簡諧振動在非慣性系中的動力學分析*

米儀琳

(北方工業大學理學院 北京 100144)

1 引言

簡諧振動是最簡單、最基本的振動，任何復雜的振動都可以分為若干個簡諧振動，因此在大學物理教材中重點地探討了慣性系中簡諧振動的基本規律[1～3].那么在非慣性系中，原來做簡諧振動的系統是否還在做簡諧振動；非慣性系需要滿足什么條件；振動的周期和角頻率是否還是唯一地取決于振動系統，等等.學生在理解上容易出現錯誤，文獻中也極少涉及[4～6].本文以彈簧振子、單擺復擺為例，系統研究了在各種平動、轉動非慣性參照系中，系統做簡諧振動的條件和運動規律.

眾所周知，當系統位于非慣性參照系中時，系統不僅受到物體間的相互作用力，還受到慣性力的作用[7,8].若選地面為S系，S′系相對S系以加速度a0做加速直線運動.一運動質點相對S系的速度為ν，相對S′系的速度為ν′，則根據牛頓的絕對時空觀和伽利略的速度變換方程，運動質點的絕對加速度a、相對加速度a′和牽連加速度a0的關系

a=a0+a′

(1)

若質點所受合外力為F，其運動速度遠遠小于光速，則質點質量m的相對論效應可以忽略，方程兩邊同時乘以標量m

ma′=F+(-ma0)

(2)

設f*=-ma0是S′系相對S系加速運動產生的，它是一種非相互作用力，我們把它稱為慣性力[8].

當S′系繞靜止于慣性系S中某一點O，以角速度ω轉動時，質點的絕對加速度a、相對加速度a′的關系，則可以表示為[7]

(3)

其中r是從O點指向質點所在位置的有向線段，ν′是質點相對S′系的運動速度.若質點受到的合外力為F，S′系相對S系做勻角速轉動，則在S′系中

ma′=F+mω2r-2mω×ν′

(4)

設離心力

科里奧利力

2 加速平動參照系中諧振動系統的運動

2.1 加速運動小車中的彈簧振子

一勁度系數為κ的輕彈簧連接一質量為m的小球(小球可以看做質點)，豎直懸掛于小車內，小車在光滑水平面上以加速度a運動，如圖1所示.下面我們分析彈簧振子的運動情況.

圖1 加速運動小車里的彈簧振子

選地面為S系，相對地面加速運動的小車為S′系.在S系建立xOy直角坐標系，小車沿x軸正向加速運動.以彈簧振子受力為零的位置即平衡位置為坐標原點，平行彈簧振子方向為O′x′軸，在S′系建立x′O′y′坐標系，如圖2所示.

圖2 彈簧振子位于平衡位置的受力分析

彈簧振子位于平衡位置O′點時，假設彈簧伸長δ，則在O′點

-κδ+masinθ+mgcosθ=0

(5)

mgsinθ-macosθ=0

(6)

(7)

如果小車運動的加速度a發生變化，彈簧振子的平衡位置會隨著加速度a的改變而改變,彈簧振子不再是圍繞平衡位置做往復運動.因此，只有小車勻加速運動時，彈簧振子的平衡位置才不隨時間發生變化，彈簧振子和豎直方向的夾角θ是固定的,這時系統才有可能做簡諧振動.

沿x′軸方向，將彈簧振子拉離平衡位置.假設某一時刻，彈簧振子位于坐標x′處，分析小球的受力情況.該時刻彈簧振子相對豎直位置偏離θ′，則根據式(2)，有

(8)

mgsinθ′-macosθ′=0

(9)

由式(7)、式(9)，得出

θ=θ′

(10)

式(10)說明彈簧振子在沿x′軸方向運動時，彈簧振子和豎直方向的夾角θ和它的運動狀態無關.

由式(5)～(10)可以得出

(11)

x=Acos(ωt+φ)

(12)

振動周期

(13)

由式(5)～(13)得出，在相對地面勻加速平動的小車上，豎直懸掛的彈簧振子仍會圍繞平衡位置做簡諧振動，其平衡位置與豎直方向有一夾角θ，θ角取決于小車的加速度和彈簧振子所在位置的重力加速度；而振動角頻率和周期只取決于振動系統，與小車運動的加速度無關.

采用與上述類似的方法，可以推導出，彈簧振子處于豎直加速平動參照系中(如，彈簧振子懸掛于豎直加速下降的電梯里)時，彈簧振子仍做簡諧振動，并且振動角頻率、周期只與振動系統有關.

2.2 斜面上的單擺

一傾角為θ(θ很小) 的斜面，靜止在水平面上.車沿著斜面以加速度a自頂端滑下，單擺位于一小車內，單擺擺長l，擺球質量為m.下面我們討論單擺的運動情況.

選地面為S系，沿斜面加速運動的小車為S′系.在S′系建立xOy直角坐標系，x軸沿斜面方向，y軸沿垂直斜面方向，如圖3所示.

圖3 小車沿斜面加速運動時，單擺位于平衡位置的受力分析

在S′系觀察，某時刻單擺所受合力為零，單擺處于平衡位置，此時，單擺和y軸正向夾角α.將單擺受力向x軸、y軸方向分解

ma-mgsinθ-Tsinα=0

(14)

Tcosα-mgcosθ=0

(15)

則在小車相對斜面加速運動時，若懸掛于小車上的單擺處于平衡位置，單擺和y軸正向之間的夾角α滿足

(16)

斜面傾角θ很小，則

(17)

若小車沿斜面加速運動時，加速度a隨時間發生變化，則單擺的平衡位置也會隨著加速度a發生變化，單擺將不再做簡諧振動.

假設小車沿斜面做勻加速運動，將單擺拉離平衡位置，單擺開始運動，某一時刻單擺偏離平衡位置Θ，如圖4所示，單擺和y軸方向之間的夾角為α+Θ，在S′系建立自然坐標系，取逆時針方向為轉動正方向.

圖4 小車沿斜面勻加速運動時，單擺的受力分析

分析單擺的受力情況，列出其動力學方程

(18)

(19)

由式(18)得出

(20)

若單擺偏離平衡位置的角度Θ很小，α也很小，斜面傾角θ也很小，則由式(14)～(20)得到

(21)

Θ=Θmcos(ωt+φ)

(22)

單擺運動的周期

(23)

式(14)～(23)說明，在單擺擺角Θ、斜面傾角θ很小，并且α也很小的情況下，單擺做簡諧振動，并且其振動的角頻率ω、周期T只取決于振動系統.在這里α是單擺處于平衡位置時和y軸方向的夾角，由式(17)可以看出α與小車運動的加速度密切相關.α很小，則要求小車運動的加速度滿足

a-gθ?g

(24)

即當a?g時，單擺的運動才是簡諧振動.

如果斜面傾角θ=0，則對應著單擺懸掛在小車上，小車在地面上沿水平方向以恒定加速度運動的情況，如圖5所示.

圖5 小車在水平面上勻加速運動時，單擺的受力分析

單擺處于平衡位置時，和豎直方向的夾角α，由式(17) 可以看出，此時

(25)

將單擺拉離平衡位置Θ，由式(18)、(19)可以給出在自然坐標系中，單擺的動力學方程

(26)

Θ=Θmcos(ωt+φ)

(27)

單擺運動的周期

(28)

單擺此時做簡諧振動.由式(24)可以得出，α很小，則要求

a?g

(29)

由以上的討論可以看出，無論小車是在地面上，還是在靜止的斜面上做勻加速運動，當小車運動的加速度a遠遠小于重力加速度g，并且單擺擺角Θ、斜面傾角θ都很小的情況下，單擺在加速平動的小車內仍圍繞其平衡位置做簡諧振動，振動周期只與振動系統和單擺所在位置的重力加速度有關，與單擺是否處于慣性系中無關.

2.3 加速運動電梯中的復擺

以加速度a向上運動的電梯內有一鐘擺，如圖6所示，分析鐘擺的運動.

鐘擺對懸掛點O的轉動慣量為J，質心為C，懸掛點O到質心的距離OC=r.某一時刻，鐘擺偏離平衡位置，與豎直方向夾角為θ(θ很小)，如圖6所示.

圖6 電梯加速上升時，鐘擺的受力分析

以逆時針方向為轉動正方向，根據剛體的角動量定理，可以得出

(30)

令

則鐘擺定軸轉動的動力學方程

(31)

鐘擺轉動的運動學方程

θ=θmcos(ωt+φ)

(32)

處于加速上升電梯中的鐘擺，在擺角θ很小的情況下，仍做簡諧振動.其周期

(33)

與在慣性系中不同的是，鐘擺簡諧振動的角頻率和周期不僅與振動系統、鐘擺所在位置的重力加速度g有關，還與電梯的加速度密切相關，鐘擺簡諧振動的角頻率會隨著電梯加速度的增大而增大.

3 轉動參照系中的彈簧振子

一圓盤以角速度ω′繞通過盤心C點的豎直光滑軸轉動，如圖7所示.一勁度系數為κ、質量為m的彈簧振子固定于盤心，置于沿圓盤半徑方向的光滑槽內.分析彈簧振子的運動情況.

圖7 勻速轉動圓盤上的彈簧振子及其受力分析

選地面為S系，勻速轉動的圓盤為S′系.在S′系，以彈簧振子的平衡位置為坐標原點，沿徑向凹槽建立Ox直角坐標系，分析彈簧振子的受力情況.

假設彈簧原長l0，彈簧振子處于平衡位置時，彈簧振子受力為零，彈簧伸長δ.則有

-κδ+mω′2(δ+l0)=0

(34)

拉伸彈簧振子離開平衡位置，某一時刻，彈簧振子處于坐標x處，于是

(35)

彈簧振子的動力學方程

(36)

令

則彈簧振子此時的運動學方程

x=Acos(ωt+φ)

(37)

所以，處于相對地面勻速轉動的圓盤上，彈簧振子仍做簡諧振動.其周期

(38)

因此只有當圓盤勻速轉動時，彈簧振子的運動才是簡諧振動，并且彈簧振子振動的角頻率ω和周期T不僅與彈簧的勁度系數κ、彈簧振子的質量m有關，還取決于圓盤轉動的角速度ω′，并且會隨著角速度ω′的改變而改變.這與彈簧振子處于慣性參照系、加速平動參照系中完全不同.彈簧振子處于上述參照系中時，彈簧振子做簡諧振動，并且振動的角頻率ω和周期T只和振動系統有關，和其他因素無關.而在轉動參照系中，彈簧振子仍做簡諧振動，但振動的周期T和角頻率ω與轉動參照系的角速度ω′密切相關，不再唯一取決于振動系統彈簧振子.

4 結論

我們借助于慣性力，研究了處于不同非慣性系中的彈簧振子、單擺、復擺的運動，得出了非慣性系中簡諧振動的條件和運動規律.研究發現，當諧振動系統處于非慣性系時，系統是否仍做簡諧振動，與我們所選用的非慣性參照系和振動系統密切相關.系統只有處于勻加速平動參照系或勻速轉動的參照系時，平衡位置才不隨時間發生變化，系統才有可能圍繞平衡位置運動.彈簧振子無論處于勻加速平動參照系還是勻速轉動的參照系中，都依舊做簡諧振動.只是在轉動參照系中，彈簧振子振動的周期T和角頻率ω與轉動參照系的角速度ω′密切相關，不再唯一取決于振動系統；而處于水平加速平動參照系中的單擺，則在擺角Θ很小、斜面傾角θ很小(或θ=0)，同時平動參照系加速度a遠遠小于重力加速度g(a?g)時，系統才做簡諧振動，其振動周期T與系統是否處于慣性系無關，仍然僅與振動系統和重力加速度g有關；而處于豎直加速的平動參照系中的復擺，只要是做小角度擺動，其運動就仍然是簡諧振動，但是與水平加速平動參照系中的單擺不同的是，位于豎直加速的平動參照系中的復擺，其振動角頻率ω和周期T不僅與振動系統、重力加速度g有關，還與平動參照系的加速度a密切相關.本文為非慣性系中的簡諧振動建立了清晰的物理圖像，這將有利于加深學生對簡諧振動的理解，提高學生分析問題、解決問題的能力.