封閉系統的傳染病傳播問題

祁渤 楊文宇 廖梓巽

[摘? 要：本文針對封閉系統的傳染病傳播問題，運用了微分方程、導數等方法。討論 在封閉系統中，傳染病得病人數的變化情況，分別對多種情況進行說明并構建了VPH（易感→患病→康復）、VLPH（易感?潛伏→患病→康復）等模型，綜合運用了Matlab、思維導圖、RStudio 等軟件編程求解，得出合理結論。

關鍵詞：疾病傳染;微分方程;Matlab;思維導圖]

將學?？醋饕粋€封閉系統，學生的總數量不變。食堂作為其中的一個公共場 所，包含流動的人群和固定的工作人員。 當工作人員或學校中的某人為潛伏者時，其會通過出入食堂的人們來傳染病 毒，對此，我們用所學的知識來討論學校內可能成為感染者的人數變化情況。

一、問題

本題是在一個封閉系統中，包含一個公共場所，該場所中含有固定的工作人員，且在該封閉系統中含有一個潛伏者可傳染病毒。要求討論在某些條件下患病者數量的變化

二、模型假設條件

1.該封閉系統中總人數 A 視為常數且保持不變，時間 D 以天為計時單位;

2.封閉系統中公共場所除工作人員外都可自由進出;

3.該病毒處于潛伏期階段也具有傳染性;

4.將人群分為以下四類： 易感者 V（Vulnerable groups）; 患病者 P（Patients）; 潛伏者 L（Lurkers）; 3 康復者 H（Health people）;

5.病情恢復有三種情況，一是患病者 P 恢復為易感者 V;二是患病者 P 恢復為 康復者 H;三是潛伏者 L 恢復為易感者 V;

6.成為康復者后，后續有兩種情況，一是獲得短暫性免疫，單位時間后又再次 成為易感者，二是獲得終身性免疫，即不會再次感染病毒;

7.不考慮這段時間內人口出生率和自然死亡率以及由病毒引起的死亡人數;

8.忽略個體之間的差異和性別對該病毒傳播的影響。

三、模型求解

模型：VLPH 模型（Vulnerable-Latent-Patient-Health Model）

（一）模型假設

1.該封閉系統人群分為易感者V、潛伏者L、患病者P和康復者H四類，D時刻這四類人的人數占總人數的比例分別為v（D）、l（D）、p（D）和h（D）。

2.該封閉系統中有一可傳播病毒的潛伏者（工作人員或其他人員），研究其從潛伏者開始感染易感者的人數變化情況。

3.每天每個潛伏者接觸到t2名易感者，即每個潛伏者能接觸到易感者的接觸率為t2/A（t2>0）;每天每個易感者接觸到t名潛伏者，即每個易感者能接觸到潛伏者的接觸率為 t/A（t>0）;潛伏者的潛伏期轉陽率為θ，傳染率即患病者接觸到易感者后得病的概率為c（0

4.患病者具有恢復能力，痊愈后具有抗性不再被感染，恢復率為γ2（0< γ2<1）。

（二）模型構建

根據假設，每天每個患病者能使（t/A*c*P/A）名易感者變為患病者，每天有（P*γ2）名患病者恢復為康復者，每天有（H*θ）名康復者轉換為易感者。D11時刻易感者數為V（D），患病者數為P（D），康復者數為H（D）。每天共有（V*t/A*c*P/A）名被感染為患病者。

其中A=V（D）+L（D）+P（D）+H（D），v（D）+i（D）+P（D）+h（D）=1

每天增加的患病者比例為：

每天增加的患病者數量為：

建立模型，得到微分方程為

（三）模型求解

根據構建的模型，對總人數A，時間天數D，接觸人數t，t2，傳染率c，恢復率γ，潛伏期轉陽率θ進行賦值。

①該潛伏者為工作人員：A=500，D=500，t=100，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08; ②該潛伏者為其他人員：A=500，D=500，t=300，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08。將值代入微分方程，用Matlab軟件繪制出該模型系統中得病人數的變化情況如下：

四、結果分析

綜上圖所示可知，在此模型下，存在潛伏者。隨著時間推移感染者數量在不斷減少，最終趨于零?？祻驼咭驗椴粩嘣黾?，潛伏者在t1時間前迎來峰值，因自身可免疫成為易感者，則隨著 時間的推移，潛伏者數量也逐漸趨于零。其他人員的接觸率更高，傳播病毒更快，因此提高了潛伏者和感染者的峰值，但隨著時間推移，兩者數量都將趨近于零。由于潛伏者的存在，并且其在潛伏期可以傳播或治愈，因此更加接近實際，采用此模型分析問題最佳，反應各類人數量變化真實明顯。

參考文獻

[1]楊啟帆，方道元：數學建模，浙江大學出版社，1999年版.

[2]方道元，韋明?。簲祵W建模：方法導引與案例分析，浙江大學出版社 2011年版.

[3]李大潛：中國大學生數學建模競賽，高等教育出版社，1998年版.

作者簡介

祁渤（1999.01-），女，漢族，遼寧省遼陽縣，本科在讀，大數據（計算機應用）。

楊文宇（2000.03-），女，漢族，遼寧省大連市，本科在讀，大數據（計算機應用）。

廖梓巽（1998.12-），男，漢族，四川省成都市，本科在讀，大數據（計算機應用）。

遼寧科技學院? 遼寧? 本溪? 117000