主動電磁軸承飛輪轉子系統自適應偏置控制

劉宇軒，吳國輝，陳亮亮

（南昌航空大學 信息工程學院，南昌 330063）

引 言

高速飛輪儲能系統具有使用壽命長、儲能密度高、高效率、無污染等優點，是一種具有廣泛發展前景的電能儲存方式[1-3]。主動電磁軸承具有動力特性可控、無機械接觸、壽命長、損耗低、無需潤滑等優點，是高速飛輪儲能系統中最常用的轉子支承結構[4-6]。主動電磁軸承常采用差動控制方式，即在同一個自由度上有兩個對置的磁鐵在同時工作，這兩個電磁鐵具有相同的恒定偏置電流，偏置電流與控制電流進行差分運算后再分別驅動兩個電磁線圈。這種差動布局使得正向力和負向力都能產生，有利于改善電磁軸承系統的動態性能。由于恒定偏置電流的存在，即便是控制電流為零時電磁軸承也存在一定電能損耗。為減小偏置電流產生的電能損耗，國內外學者做了一些研究工作。Brown等[7]和Ishida等[8]分別研究了電磁軸承零偏置控制方式，并通過試驗驗證了算法的有效性。Johnson[9]在博士論文中也研究了零偏置和低偏置控制方式。Hu等[10]提出了一種最優電流分配的低偏置控制方法。Sahinkaya等[11]研究了節能最優的變偏置電流控制方法。這些算法能夠通過較低的偏置電流實現電磁軸承轉子系統的穩定懸浮，節約了電能，但算法較為復雜，實現困難。

本文研究了一種自適應偏置差分控制方法，首先介紹了算法的基本原理，然后利用控制理論分析了該方法的穩定性，最后通過仿真驗證了該算法的控制性能，詳細分析了電磁軸承飛輪轉子系統在階躍信號及正弦信號擾動下轉子的運動軌跡和電磁軸承線圈的電流特性。

1 電磁軸承飛輪轉子系統模型

圖1為簡化后的立式四自由度電磁軸承剛性飛輪轉子系統結構，主要由飛輪轉子、一體化電動機/發電機、電磁軸承、保護軸承以及位移傳感器等部分組成。整個系統軸向采用永磁支撐，2個電磁軸承用于徑向懸浮，4個電渦流傳感器測量分別測量飛輪轉子在四個自由度上的位置信號。

圖1 主動電磁軸承飛輪轉子系統原理圖

圖1中，oxyz坐標系的坐標原點位于飛輪轉子的質心c點，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x、y與z構成右手坐標系。lsA和lsB分別為傳感器A和B的中心到質心c的垂直距離；lbA和lbB分別為徑向電磁軸承A和B的中心到飛輪轉子質心c點的垂直距離[12]。

在工程實際中，對飛輪轉子系統的四個自由度常采用單獨控制方式，其原理如圖2所示。圖2中，控制器實時讀取位置傳感器測量的位置信息，經過控制算法處理后輸出控制信號，功率放大器對控制信號進行放大，驅動電磁軸承線圈，產生控制飛輪轉子位置的電磁力。

圖2 單自由度電磁軸承控制系統

功率放大器和位置傳感器的傳遞函數可近似為一個比例系數k。單自由度電磁軸承飛輪轉子系統的運動方程可表示為[13]：

式中，m為轉子質量，y為轉子的位移，fy為電磁軸承產生的控制電磁力，電磁力的表達式為：

ks和ki分別為力?位移系數(位移負剛度系數)及力?電流系數，根據式(1)和式(2)，可得到電磁軸承飛輪轉子系統的傳遞函數為：

式中，Y(s)和I(s)分別為轉子位移y和控制電流ic的拉普拉斯變換式。由式(3)可知，電磁軸承飛輪轉子系統傳遞函數包含一個位于右半平面的極點，系統不穩定，因此需要施加外部的主動控制力。

2 差動控制方式電磁力模型

單自由度電磁軸承飛輪轉子系統差動控制方式原理如圖3所示。對置的兩塊電磁鐵產生的電磁吸力共同作用于轉子，使轉子在某個方向上保持受力平衡。對置的兩電磁鐵線圈具有相同的偏置電流，在同一時刻，當一個線圈的驅動電流為偏置電流與控制電流之和時，另一個線圈的驅動電流則為偏置電流與控制電流之差，即，

圖3 電磁軸承差動工作方式

式中：i1和i2分別為對置電磁線圈的驅動電流，I0為偏置電流，ic為控制電流。

在圖3所示的差動工作方式下，電磁軸承產生的電磁力為：

式中，μ0為真空中磁導率，Aa為磁極面積，N為線圈匝數。

當轉子在平衡位置(y= 0，ic= 0)作小位移擾動時，若將式(2)在平衡點附近用泰勒級數展開并省略二階無窮小以上的量，即：

式中：fy(y=0,ic=0)=0，，。

故有：

式中,ks=分別稱為力?位移系數(位移負剛度系數)及力?電流系數。

在傳統的差動控制方式中，偏置電流I0是恒定值，且遠大于控制電流ic，由于恒定偏置電流的存在，即便控制電流很小，軸承線圈也會產生一定的損耗。

3 自適應偏置差動控制

3.1 自適應偏置差動控制基本原理

自適應偏置差動控制方式的基本思想為：偏置電流隨控制電流的變化而變化，且偏置電流的大小為控制電流的絕對值，即：

在自適應偏置差動控制方式中，同一時刻對置的兩個電磁線圈中只有一個線圈有電流，其值為控制電流的兩倍，而控制電流往往遠小于傳統差分控制方式下的恒定偏置電流，因此自適應偏置差分控制方式下線圈的驅動電流較小，可以降低軸承的電能損耗。

3.2 穩定性分析

電磁軸承飛輪轉子系統常采用分散PD控制器，對飛輪轉子系統的各個自由度進行單獨控制，則問題可簡化為對4個單自由度磁懸浮系統進行控制。單自由度電磁軸承轉子系統的傳遞函數如式(3)所示。

PD控制器的傳遞函數為：

式中，d為微分系數，p為比例系數。PD控制的系統框圖如圖4所示。

圖4 PD控制原理圖

電磁軸承PD控制的閉環傳遞函數為:

式中，pki+ks稱為電磁軸承系統凈剛度。由控制理論可知，控制系統穩定的條件是凈剛度大于零。

自適應偏置差分控制方式中位移負剛度系數ks和力?電流系數ki分別為：

由式(10)、式(11)可知，當p>|ic|/C0時凈剛度pki+ks大于零，系統就是穩定的，因此可以通過調節比例系數p使主動電磁軸承飛輪轉子系統保持穩定。調節d使系統獲得足夠的阻尼，從而使閉環控制系統保持穩定并達到期望的控制性能。

4 仿真分析

本節將對比傳統差動控制方式和本文的自適應偏置差動控制方式的控制性能。分別將傳統的差分控制方式和自適應偏置差分控制方式應用于如圖1所示四自由度主動電磁軸承飛輪轉子系統中，飛輪轉子的參數如表1所示。

表1中，m為飛輪轉子的質量，Jx及Jy分別為轉子繞x及y軸的轉動慣量，Jz為轉子繞z軸的轉動慣量。kiA和kiB分別為徑向電磁軸承A和徑向電磁軸承B的力?電流系數；ksA和ksB分別為徑向電磁軸承A和徑向電磁軸承B的力?位移系數。

表1 飛輪轉子參數

電磁軸承分別采用傳統的差分控制方式和自適應偏置差分控制方式對主動電磁軸承飛輪轉子系統進行仿真研究，控制方法為分散PD控制。在傳統差分控制方式中，偏置電流為1 A。系統仿真過程中，飛輪轉子靜態穩定懸浮，在0.2 s時上端Y方向的參考位置由0變為30 μm，圖5為傳統差動控制方式和自適應差動控制方式響應曲線圖。圖中紅色曲線為自適應偏置差分方式的階躍響應曲線，綠色曲線為傳統差分控制方式的階躍響應曲線?？梢钥闯?，傳統差分控制方式的上升時間和調節時間要略短于自適應偏置差分算法，但自適應差分控制方式具有更小的超調量?？偟膩碚f，傳統差分控制方式的控制性能要略好于自適應差分控制方式。

圖5 兩種控制方式下的階躍響應曲線

圖6為系統階躍響應過程中傳統差分控制方式Y方向2個線圈中的電流。圖7為自適應偏置差分控制方式Y方向2個線圈中的電流。

圖6 傳統差分控制方式Y方向對置線圈中的電流

圖7 自適應偏置差分控制方式Y方向對置線圈中的電流

可見，在整個階躍響應過程中傳統差分控制方式的正反兩個線圈都有驅動電流，兩線圈的電流值都以偏置電流為中心波動；而自適應偏置差分控制方式下的正反2個線圈在同一時刻只有一個線圈有驅動電流，且驅動電流為控制電流的兩倍。在傳統差分控制方式中，偏置電流為1 A，階躍響應穩定后的控制電流不到0.1 A，偏置電流要遠大于控制電流。在自適應偏置差分控制方式中，同一時刻只有一個線圈有驅動電流，且驅動電流的值很小，階躍響應穩定后的線圈驅動電流還不到0.004 A。磁軸承線圈中損耗的功率為：

式中，P為每個軸承線圈損耗的有功功率，i為線圈電流，R為線圈電阻。式（10）表明，磁軸承線圈中的電能損耗與電流的平方成正比，由于自適應偏置差分控制方式本的線圈電流遠小于傳統差分控制方式，因此自適應偏置差分控制方式能夠有效節約電能。

為進一步研究自適應偏置控制方式的控制性能，當飛輪轉子靜態懸浮時在上磁軸承X方向的控制電流中注入一個余弦擾動，Y方向的控制電流中注入一個正弦擾動，擾動電流的頻率為10 Hz，幅值為0.05 A。圖8、圖9為存在正弦電流擾動時傳統差分控制方式下飛輪轉子上端和下端的軌跡圖，圖10、圖11則為自適應偏置差分控制方式下飛輪轉子上下端的軌跡圖。

圖8 正弦擾動下傳統差分控制方式飛輪轉子上端軌跡圖

圖9 正弦擾動下傳統差分控制方式飛輪轉子下端軌跡圖

圖10 正弦擾動下自適應差分控制方式飛輪轉子上端軌跡圖

由圖8~圖11可以看出：在外界正弦擾動下，傳統差分控制方式和自適應偏置控制方式都能使飛輪轉子系統保持穩定，擾動電流引起的振動幅值小于2微米。在相同的正弦擾動下，傳統差分控制方式的轉子振幅要略小于自適應偏置控制方式，但相差不大。在正弦擾動下，傳統控制方式和自適應偏置控制方式Y方向兩對置軸承線圈的電流曲線分別如圖12、圖13所示。

圖11 正弦擾動下自適應差分控制方式飛輪轉子下端軌跡圖

由圖12、圖13可以看出，與階躍響應時的電流曲線類似，傳統差分控制方式的軸承線圈電流依舊遠大于自適應差分控制方式的線圈電流。因此，自適應差分控制方式的軸承線圈損耗較傳統差分控制方式要小得多。

圖12 傳統差分控制方式Y方向對置線圈中的電流

圖13 自適應差分控制方式Y方向對置線圈中的電流

5 結 論

通過本文的理論分析及仿真研究，可以得出以下幾點結論：

1) 本文提出的自適應偏置差分控制方式能使主動電磁軸承飛輪轉子系統保持穩定，具有結構簡單，易于實現的特點。

2）本文提出的自適應偏置差分控制方式能夠有效減少電磁軸承線圈中的電流，節約電能，且具有與傳統差分控制方式相近的控制性能。

3）自適應控制算法的部分動態控制性能較傳統的差分控制方式略差，其階躍響應的上升時間和調節時間要略長于傳統差分控制方式，抗外界擾動能力也略差。