數形結合，談斜分解在拋體運動的應用

貴州 楊 勇

拋體運動模型以及類似于拋體運動的模型在歷年高考試題中頻繁出現，此類型的運動規律是高考的重點，也是運動學的難點。此類型的問題是力學與運動學的綜合問題，此類問題包含了受力分析、運動分析、力與運動關系的認識和理解、運動矢量合成的理解，考查學生對曲線運動的處理方法。為了能夠充分理解拋體運動的規律及運動的合成與分解問題，本文將從選擇恰當的坐標系的角度來分析拋體運動，理解矢量疊加原理不以具體坐標系的選擇而轉移，從而充分認識各運動的矢量性及分運動的獨立性。

拋體運動常見的有平拋、斜拋和豎直方向上的拋體運動，在處理平拋運動和斜拋運動時，在高中階段的教學中通常選擇直角坐標系來處理，按照題目的要求及條件建立直角坐標系。建立坐標系處理運動學問題，目的是把復雜的運動簡單化，而對于斜拋運動，建立直角坐標系不一定是最簡單的方法。在處理豎直方向上的拋體運動時，通常應用的方法是規定正方向，根據勻變速直線運動規律建立運動方程進行求解?；谝陨系姆椒?，即使很多學生能夠做對，也可能不知道方法中隱含的物理思想，只是一種記憶性的數學應用。為幫助學生理解運動的矢量合成以及優化解決拋體運動的方法，筆者將從受力分析、運動分析、力與運動的關系進行闡述。

1.拋體運動的基本特點與坐標系的選擇

拋體運動的基本特點是加速度的矢量與初速度的矢量具有一定的夾角α，且加速度與初速度都是恒定的矢量，拋體運動是具有恒定加速度的曲線運動，且軌跡為一條拋物線。由于加速度g和初速度v0都是恒定的物理量，通常的方法是以拋出點為坐標原點建立坐標系，構建運動的矢量關系。平拋運動是學生最常見的拋體運動，同時在平拋運動問題中建立直角坐標系也是比較簡單的方法，這里不再贅述，下面重點介紹斜拋運動與豎直方向上的拋體運動。

1.1 斜拋運動的特點及分析

如圖1是小球的斜拋運動圖像，初速度v0與水平方向的夾角為α，虛線為小球的運動軌跡，一般分析斜拋運動的方法是建立直角坐標系如圖2所示：

圖1

圖2

sx=tv0cosα

則①為小球運動的總位移與時間的關系。

根據以上的分析可知，建立坐標，無疑是把復雜的曲線運動分解為兩個簡單的直線分運動，在尋找兩個分運動的規律，最后再求矢量和，小球的運動規律不會因選擇坐標系的變化而變化。通過對運動的合成與分解可知，物體的兩個分運動不一定都要垂直。因此可以把小球的運動分成沿v0方向，由于在v0方向小球也沒有受到力，可以看成勻速直線運動；在豎直方向上受到重力且初速度為零，做自由落體運動，因此小球的運動可以看成是v0方向上勻速直線運動與豎直方向上自由落體運動的矢量和，如圖3所示。

圖3

根據幾何關系有：

x=s1cosα

h+h1=s1sinα

圖4

對比以上的兩種方法，建立直角坐標系進行正交分解的方式，學生容易理解，但是把速度分解到豎直方向上，增加了豎直方向上的復雜性，同時對于豎直上拋運動的方向的判斷上添加了難度。應用斜分解可以直擊物體的運動情況，根據物體的運動情況建立最簡潔的坐標系。這才是物理的解題思想，用最簡單的方法處理復雜的問題。建立斜分解不僅能使問題變得簡單，還能培養學生利用數學方法處理物理問題的能力，對學生物理學科素養的提升有很大的幫助，使學生對運動的合成與分解得到充分的認識，在培養建立運動的獨立性和矢量的合成思想上起到質的作用。

1.2 利用斜分解處理斜拋運動的極值問題

【例1】如圖5所示，一個可看成質點的小球以初速度v0，方向與水平方向成α斜上拋出，重力加速度為g，求小球的射程最遠時拋射速度v0與水平方向的夾角α為多大？

圖5

圖6

【例2】如圖7所示，有一長直斜面，其傾斜角為θ，現在坡底以一定的初速度v0斜拋出一小球，不計空氣阻力，當初速度v0方向與斜面的夾角為多大時，小球的射程最遠？

圖7

【解析】由于小球只受重力，小球做勻變速運動，為使小球的分運動簡單，建立斜坐標系如圖7所示。假設初速度方向與斜面的夾角為α，與豎直方向的夾角為β，根據矢量三角形及幾何關系有

從以上的分析可以看出，不管是在水平面上斜拋還是在斜面上斜拋，當射程最遠時，初速度v0的方向必須在拋出點和落點所在直線與過拋出點的垂線夾角的角分線上，因此只要知道夾角的大小就可以快速地求出小球拋出的方向。

圖8

總結：從以上分析來看，不管是哪一種形式的斜拋運動，射程最遠時的初速度的方向在小球落點和拋出點所在直線與過拋出點的垂線夾角的角分線上，同時最遠射程也為以上的兩個結果，選擇題里可以直接應用結論處理問題。

【例3】如圖9所示，從地面以初速度v0斜拋一小球，右側有一堵高為h的墻，要求小球能飛過墻，求小球以怎樣的角度拋出，才能使初速度最??？

圖9

【解析】根據題意建立斜坐標系如圖10所示，根據矢量關系及幾何關系，由正弦定理有：

圖10

總結：通過以上的兩種斜拋運動的極值分析，發現不管是速度恒定時求解射程的最遠問題還是射程恒定時求速度的最小問題，最初速度的方向都一樣，都在射程方與豎直面形成夾角的角分線上，對于其他方向的拋射極值問題，讀者可以借鑒此方法，應用斜坐標系進行分析及求解。由于學生對斜坐標的接觸較少，可能不容易接受，但是相比正交分解來說，斜分解不需要分解初速度，更多的是應用數學方法。因此應用斜坐標處理斜拋問題，不僅讓學生充分利用數學方法解決物理問題，同時提升學生對矢量合成的理解，培養學生的物理學科素養。

2.利用斜坐標解決拋體兩體問題

對于拋體的兩體問題，通常見到的有兩體相遇，兩體的距離關系等，通常的解法是通過時間關系或者位移關系建立兩體各自的運動方程，求解、分析即可。但是當物體運動比較復雜時，分別建立運動方程會給處理此類問題帶來很大的不便。下面通過對拋體的運動分析，建立斜坐標系處理兩體問題。

【例4】如圖11所示，小球A從離地面高度為h處自由下落的同時，小球B從地面以初速v0向上拋出，求兩球相遇時的時間?

圖11

圖12

【例5】如圖13所示，某時刻在水平面O點沿著豎直平面內同時拋出A、B兩個小球，A球的初速度vA=30 m/s，方向與水平面的夾角為30°；B球的初速度vB=40 m/s，方向與水平面的夾角為60°，求1 s后兩球相距多遠？

圖13

【解析】可以利用斜坐標進行斜分解，把兩小球的運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和重力方向的自由落體運動，由于在豎直方向上兩球同步，所以它們的距離即為初速度方向上的距離，距離的矢量和如圖14所示，所以兩球的距離為

圖14

代入已知條件得d=50 m

結束語