基于中考備考的數學思想方法歸納和總結

陳杰

【摘要】如何在數學教學中培養學生的數學思考和數學思維能力，是應試教育向素質教育的一個重要轉變。本文圍繞中考備考，結合典型例題，側重以數形結合思想、分類思想、轉化思想等三種數學思想方法解決問題為例，闡述對數學思想方法進行歸納總結的重要性。

【關鍵詞】中考備考;數學思想方法;歸納總結

有一種現象，不少的教師可能都深有感觸——學生聽教師講解時是一聽就懂，但自己獨立解決問題時卻是一做就錯。很多學生以為是練習不夠的緣故，于是不斷反復循環練習，付出大量的時間和精力進行題海戰，但收效甚微?！稊祵W課程標準》在對初中階段的教學建議中要求，“對于重要的數學思想方法應體現螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現”。這就要求教師在實際的教學過程中不斷發現、總結、歸納、滲透數學思想方法。新課程理念告訴我們：“數學教學不僅是簡單的知識傳授，更重要的是學生數學思維能力的培養，使學生數學式地思考?！睌祵W思想方法如轉化思想、數形結合思想、分類思想、函數思想、方程思想等是數學學科的靈魂和精髓，是把知識轉化為能力的橋梁，是解題規律的歸納總結，是達到觸類旁通、擺脫題海的有效之路，是促進問題解決的“利器”。因此，在教學活動中，教師需要注重培養學生的數學思維能力，加強對數學思維方法的歸納和總結，切實提升學生的思維能力。如此才能使學生真正脫離“題海戰”的惡性循環，提高學習效率。下面，筆者結合中考備考，對中考數學中重點考察的數學思想方法進行歸納和總結，目的在于拋磚引玉，為師生的數學中考備考帶來一些啟發和思考，使中考備考更有針對性。

一、數形結合思想

1.中考熱點分析

數形結合思想是根據數學問題中的條件和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何圖形巧妙結合起來，并充分利用這種結合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思想方法，其實質是數與形之間的相互轉化。

例1（2021年·廣州）：在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的點A在函數（x>0）的圖象上，點C在函數（x<0）的圖像上，若點B的橫坐標為，則點A的坐標為（ ）。

2.思路分析

從代數的角度分析，點A在圖像上，可設A，欲求點A坐標，需要結合題目的其它條件，設法用含m的代數式表示點C的坐標。本題的難點在于用含m的式子表示點C的坐標，這就需要探究點A、C間的相互聯系。

從幾何的角度分析，利用反比例系數K的幾何意義，S△COE=×|-4|=2，S△AOD=

×1=，又可證△COE∽△OAD，故∴，，由A得C;至此，尚不能求解出m。這時，需要設法結合其它條件進一步找出A、C兩點坐標的聯系，建立等量關系，求解m;結合矩形OABC，AB=CO，故EO=xA-xB，即，解得或-4;因m>0，故，即A。

解題過程如下：

解：如圖，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=90°，

∴∠AOD+∠COE=90°，

∵∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠COE=∠OAD，

∵∠CEO=∠ODA，

∴△COE∽△OAD，

∴.

∵S△COE=×|-4|=2，S△AOD=×1=，

∴，

∴OE=2AD，CE=2OD，

設A（m>0），

∴C，

∴OE=0-（﹣）=，

∵點B的橫坐標為﹣，

∴m-（﹣）=，

整理得2m2+7m-4=0，

∴m1=，m2=-4（舍去），

經檢驗，m=是方程的解，

∴A（，2），

故選A.

3.歸納總結

本題重點考查數形結合思想，既要分析圖形的幾何特征：反比例函數系數k的幾何意義和矩形的性質，又要從代數角度分析反比例函數圖象上點的坐標特征及點與點的坐標關系，通過建立等量關系，解方程求出點A坐標，其中表示出點的坐標是解題的關鍵。代數和幾何有機結合，相互配合，綜合性較強，對學生的綜合能力有較高要求。

二、分類思想

1.中考熱點分析

分類思想指的是如果一個命題的題設或結論具有不確定性，有多種可能情況，難以統一解答，就需要根據可能出現的情況分類加以討論，最后綜合歸納出問題的答案。分類討論思想是中考的熱點，試題綜合性較強，能全面考察學生的思維能力、邏輯分析能力和探索問題能力。

例2：已知關于x的二次函數y=（x-a）2+3-a2，當1≤x≤3時，函數有最小值2a，則a的值為_________。

2.思路分析

函數對稱軸為直線x=a，若x取值范圍是全體實數，此時當x=a時，ymin=3-a2;當xa時，y隨x增大而增大;本題中x的取值范圍1≤x≤3，由于對稱軸x=a位置的不確定性，導致當1≤x≤3時函數y的增減性及最小值也有不確定性，因此需要就對稱軸x=a的位置進行分類討論：當對稱軸x=a≤1時（如圖1），y隨x增大而增大，此時當x=1時y有最小值;當對稱軸1≤x=a≤3時（如圖2），此時當x=a時，y有最小值;當對稱軸x=a≥3時（如圖3），y隨x的增大而減小，此時當x=3時，y有最小值。

解：分類討論

（1）當對稱軸x=a≤1時（如圖1），y隨x增大而增大，此時當x=1時ymin=（1-a）2+3-a2=2a，解得a=1滿足a≤1，符合題意;

（2）當對稱軸1≤x=a≤3時（如圖2），此時當x=a時ymin=3-a2=2a，解得a=1或-3，其中a=1滿足1≤a≤3，故此時a=1;

（3）當對稱軸x=a≥3時（如圖3），y隨x的增大而減小，此時當x=3時，ymin=（3-a）2+3-a2=2a，解得a=，與a≥3矛盾，舍去;綜上所述，a=1。

3.歸納總結

本題重點考察函數的增減性;二次函數對稱軸兩側的增減性不同，由于對稱軸x=a位置的不確定性，對于1≤x≤3，y取最小值的x也有不確定性，有三種可能：x=1，或x=3，或x=a，所以需要分類討論。

三、轉化思想

1.中考熱點分析

轉化思想是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，化“未知”為“已知”，化“陌生”為“熟悉”，化“復雜”為“簡單”，其核心是將有待解決的問題轉化為已解決的問題，以便利用已有的結論解決問題。如，解方程時將“二元”轉化為“一元”、“高次”轉化為“低次”、“分式方程”轉化為“整式方程”;將“多邊形”問題轉化為“三角形”等均是轉化思想的集中體現。

例3：如圖，已知拋物線y=-x2+2x+3與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，連接AC。

（1）求直線AC的解析式;

（2）點P為直線AC上方拋物線上的一點，過點P作PD⊥AC于點D，當線段PD最長時，求點P的坐標。

2.思路分析

（1）分別令x=0，y=0，求得A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0）;由待定系數法可得直線AC解析式y=-x+3;

（2）P在拋物線上，可設點P（P，-P2+2P+3）;欲求線段PD最值，須設法用含p的代數式表示PD，此時突破難度較大?？煽紤]轉化思想，化難為易，把求PD最值問題轉化為其它易求問題。

思路1：轉化為面積問題（如圖4）

把PD看成△ACP的高，由于線段AC為定值，，PD最大S△ACP面積最大。因此，求PD最大值可轉化為求S△ACP最大值。利用割補法把△ACP割成△ACE、△PCE兩個易求三角形的面積，求出S△ACP的表達式，再求最值。

思路2：轉化為交點問題（如圖5）

過點P作直線PE∥AC，由于平行線間距離處處相等，因此PD最大直線PE與拋物線僅有一個交點P;把求點P坐標轉化為求直線PE與拋物線的交點問題處理。

思路3：轉化為其它線段的最值（如圖6）

設點P（P，-P2+2P+3），直接用含P的代數式表示PD困難較大，設法轉化成與PD有聯系的易求線段（平行x軸或y軸的線段）處理。

過點P作直線PF∥x軸交直線AC于點F，易證△AOC∽△PDF，故，其中OA=3，AC=為定值，關鍵是表示出PF。由于PF∥x軸，P（P，-P2+2P+3），可設F（x，-P2+2P+3），又點F在直線AC：y=-x+3上，故F（P2-2P，-P2+2P+3），PF=xP-xF=P-（P2-2P）=-P2+3P，，最后求含p的二次函數最值。

解題過程如下：

解：點P在拋物線y=-x2+2x+3上，可設點P（P，-P2+2P+3）.

解法1：轉化為面積問題（如圖4）

過點P作直線PE∥y軸交直線AC于點E，則E（P-P+3），故PE=yP-yE=-P2+2P+3-（-P+3）=-P2+3P，因此S△ACP=S△APE+S△CPE=PE（xC-xA）=（-p2+3P）=-P2+P，故當p=時，S△ACP最大值=，此時.

解法2：轉化為交點問題（如圖5）

解：過點P作直線PE∥AC，因為平行線間距離處處相等，故當直線PE與拋物線只有一個交點P時，PD有最大值;因為PE∥AC，且yAC=-x+3，故可設直線PE的解析式為yPE=-x+m，聯立方程組，故-x+m=-x2+2x+3，整理得x2-3x+m-3=0，因為直線與拋物線只有一個交點，故△=（-3）2-4（m-3）=0，解得m=，此時x1=x2=，故.

解法3：轉化為其它線段求最值（如圖6）

解：過點P（P，-P2+2P+3），作直線PF∥x軸交直線AC于點F，因為∠PFD=∠ACO，∠PDF=∠AOC，故△AOC∽

△PDF，故;易得OA=3，AC=，由于PF∥x軸，P（P，

-P2+2P+3），可設F（x，-P2+2p+3），又點F在直線AC：y=-x+3上，故F（P2-2P，-P2+

2P+3），PF=xP-xF=P-（P2-2P）=-P2+3P，，故當p=時，PD有最大值，此時.

3.歸納總結

本題重點考察學生利用轉化思想靈活解決問題的應變能力，全面考察了學生的邏輯分析能力，既要會利用點與點的坐標轉化為線段長，也要會化難為易：把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積或把難求線段轉化為易求線段或把求線段問題轉化為求兩個圖像交點，方法手段靈活多樣。

中考試題十分注重對數學思想方法的考察，特別是突出考察數學能力的綜合性問題，其解決策略都蘊含著重要的數學思想方法，往往需要多種方法深度融合，你中有我、我中有你，對學生的綜合能力有很高的要求。因此，在解題過程中，我們需要善于對題目背后的數學思想方法進行消化、歸納和總結，做到舉一反三、觸類旁通，不斷提升解決問題的能力。

參考文獻：

[1]王林全.現代數學教育研究概論[M].廣東高等教育出版社，2005.

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責任編輯? 楊? 杰