美式期權定價的有限差分跳點格式研究

張艷萍

山西工程職業學院， 山西 太原 030009

期權是一種能讓持有人在將來某一時刻以提前商定的價格購進或售出某種標的金融資產的合約[1].在將來某個時刻以敲定價購進標的資產的期權稱為看漲期權，售出某標的資產的期權則稱為看跌期權.按照合約是否可以提前執行，期權分為歐式期權與美式期權兩種.期權實際上賦予了其持有者一種權利，持有者不一定必須行使該權利，而獲得這項權利所付的金額即為期權的價格.在實際的交易市場中，由于其強大的風險對沖的功能而被越來越多的投資者所青睞，對期權進行合理定價成為了一個非常重要的金融研究方向.

由Black和Scholes于1973年提出的歐式期權定價的Black-Scholes模型[2]，被認為是現代金融學的一座里程碑，其基本思想是通過預計股價的波動來假設未來股價變化服從某種隨機過程，通過建立無風險資產組合再貼現獲得期權價格.在基本假設下，歐式期權的定價問題，實質上為一個拋物型偏微分方程的邊值問題，但是其解析公式太過復雜，甚至有可能不存在滿足邊值條件的解，而美式期權由于其提前行權的可能性，再加之Black-Scholes模型的假設比較嚴格，往往無法求得解析解，需要采用數值方法來求解.目前，主要使用的算法有二叉樹法、Monte Carlo法、有限差分法等[3].有限差分法是一類廣泛使用的離散方法，常見的有傳統顯示格式、隱式格式、C-N格式等.顯式格式形式簡單，計算方便，但是穩定性較差，隱式格式的穩定性好，但是計算繁瑣[4].目前將顯式格式與隱式格式結合的研究已有很多，如閆俐等[5]利用隱-顯和顯-隱交替算法來求解美式看跌期權，張德飛等[6]使用加權差分格式計算美式期權.此外還有半差分格式[7]、指數擬合差分方法[8]等.本文將引入有限差分跳點格式[9，10]來求解美式看跌期權定價模型，并通過數值算例驗證跳點格式的有效性.

1 美式看跌期權定價模型

Black-Scholes期權定價模型建立的基本假設有：股票價格服從對數正態分布，且股價的波動率r為常數；無風險利率r為常數且對所有的到期日都相同；不支付紅利；市場不存在無風險套利機會；市場證券交易是連續的，允許賣空，而且所有證券都是無限可分的.設標的股票在時刻t的價格是S，期權(或其他衍生證券)價格記為V(S,t)，基于這些假設，構建一個包含期權以及標的股票頭寸的無風險組合，在風險中性的世界里，根據It引理，得到期權價格滿足的偏微分方程

(1)

此方程就是著名的Black-scholes方程[2]，其中σ為標的股票價格波動率，r為無風險利率.

這是一個拋物型的偏微分方程，方程有無數個解，但對于一個特定的期權價格，還應該滿足到期日和邊界條件.對于美式看跌期權，在到期日T，如果股票價格S低于行權價格K，則選擇執行期權，收益為K-S，如果股票價格S高于行權價格K，則選擇不執行期權，收益為零，因此到期日的期權價格為

V(S,T)=max{K-S,0} 0

(2)

而在到期日之前的任何時刻都可執行，因此邊界條件為

V(0,t)=K0

(3)

(4)

式(2)～式(4)即為美式看跌期權滿足的定解條件.顯然，方程(1)是一個非線性的偏微分方程，為了求解方便，設x=lnS，τ=T-t，對方程以及終止條件和邊界條件進行恒等變換，則可將方程(1)轉化為常系數線性偏微分方程，將倒向時間問題轉換為正向時間問題，對V=V(x,τ),有

(5)

并設標的股票變化是有界的，邊界及初始條件為

V(x,0)=V(lnS,0)=max(K-ex,0) 0V(0,τ)=K0<τV(Smax,τ)=0 0<τ

2 有限差分跳點格式

由于美式期權可以在到期日之前的任何時刻執行，上面我們所建立的偏微分方程定解問題沒有解析解，我們采用數值方法來求解.有限差分法的基本思想是將求解的區域用有限個離散點構成的網格來代替，把方程中的微分用差分來近似代替，得到差分方程，進而轉化為矩陣或者線性方程組問題，求解得到原方程在離散網格上的近似值，然后利用插值方法求解整個區域上的近似解.下面我們介紹該問題的有限差分跳點格式.

2.1 網格剖分

Vi,j=V(xi,τj)=V(iΔx,jΔτ)i=0,1,...,Mj=0,1,...,N

初值條件及邊界條件離散為

Vi,0=max(K-eiΔx,0)i=0,1,...,M

(6)

V0,j=Kj=0,1,2...,N

(7)

VM,j=0j=0,1,2...,N

(8)

2.2 跳點格式的構造

先把網格點(xi,τj)按i+j=奇數或偶數分為兩組，分別稱為奇數網格點與偶數網格點.從第j個時間層推進到第j+1個時間層時，

(1) 在偶數網格點(xi,τj+1)上構建顯式格式

根據函數的Taylor級數展開，用如下的向前差分逼近對時間的一階偏導數

分別用中心差分、二階中心差分逼近對S的一階偏導數、二階偏導數

則方程(5)化為差分方程

(9)

整理可得

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,ji+j+1=偶數

(10)

其中

由第j個時間層推進到第j+1個時間層時，式(10)提供了逐個計算偶數網格點(xi,τj+1)處函數取值的表達式，因此這是一個顯示的差分格式.再結合式(6)中的初始值Vi,0，首先對時間層j=1上的偶數網格點用式(10)計算，依次按時間推進，直到算出最后一個時間層上偶數網格點的函數值.

(2)在奇數網格點(xi,τj+1)上構建隱式差分格式

根據函數的Taylor級數展開，用如下差分逼近對時間的一階偏導數

分別用中心差分、二階中心差分逼近對S的一階偏導數、二階偏導數

則方程(5)化為差分方程

(11)

整理可得

Vi,j=-aVi-1,j+1+(1+b)Vi,j+1-cVi+1,j+1i+j+1=奇數

(12)

因此，在使用跳點格式進行計算時，先從第一個時間層開始，利用式(10)按照時間遞推，計算出每個時間層上的偶數網格點處的取值，再利用式(12)補算奇數網格點處的值.

考慮到美式期權可以被提前執行，所以在每一網格點(xi,τj)處，期權價值Vi,j最終取值應為

Vi,j=max{Vi,j,max{K-iΔx,0}}

其中，等式右邊Vi,j為遞推公式(10)以及(12)計算的結果.

3 跳點格式的性質討論

以下我們將從理論上對本文所建立差分格式的性質進行討論.

3.1 相容性

設原方程的精確解為v，則v滿足方程(5)，即

(13)

顯式差分格式(10)的截斷誤差為

(14)

假定v是充分光滑的，進行帶余項的Taylor級數展開，有

帶入式(14)得，

而v滿足式(13)

因此截斷誤差為

T(x,τ)=O(Δτ)+O((Δx)2)

從而，顯式差分格式(10)與微分方程(5)是相容的.類似可證隱式差分格式(12)與方程(5)是相容的.

3.2 收斂性

此式可以改寫為

vi,j+1=avi-1,j+(1-b)vi-1,j+cvi+1,j+ΔτT(xi,τj)

(15)

將顯式差分格式(10)與式(15)相減，并記離散誤差為

ei,j=Vi,j-vi,j

(16)

得

ei,j+1=aei-1,j+(1-b)ei,j+cei+1,j-ΔτT(xi,τj)

由截斷誤差計算可知，存在正常數M，使得|T(xi,τj)|≤M(Δτ+(Δx)2)，

則

|ei,j+1|≤|a|·|ei-1,j|+|1-b|·|ei,j|+c|ei+1,j|+δτ|T(xi,τj)|

(17)

Ej+1≤(1-rΔτ)Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)≤Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)

由不等式遞推得Ej≤E0+MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

由此

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

而根據原方程求解區域的網格剖分，jΔτ≤NΔτ=T，從而

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)≤MT(Δτ+(Δx)2)

3.3 穩定性

我們利用有限差分格式進行計算時是按照時間逐層遞推的，上一個時間層計算時的舍入誤差會影響到下一個時間層的取值，從而就要分析誤差的傳播情況，希望計算過程的舍入誤差是可以控制的，這就是所謂的穩定性問題.對于線性的偏微分方程，要證明差分格式的穩定性，只要證明差分格式的有界性即可.

對顯式差分格式(10)，令

當空間步長和時間步長的大小滿足a>0,1-b>0,c>0時

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,j

≤(1-rΔτ)Vj≤Vj

4 數值實驗

4.1 數值模擬

圖1以S=50為例，將期權價格的計算結果與單純使用顯示格式以及隱式格式的計算結果作對比.從圖中可以看出利用顯式差分格式計算得到的值偏大，隱式差分格式計算得到的值偏小，而利用本文建立的跳點格式計算結果更接近方程的近似精確解.

圖1 當S=50時三種差分格式結果與近似精確解對比

另外，根據前面的分析，如果只使用顯式格式進行計算，可以用直接法來求解，運算方便，但是穩定性較差；而如果僅使用隱式格式是恒穩定的，但是需要將隱式差分格式化為一個三對角的線性方程組來求解，運算量比較大.我們建立的跳點格式相比單純使用顯式格式穩定性更好，同時克服了隱式格式的計算復雜的問題，計算結果也更為精確.

4.2 實證分析

由圖2可知，計算結果與市場真實期權價格變化趨勢整體一致，并且對比顯式格式與隱式格式，跳點格式的計算結果更接近市場真實價格，計算的平均絕對誤差為0.183，證明了本文模型的有效性.

圖2 三種差分格式結果與真實期權價格對比

5 結論

本文針對美式看跌期權的定價模型，選擇有限差分跳點格式將期權滿足的偏微分方程進行離散，再利用迭代法來求解，并證明了跳點格式的相容性、收斂性和穩定性.數值實驗表明了該方法的有效性，并且與傳統的顯式格式與隱式格式相比，該方法的計算誤差較小，計算量適中，同時具有較好的穩定性.