不平衡磁懸浮轉子自動平衡仿真分析

王叢濤，郭 輝，孫 鳳

(沈陽工業大學 機械工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引言

磁懸浮軸承是一種利用可控磁力將轉子懸浮于空中，使定子與轉子之間實現無接觸支承的一種新型高性能軸承。從產生磁力的方式上劃分，磁懸浮軸承可劃分為三大類，即主動磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)、被動磁懸浮軸承(Passive Magnetic Bearing，PMB)和混合磁懸浮軸承(Hybrid Magnetic Bearing，HMB)[1]。其中，主動磁懸浮軸承是基于閉環反饋控制的典型機電一體化產品，由于主動控制的存在，使得主動磁懸浮軸承具有剛度和阻尼可控、可補償轉子不平衡振動等特點，因此在工業應用中最為廣泛，目前其主要應用于透平機械[2]、機械加工[3]、航空航天[4,5]、人工心臟[6,7]、核能發電[8]等領域。

而在旋轉機械中，由于材料均勻性、加工誤差等原因，再加上高精度的動平衡成本高昂，使得轉子存在不平衡量成為普遍現象，不平衡量是引起旋轉機械振動的主要原因。由于磁懸浮軸承的支承剛度相對較小，轉子的不平衡量隨著轉速的增加，離心力增大，軸承所產生的電磁力并不能完全約束轉子繞其幾何對稱軸旋轉，而是限制轉子繞其慣性主軸和其幾何主軸之間的某一未知軸線旋轉[9]。其中，旋轉軸偏離幾何軸產生不平衡位移，使系統產生振動位移，導致轉子的徑向跳動增大；轉軸偏離慣性主軸產生不平衡力，使系統產生振動力，從而降低整個系統的穩定性。如何對不平衡振動進行抑制，已經成為主動磁懸浮軸承向更高轉速發展的主要障礙。而自動平衡補償控制便是針對后者的一種主動抑振控制方法。

本文從轉子動力學出發，分析得出磁軸承不平衡轉子響應表達式，解釋了自動平衡補償控制的實現原理；并基于MATLAB的Simulink工具箱建立了主動磁懸浮軸承系統模型，通過仿真驗證了理論計算的正確性。

1 轉子不平衡響應分析

本文研究對象為一臺五自由度主動磁懸浮軸承實驗平臺，它由兩組徑向磁軸承與一組軸向磁軸承構成，分別約束轉子的4個徑向自由度與1個軸向自由度。如圖1所示，首先對轉子進行受力分析，在質心處建立空間直角坐標系。由于轉子為剛性轉子，將徑向磁軸承與軸向磁軸承視為無耦合，徑向磁軸承對轉子施加的兩個相互垂直的力相互獨立。其中，Fx、Fy分別為左側磁軸承對轉子施加的水平與豎直方向的電磁力，m為轉子質量，g為重力加速度，ω為轉子角速度。

圖1 轉子受力分析簡圖

圖2為質心截面示意圖。由于不平衡量的存在，導致質心Om與幾何中心Or不重合。

圖2 質心截面示意圖

設fx與fy分別為不平衡量所產生的離心力在x、y軸上的分量，大小為：

(1)

其中：e為偏心距；t為時間。當轉子以角速度ω旋轉時，質心Om的加速度在坐標軸上的投影為:

(2)

其中：x、y分別為幾何軸心在x、y軸上的位移分量；xm、ym分別為慣性軸心在x、y軸上的位移分量。在彈性支撐的狀態下，有：

(3)

z=Aeiωt.

(4)

(5)

其中：A為振幅。

由式(4)與式(5)可知，幾何中心Or的響應頻率與不平衡量的激振頻率相同，而且相位或相等或相差180°。這說明，點O、Or、Om始終在一條直線上。由于磁軸承的支撐剛度較低，因此通常角速度ω>ωn，A<0，但|A|>e，O點落在Or與Om之間。隨著角速度ω的上升，當ω≥ωn時，A≈-e，振動很小，轉動反而比較穩定。由于偏心距的存在，導致轉子幾何中心存在與轉速同頻的規律性變化，控制器采集含有與轉速同頻不平衡響應的位移信號，同時輸出帶有轉速同頻的電流控制信號，從而約束由于質量偏心產生的擾動。而這也導致不平衡振動通過磁軸承傳遞至外部殼體，引發外部殼體的振動。同時，由于線圈中存在轉速同頻的電流，導致功放容易飽和，降低了主動磁懸浮軸承系統的穩定性。

由式(5)可知，A的大小與ωn的大小相關，當ωn足夠小時，即剛度k足夠小時，轉子將繞著質心軸旋轉。在上述分析中，為方便分析計算，將磁軸承假想成定剛度的理想彈性支撐。而實際磁軸承的支撐剛度是通過控制器采集位移信號實時計算出的動態剛度，控制器將位移信號與設定的平衡位置進行對比，通過控制算法計算從而得到對應線圈中的電流值，控制功率放大器產生驅動電流，產生電磁力對轉子進行約束，因此其剛度主要由控制算法決定。由于不平衡量的存在，導致轉子旋轉偏離轉子的幾何中心，當轉子圍繞其質心軸旋轉時仍然存在偏離，這都將導致位移信號中存在轉速同頻的變化量。如果控制器不對由于不平衡量所產生位移量進行控制，即理解為剛度k≈0 N/m，轉子即可實現圍繞轉子質心軸旋轉，并且當|A|→e時，轉子軸心軌跡半徑減小，轉子旋轉精度將有所提升。

由上述可知，不平衡響應信號具有與轉速同頻的特點，同時位移信號中也存在轉速同頻的變化量，而位移信號的變化則直接導致控制器產生控制作用。通過自動平衡補償控制算法濾除位移信號中的轉速同頻分量，即可削弱控制器對由于不平衡量所產生位移量的控制作用，從而只降低轉速頻率點附近的磁軸承支撐剛度。隨著徑向磁軸承線圈中的電流大小逐漸趨近穩定，便可以認為此時剛度k≈0 N/m，轉子此時圍繞其慣性軸旋轉。

2 基于Simulink的自動平衡控制仿真分析

本文建立基于Simulink的主動磁懸浮軸承控制系統模型如圖3所示。模型中考慮電磁力的非線性、位移傳感器誤差以及不平衡量大小與轉速對系統的影響，并在模型中加入以陷波濾波環節為核心的自動平衡補償算法。設定轉子轉速為12 000 r/min(200 Hz)，偏心距e=5 μm。仿真結果如圖4～圖6所示。其中，圖4為濾波前后控制器輸入位移信號頻譜圖。圖5為濾波前后軸心軌跡變化情況。圖6為濾波前后軸承豎直方向外傳力變化情況。

圖3 基于Simulink的主動磁懸浮軸承控制系統仿真模型

圖4 濾波前后控制器輸入位移信號頻譜圖

圖5 軸心軌跡變化情況 圖6 軸承豎直方向外傳力變化情況

由仿真結果可知：系統在穩定運行0.5 s后開啟自動平衡補償算法，補償算法開啟后，控制器輸入端位移信號中的轉速同頻分量被濾除，轉子軸心軌跡半徑由10 μm減小至5 μm附近，接近偏心距e，磁軸承外傳力幅值也由約15 N降低至5 N左右。

3 小結

針對主動磁懸浮轉子不平衡振動的問題，本文首先從理論角度分析了主動磁懸浮振動產生的原因，討論了自動平衡補償控制使轉子圍繞慣性軸旋轉的原理，并通過計算得出自動平衡補償控制在抑制系統振動的同時，可在一定程度上提高磁懸浮軸承轉子旋轉精度，適合應用于高速磁懸浮系統的控制中。建立了含有自動平衡補償控制算法的磁懸浮軸承控制系統仿真模型，并通過仿真驗證了理論計算的正確性。