龍艷文
例如圖所示,圖中的曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,四個值,則相應于C1,C2,C3,C4的n依次為( )
[方法總結]
解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則:
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小,相關結論為:
①在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);
②在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據圖象確定冪指數α與0,1 的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或或y=x3)來判斷.
例1(1)函數y=ax-2+1(a>0 且a≠1)的圖象過定點___________.
(2)函數y=2x+b的圖象不經過第二象限,則實數b的取值范圍是____________.
例2(1)不等式的解集是____________.
例3(1)解方程:4×4x-5×2x-6=0.
(3)已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0,求函數y=a2x-ax+1(a>0 且a≠1)的最大值.
[方法總結]
方法:(1)指數方程與不等式問題關鍵是兩邊化同底.
(2)與指數函數有關的值域問題,
方法一:復合函數法,轉化為利用指數函數的單調性;
方法二:換元法.
注意:若底數為字母,則需考慮分類討論.
例4已知函數
(1)證明:f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;(2)若f(x)為奇函數,求實數a的值.
例1(1)當a>0 且a≠1 時,函數y=1+logax的圖象必定過定點____________.
(2)函數y=logax和的圖象關于____________對稱.
例2(1)求下列函數的定義域.
①y=;②y=
(2)方程log2x+log2(x-3)=2的解為_______________.
[方法總結]
方法:解對數不等式和方程關鍵兩邊化同底.
注意:考慮對數的定義域或最后檢驗.
化同底的方法:0=loga1;1=loga a=a0;M=logaaM=alogaM.
例3(1)已知函數則它的值域為____________.
(2)若函數f(x)=logax在區間[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍,求a的值.
(3)求函數f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域.
[方法總結]
方法:與對數有關的最值問題,利用單調性或換元.
注意:考慮定義域和分類討論.
例4(1)函數y=log2(x2-4x-5)的單調區間為__________.
[方法總結]
方法:與對數有關的單調性,利用復合函數,結合圖象分析.
注意:考慮定義域和分類討論.
例5(1)已知函數y=(x2-mx+2)的定義域為R,則實數m的取值范圍為__________.
(2)已知函數y=(x2-mx+2)的值域為R,則實數m的取值范圍為____________.
[方法總結]注意:比較兩個問題的區別.
例1(1)函數f(x)=的零點個數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)函數f(x)=x3-x2-1的零點所在的區間是( )
A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
(3)函數f(x)=2x+x-4零點所在區間為( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(4)設f(x)=lnx+x-2,則函數f(x)的零點所在的區間為( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例2( 1)函數f(x)=lgx-x零點的個數為__________ ;
(2)函數f(x)=2x-x2零點的個數為__________.
[方法總結]
方法1:轉化為兩個函數數形結合.
合理轉化為兩個函數的圖象(易畫出圖象)的交點個數問題.兩個函數的圖象交點的個數,就是函數零點的個數.
注意:函數圖象的變化趨勢(如漸近線,趨近點等).
方法2:利用零點存在定理.
利用函數零點存在定理進行判斷,必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數的零點個數.
方法3:解方程.
函數零點問題轉化為方程根的問題,即通過解方程,由方程是否有解來判斷函數是否有零點,其中方程有幾個解就對應著函數有幾個零點.
例1已知函數f(x)=若方程f(x)=a有兩個不相等的實數根,則實數a的取值范圍是( )
例2已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2 個零點,則a的取值范圍是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
例3已知函數f(x)=恰有三個零點,則實數m的取值范圍是_________.
[方法總結]
方法:數形結合,合理轉化為兩個函數的圖象(易畫出圖象)的交點個數問題.兩個函數的圖象交點的個數,就是函數零點的個數.
注意:函數圖象的變化趨勢(如漸近線,趨近點等).
例4若函數f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,則實數a的取值范圍是_____.
例5若函數f(x)=2x--a的零點在區間(1,2)內,則實數a的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
[方法總結]
方法1:轉化為方程有解問題.
方法2:參變分離,即a=F(x),則a的范圍即為F(x)值域.
方法3:利用零點存在定理.
結論:已知函數y=f(x) 在區間(a,b) 上單調,若f(x) 在(a,b) 上存在零點,則f(a)f(b)<0.
注意:若y=f(x)在區間(a,b) 上不是單調函數,則上述結論不一定成立.
例1(1)如果二次函數y=x2+mx+(m+3)在(0,+∞)上有兩個零點,求m的取值范圍.
(2)若方程x2-2ax+4a-3=0 的兩根均大于1,求實數a的取值范圍.
[方法總結]
方法1:韋達定理法,如對于二次方程根的分布情況.(兩根與某一非零常數的關系同理).
例2(1)求實數m的范圍,使關于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
①有兩個實根,且一個比2 大,一個比2 ??;②有兩個實根,且都比1 大;③有兩個實根α,β,且滿足0<α< 1<β<4;④一根小于1,另一根大于2;⑤兩根均在(1,4)之間.
(2)關于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個實根一個小于1,另一個大于1,求實數k的取值范圍.
(3)在下列條件下,分別求出m的取值范圍.
①方程x2-mx-4=0 在[0,1]有解;②函數f(x)=x2-3x+4-m在[-1,1]上有零點.
[方法總結]
方法2:圖象分析法