氛圍，能使原本枯燥、抽象的知識變得生動有趣，更能激發學生的科學探索精神，有助于他們復習迎考。如何用好幾何畫板，這對施教者提出新的挑戰，廣大教師要更加激流勇進，不斷提高自身學科素養，真正做到“立德樹人”?！?/p>

參考文獻

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