高中數學均值定理及其應用探討

張連英

摘 要：在高中的數學學習中，均值定理是一項工具性知識內容。同時不少學生在學習均值定理的過程中，對均值定理沒有深刻的理解，不能正確的應用均值定理解決問題，不能熟練的靈活的運用均值定理。在這樣的背景下，做為一名高中的數學老師，要深刻的認識到均值定理的廣泛用處，了解到均值定理在高中數學中的重要作用。所以教師在日常的教學過程中，要注意向學生展示均值定理在解決問題方面的的突出特點，幫助學生加深對均值定理的理解。本文就高中數學均值定理及其應用探討展開討論。

關鍵詞：高中數學;均值定理;應用

高中階段的均值定理在學生的學習過程中，是一個比較難以理解的知識點。因為高中生更加的習慣于叫算出準確的結果，對于均值定理這樣的不等式表達方式沒有明確的認識。學生在學習的時候對均值定理不夠重視，在解題的過程中就不會有有效的練習。在高中階段的學習過程中，有很多部分的習題都可以利用均值定理進行解答，就算不能利用均值定理解出正確的答案，也可以對解決問題提供一定的幫助。做為一名高中的數學老師，要幫助學生建立起對均值定理的正確理解，讓學生了解到均值定理的廣泛應用，幫助學生提高解題的效率，提高學生成績。

1、均值定理的內容

均值定理是建立在均值不等式的只是基礎上的一個工具性定理，要想對均值定理的的內容有所了解，就要掌握好不等式的相關知識。但是對于高中生來說，基礎的不等式知識是比較簡單的，學生也更容易掌握。但是學生對于均值定理的理解是有些困難的。對于均值定理的內容（a+b）/2>=（ab）1/2來說，是由于一定的使用條件的，教師在教學的過程中要著重強調均值定理的使用條件。對于這樣的均值定理來說，其中的a、b都要求是正數，而且當且僅當a=b的時候，才能取到等于號。而對于的均值定理的變式a2+b2>=2ab來說，僅僅是要求a、b屬于實數即可。同時在教材里把（a+b）/2定義為算數平均數，把（ab）1/2稱為a、b的幾何平均數，所以也可以把均值定理表述成兩個正數的算數平均數不小于它們的幾何平均數。在高中的教學階段中， 教師要非常注意到對于均值不等式的條件的講解，在日常的應用過程中，也要注意到對應用條件的講解與推導。均值定理在高中階段的解題過程中，有著非常重要的應用。在解決一些不等式問題、導數問題、函數問題以及一些比較特殊的選擇填空問題的時候，都有著非常重要的應用。有效的利用均值定理進行解題，在一些特殊的問題里，可以更準確的、更快速的得出正確的答案。均值定理的應用是非常廣泛，特別是利用均值定理的特殊條件，可以有效的解決選擇、填空中的最值問題。所以老師要注意均值定理的講解，幫助學生有效的理解均值定理，靈活的應用的均值定理，提高做題的效率，提高學生的數學成就。

2、均值定理的有效應用

2.1深刻理解均值定理

想要有效的應用對均值定理，首先就要對均值定理有一定的理解。對于學生來說不僅要記住均值定理的內容和適用條件，還要對均值定理的內容有一定的理解。應用是要建立在一定的理解上，對知識的理解的越深刻，對知識的利用就越靈活，在這樣的條件中，學生才能提高成績。對于教師來說，就要注意在上課的過程中，對均值定理進行有效的講解，幫助學生加深對均值定理的理解。老師在講解的過程中，要注意與之前的知識相聯系，加強學生的基礎，還要利用各種方法提高學生的學習興趣，同時要讓學生認識到均值定理的重要作用。

例如在人教版教材中第二章2.2節《基本不等式》的講解過程中，就要利用各種有效的教學方法，幫助學生深刻的理解均值定理。在上課的時候，教師可以先利用多媒體技術幫助學生復習一下不等式的知識點，幫助學生鞏固好基礎。然后教師就要結合教材的內容，給出均值不等式，讓學生利用不等式的知識加以證明。這個知識的證明比較簡單，基本上所有學生都可以完成。然后就要向學生明確基本不等式的使用條件。幫助學生加深對均值不等式的理解。然后教師可以利用反證法在黑板上板書證明均值不等式的應用條件，加深學生的記憶。之后就要結合幾何圖形幫助學生理解均值不等式的幾何意義。教師在黑板上畫個圓，找出圓心，做直徑，做出垂直于直徑的一條弦。讓學生思考，如何用這個圖形證明基本不等式。學習比較好，觀察能力比較強的學生就可以發現均值定理的幾何解釋，即半徑不小于半弦長，僅當半弦通過圓心是二者相等。這樣的教學過程就可以讓學生清晰的感受到均值定理的內容和使用條件，對學生深刻的理解均值定理有很大的幫助。

2.2利用均值的定理解決最值問題

最值問題是高考中的熱點問題，是具有一定難度的問題。均值定理最基本的也是最常見的應用就是解決最值問題。根據均值定理的內容可以知道，當幾個正數的和為定值的時候，它們的積就可以利用均值定理取得最值，同樣如果積是定值也可以利用均值定理取得最值。當然在高中的教學背景下，數學題目的設計有簡單的也有困難的，對學生能力考察也是比較全面的。所以作為一名高中的數學老師，想要讓學生在考試中能夠正確的使用均值定理，不僅要幫助學生打好不等式的基礎，還要讓學生對均值定理有更加深刻的理解，真正的做到靈活的運用均值定理。

例如教師在設計練習題的時候，紀要注意到均值定理這一方面的應用?？梢栽O置一些簡單的應用幫助學生鞏固基礎，設置一個到兩個有難度的幫助學生拓寬思維。教師在上課的時候對于例題的選擇是非常重要的，如果選擇一些過于簡單的習題作為例題，不能突出均值定理的優點，學生對均值定理的內容就不能明確的認識。如果選擇的題目太難，對于剛學習到均值定理的學生來說又難以理解，打擊學生的自信心。所以例題的選擇是非常重要的。像a>b>0，求a2+16/b（a-b）的最小值，這樣的題目已知條件里明確的滿足了均值不等式的使用條件，有助于學生把解題思路放在均值定理上，學生在解題的時候只需要對題目的結構進行適當的變形，就可以發現利用均值定理解決問題的方法，得出24的正確答案，利用均值定理解決最值問題是每個學生都應該掌握的。

2.3利用均值定理解決證明問題

利用均值定理不等式的形式，可以用來對一些不等式的證明，但是在證明不等式成立的時候，需要注意到均值定理的使用條件，即都是正數而且和或者乘積為定值，才可以可利用均值不等式解決證明問題。老師在講解均值定理的時候，就要向學生介紹這一方面的內容。雖然這種證明不是高考考察的重點，但是它也在均值定理的考察范圍內，對于高考的準備不能有半點的僥幸心理。同時對于這類應用的掌握，有利于培養學生發散性的思維，會在學生學習其他的內容是提供一定的幫助，有利于學生成績的提高。

例如在教學的過程中，老師就可以設置一些不等式證明的題目，用來給學生講解均值定理在證明上的應用。老師在上課的時候就可以板書題目：已知X1X2.......Xn=1，且X1X2......XN均大于零，求證（1+X1）（1+X2）......（1+Xn）>=2n，這樣的題目就就可以利用均值定理進行求解。然后讓學生短暫的思考一下，然后老師就可以提問學生：“大家有什么解題思路嗎”然后叫幾個學生回答，然后老師就要給出正確的解答思路，告訴學生們要利用均值定理進行解答，并提醒學生在解答時應該注意到的一些問題。然后給學生一些時間，讓學生進行解題，老師在這個時候就要觀察學生的答題狀態，適當的調整自己的教學計劃。在班級里的大部分的學生讀出結果后，教師就要在黑板上講解這道題，幫助學生加深理解。然后還要留幾個練習題幫助學生鞏固知識，加深記憶。

2.4利用均值定理解決函數問題

函數問題是高中階段非常重要的學習內容，難度相較于其他的學習內容來說也是比較難的，想要解答這類問題需要學生有較強的基礎和數學思維。利用基礎的均值定理可以有效的幫助學生解決一部分的函數問題。均值定理在函數問題中的應用還是比較常見的，而且一般來說難度不大，大部分的學生都可以拿到這部分的分數。因為函數的題型靈活多變，就需要學生具有較強的邏輯思維與扎實的基礎知識。在日常的教學活動中就需要加強對學生基礎的練習。

例如在進行這一部分的復習的時候，就要從基礎抓起。在三角函數問題中，均值定理有著非常廣泛的應用，所以利用均值定理解決三角函數問題就是教學的重點之一，同時也是高考考察的重點。用傳統的方法解決三角函數的問題，過程繁瑣，需要多次的頻繁的利用三角公式進行變換，學生在解題的過程中非常容易出錯，然而如果利用均值定理解答就會變得簡單很多。不僅會節約學生大量的時間，還會提高學生的準確性，可以有效的提高學生的考試成績。

結束語

在高中階段的均值定理是一個非常重要的內容，不僅在高考中占據著很重要的地位，而且在利用均值不等式解決問題的過程中，還擴寬了學生的解題思路，而且均值定理與其他的知識也有很密切的聯系，可以幫助學生加深對其他知識的理解。幫助學生找到了新的解題方法，有利于學生在高考中取得更好的成績。

參考文獻：

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