毛加驊
摘 要:直線與圓錐曲線問題中,經常涉及到韋達定理,學生在計算中覺得繁瑣,計算的錯誤多。為了減少錯誤,優化運算,筆者運用了三階行列式與兩根之差公式計算面積,二次函數中的兩根式減少了繁瑣的計算過程,簡化運算步驟,提高運算的正確率。
關鍵詞:直線與圓錐曲線;運算技巧
在直線與圓錐曲線問題中,聯立方程組消元之后會得到一個關于x(或y)的一元二次方程,在涉及弦長與面積的計算中,需要運用韋達定理來計算兩個根的差,或者在其它問題中需要計算等類似的式子。計算過程中,會顯得繁瑣,錯誤多,筆者利用以下的三個公式,優化了運算,減少錯誤。
一、三個公式
1.根差公式
一元二次方程中,由求根公式得到
根差公式:.
2.三角形面積公式
已知直線上兩點,,與定點, 那么三角形的面積可以用三階行列式表示為,將三階行列式展開,將分別代入三階行列式的展開式中,就可以得到面積公式:.
3.兩根式
一元二次方程中兩個根為與,那么可以將方程表示為 ,所以.
二、公式應用
例題1.(2012年·北京文科卷)已知橢圓C:的一個頂點, 離心率為.直線與橢圓C交與不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN得面積為時,求k的值.
解:(1)橢圓C的方程為.
(2)由得------(*)
設點M,N的坐標分別為,,則由面積公式,將代入可得,因為(*)中?、,所以面積,由,解得.
例題2.(2014年·湖南文科卷)如圖5,O為坐標原點,雙曲線和橢圓均過點,且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直線l,使得l與C1交于兩點,與C2只有一個公共點,且?證明你的結論.
解:(1)計算可得C1,C2的方程為.
(2)①若直線l垂直于x軸 ,因為l與C2只有一個公共點,
所以直線的方程為或,由計算可得.
②當直線l不垂直于x軸,設l的方程為,由 消元可得
方程------(#)
當l與C1相交于兩點時,設,則滿足上述方程的兩個實根,那么令,由兩根式可得而等價于,所以只需要計算,其中由(#)式可得,,而
,
由消元可得,因為直線l與C2只有一個公共點,所以上述方程的判別式,
化簡可得,因此
,
從而.綜合(1)與(2)可知,不存在符合題目條件的直線.
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