情境模式下的數學知識串講

黃王華

單元整體教學，打破知識結構原有的禁錮。針對廣東中考取消了考試大綱，深度挖掘教材的思想方法，一元二次方程的應用是歷年廣東中考的熱點問題，而對于課本習題中的圍欄問題也是一元二次方程與幾何圖形的結合綜合性較強的小壓軸題，基于單元整體教學的方式，本教學案例特利用情境模式對一元二次方程應用問題進行一系列的知識串講，讓學生在整體上把握一元二次方程的應用的解題思路，形成整體感觀。同時在數學教學中滲透勞動教育思想，讓學生體會到數學源于生活，更要服務于生活，逐步從學數學到用數學的過程。

一元二次方程的應用——圍欄問題的分析教學設計

課標表述?????? 學習內容?????? 具體要求?????? 學習水平

抽象出實際問題中的數量關系，布列一元二次方程，運用一元二次方程的解法求得方程的解（根），進而解決實際問題，是一元二次方程的中心問題，要進一步深化數學的模型思想。????? 一元二次方程的解法? 會運用適當的方法解一元二次方程（直接開方法、配方法、公式法、因式分解法）? C

會運用根的差別式判斷方程是否有根????????? C

一元二次方程的應用模型???? 能理解、運用實際問題中的幾何構圖模型??? B、C

能理解、運用實際問題與數學模型之間的轉化運用 B、C

能理解、運用一元二方程根的實際意義?????? B、C

能綜合運用一元二次方程思想構建函數問題 B、C、D

序號??? 知識與技能目標??????? 學習水平

1??????? 會運用適當的方法解一元二次方程（直接開方法、配方法、公式法、因式分解法）?????? □識記（A）□理解（B）

運用（C）□綜合（D）

2??????? 會運用根的差別式判斷方程是否有根????????? □識記（A）□理解（B）

運用（C）□綜合（D）

3??????? 能理解、運用實際問題中的幾何構圖模型??? □識記（A）理解（B）

運用（C）□綜合（D）

4??????? 能理解、運用一元二方程根的實際意義?????? □識記（A）理解（B）

運用（C）□綜合（D）

5??????? 能綜合運用一元二次方程思想構建函數問題 □識記（A）理解（B）

運用（C）綜合（D）

序號 ?? 過程與方法目標??????? 能力水平

1??????? 由一元二次方程實際問題抽象幾何模型?????? 運算求解推理論證空間想象

數學表達數據處理數學建模

2??????? 由幾何模型還原對生活進行服務????? 運算求解推理論證空間想象

數學表達數據處理□數學建模

序號??? 情感態度與價值觀目標??????? 育人價值的視角

1??????? 通過對一元二次方程的應用構建模型，體會從直觀感到理性說理的的探究歷程，體驗一元二次方程在實際生活中的應用，形成數學說理的意識?? 數學與理性數學與思維

數學與方法數學與美學

數學與社會

2??????? 在探究建模的過程中，積累數對實際問題產生的影響，體會嚴謹、準確和簡明地開展數學活動的的重要意義，提高數學思維的品質? 數學與理性數學與思維

數學與方法數學與美學

數學與社會

活動主題?????? 一元二次方程的應用與二次函數最值問題----圍欄問題的實際探討

活動目標?????? 經歷由一元二次方程的應用“操作實驗---歸納總結---說理驗證”的探究過程，體會數學建模思想，體會直觀感知與理性思考的聯系和區別，懂得直觀觀察結論需說理論證，發展推理能力;體驗解決問題方法的多樣性，養成積極探究的態度、獨立思考的習慣和團隊全作的意識

活動任務?????? 任務：（六人小組合作，每個小組提前準備直尺、三角尺、量角器與20m長的籬笆）

1.小組合作，制定20m長籬笆圍矩形花圃方案;

2.如何使材料盡用，面積最大;

3.如何利用好實際的條件限制數據;

背景說明?????? 為獲得足夠的花卉順利進行生物實驗，茶山中學生物老師鄒裕容老師聯系學?？倓仗?，準備利用課外時間在學校圍墻外開辟一塊矩形地方，種植生物實驗所需的一些花卉植物，請同學們利用自己所學數學知識（一元二次方程）及函數的最值問題幫鄒裕容老師解決一些實際問題。

【教材原題呈現】（人教版九年級上冊P25，綜合運用第8題）如圖，利用一面墻（墻的長度不限），用20m長的籬笆，怎樣圍成一個面積為32m2的矩形花圃區？ （數據有變）

【數學建?！拷猓喝鐖D，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，

依題可列：x（20-2x）=32

解得：x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

當x=2時，BC=20-2x=20-2╳2=16m

當x=8時，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墻的長度為2米，平行墻的長度為16米或垂直墻的長度為8米，平行墻的長度為4米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區。

【說? 明】此類題，學生在設未知數的表達上比較模糊，常見錯誤直接設長為xm，這樣不方便表達，因為長與寬是一個相對的概念，所以建模時把實際問題轉化為幾何圖形、數學符號化的表達。

【問題1】此時有同學說太小了，能不能圍成一個面積為54 m2的矩形花圃區呢？

【解? 答】解：如圖，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依題可列：

x（20-2x）=54

解得： x2-10x+27=0? ∵△=102-4╳1╳27=100-108<0? ∴此方程無實數根

答：不能圍成一個面積為54的矩形m2的矩形花圃區.

【問題2】此時又有同學提出建議，沒有門，進出不方便，如果建一個寬1m的門，怎樣設計才能圍成一個面積為32m2的矩形花圃區呢？

【解? 答】解：如圖，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

x（20+1-2x）=32

解得： 2x2-21x+32=0? ∵△=212-4╳2╳32=441-256=185

∴x=? ∴x1=8.56?? ∴x2=1.85

當x=8.56時，BC=21-2x=21-2╳8.56=3.88m

當x=1.85時，BC=21-2x=21-2╳1.85=17.3m

答：垂直墻的長度為8.56米，平行墻的長度為3.88米或垂直墻的長度為1.85米，平行墻的長度為17.3米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區.

【問題3】此時有同學說這樣會不會圍的面積太小了，沒有盡量使用20米的籬笆，如果場地夠用，建一個寬1m的門，最大可以圍成多大面積的矩形花圃區呢？

【解? 答】解：如圖，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x

令S=0時，x1=0，x2=，所以對稱軸為x=

∴當x =時，S最大值=（21-2╳）=55.125 m2

∴當x =，BC=20+1-2x=

答：垂直墻的長度為米，平行墻的長度為米，最大可以圍成多大面積為55.125 m2的矩形花圃區.

【問題4】同學們在討論得差不多了，大家帶好工具前往工地，準備施工，卻發現，場地受限，圍墻的長度最多只有10米可用，同學們感覺到之前計算討論的結果被現實困住了，接下來同學們放下工具，重新考慮場地受限的條件。（補現場圖片）

如圖，利用一面墻（墻的長度不能超過10米），用20m長的籬笆，怎樣圍成一個面積為32m2的矩形花圃區？

【解? 答】解：如圖，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依題可列：

x（20-2x）=32

解得： x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

當x=2時，BC=20-2x=20-2╳2=16m>10m，不符合題意，舍去

當x=8時，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墻的長度為8米，平行墻的長度為4米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區.

【問題5】如圖，利用一面墻（墻的長度不能超過10米），用20m長的籬笆，如果場地夠用，建一個寬1m的門，最大可以圍成多大面積的矩形花圃區呢？

【解? 答】解：如圖，設AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x=-2（x-）2+

∵x>0， 20+1-2x≤10? ∴x≥5.5

∴當x=5.5時，S最大值=5.5（21-2╳5.5）=55 m2

此時當x=5.5時，BC=21-2x=21-2╳5.5=10m

答：垂直墻的長度為5.5米，平行墻的長度為10米，最大可以圍成多大面積為55 m2的矩形花圃區.

【動手實踐】在同學們經過集體討論，驗證的基礎上，得出實踐的操作方式，做到材料盡用，適用性面積最大化，垂直墻的長度為5.5米，平行墻的長度為10米制作矩形花圃區，同學們分小組合作作，一部分同學建花圃，一部分同學開始松土、除草等勞動工序。

活動反思?????? 整個活動中，學生以小組合作的形式進行項目式問題遞進的的探索與研究，同學們從實際生活的便利性、適用性、合理性等方面進行考慮。再根據一元二次方程的應用，構建具體的可操作數學模型，進行科學有效的論證，再到實踐中的具體問題進行問題的拓展，得到合理的解決問題的方法。后續將利用信息技術的融合，把活動制作成視頻，利用視頻進行現場的勘探，把數學服務實際生活的勞動場面制作成視頻，作為一份寶貴的的資源供其它同學參考學習，增加學生的研究興趣，同時也能增加數學學科的育人功能。

【案例點評】

這節數學課的設計體現了高品質課堂----高尚、本真、靈動、豐厚的基本要素，又符合我?！皠趧咏逃钡纳n堂，從課堂走向課外，再從課外實踐走向課堂，再由課堂服務課外生活。

1.項目式背景，問題驅動

本節數學課利用生物實驗需要的花卉培植入手去，設計矩形花圃為背景，項目式的構建數學問題，由解決問題的層層深入，思考的逐步完善，而面對的生活中的實際數學問題，使得數學問題有血有肉，有感情。并在數學教育中滲透勞動教育思想，讓學生體會數學源自生活，服務于生活，為我們的更好的品質生活去服務。

2.數學思想方法運用得當

學生經歷了情境問題的依托，經歷了從課堂到課外，再從課外到課堂，再從課堂到課外的探究過程。通過探究，學生對一元二次方程構建數學模型有了充分的認識，并會利用單元整體的數學思想對數學知識問題進行串聯學習，從而完成了從課程評價到課程目標，課程過程實施的逆向思維過程，讓過程更好的為評價服務。在教材處理上，既尊重了教材，又開發了教材。特別是學生根據自己的想法，給問題設定了一定的限定條件，從而很好的解決數學問題。

3.教學設計獨具匠心

本教學設計知識體系清晰，設計思路新穎。從背景導入，問題逐步升級，層層遞進，步步深入。特別是學生問題由一元二次方程的應用問題轉化為二次函數最值問題的過渡，為學生深層次的掌握二次函數的最值問題探討做了很好切入，這種打破常規的教學思路，讓人耳目一新。

4.學生的數學思維品質得到了很大的提升

教學是開放的，學生學習是自主的、合作交流的。由項目式問題背景，問題驅動為導向，這樣有利于培養學生的思維能力。學生展示也是多樣性的，在展示過程中學生的思維在層層遞進。學生經歷上課堂的參與，從經歷獨立的冥思苦想到經歷合作交流的激情碰撞，加深了對問題的理解，提升了分析問題與解決問題的能力。

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