數形結合方法在高中數學教學中的應用

甘小林

摘 要：數形結合思想利用“精確數”來闡明“形屬性”，或者借助形的直觀來闡明數的關系，能夠將復雜的問題簡化，將抽象思維、形象思維有機融合，實現提高解題效率的目的。高中數學教師在滲透數形結合思想時，應當尋找合適的習題，采取合適的方法進行講解，高度契合高中生的認知能力發展規律，使之從中獲得良好的學習體驗，不斷提升透過現象看本質的能力。

關鍵詞：數形結合;高中數學;解題;教學策略

引言：數形結合是一種重要的解題思想，用于解答高中數學習題可簡化解題過程，提高解題效率，因此，教學中要引導學生掌握數形結合思想，促進學生解題能力的提升。

一、教學時應用

在教學時應用數形結合的思想，能夠幫助學生快速的理解新知識的概念，比如在教學函數的時候，我們通常會將函數的圖像與定義式一起進行教學，這就是數形結合的體現。我們在教學函數的過程中，會引導學生關注函數的圖像。對于還是模塊的學習而言，圖像是研究函數的一大利器。所以在學習一項新的函數時，我們通常會要求學生先利用五點描線法，將圖像畫出來。而在圖像上找尋其他的特點，總結出函數的其他條件與特性。而教師之所以會選擇利用函數的圖像去研究，就是因為圖像更加直觀的表現了函數的性質。如果根據代數的定義去分析，即便是定義域和值域，這樣簡單的問題都要用大量的運算去解決。而如果繪制了圖像，我們不僅可以簡化許多步驟，還能夠通過圖像的特點，快速的找到其他信息。比如在教學三角函數的時候，我們先繪制了三角函數的圖像，然后才發現了三角函數的對稱性。而根據三角函數不同的對稱性，我們又可以總結出其他的性質。而這些不僅對于學生快速的理解函數知識有所幫助，還會培養學生的識圖能力，當學生在解決實際問題的時候，可以借助函數的模型，再利用函數模型的圖像模型去解決更加具體的問題。這一項能力看似微不足道，卻是學生完成數學知識遷移到現實生活解決問題必需的能力。

二、數形互變，培養解題習慣

數形互變是應用數形結合思想的有效策略，這種方法強調的是數與形之間的相互轉化，實現數變形，形變數，將其應用到不同的題目當中，將會得到不一樣的學習效果。這種方法對于任何能力等級的學生都同樣適用，針對能力一般的學生而言，教師引導他們見數思形，使其看見不同的函數定義和概念性質，都能聯想到相應的圖像，以此幫助他們記憶學科知識，完成基本的問題解答。針對能力較強的學生，教師帶領他們見形思數，能夠分析出題目當中的數形關系，找到隱含的條件，在解決基本問題的基礎上實現思維拓展，培養思維能力。比如，在進行“雙曲線的標準方程”的知識學習時，教師可以通過多媒體創設出雙曲線的運動軌跡，借助動畫實現思維“再現”，引導學生大膽思考，反復實踐，在小組的合作氛圍下完成問題探索，運用數形互變的思維處理雙曲線問題。首先引導大家在已經學習過“橢圓”知識的基礎上，思考“假設圓O1、圓O2外離，圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，動圓圓A與圓O2外切，與圓O1內切，則動圓A的圓心A的運動軌跡是一條什么樣的曲線？”與此同時，在大屏幕上完成相應的條件展示，將圓O1、圓O2與圓A之間的關系還原出來，通過這樣的數學文字與圖像的結合，學生不難看出，動圓A有無數個，所以無法畫出其運動軌跡，其開口方向向左。那么當改變圓A與圓O1、圓O2之間的內外切關系時，則會得出一條開口向右的曲線，由此在習題的引導下，認識雙曲線，了解雙曲線的定義，帶領學生通過建立平面直角坐標系的方法，以O1、O2所在的直線為x軸，線段O1O2的中垂線為y軸，完成雙曲線方程的推導，再次應用數形結合思想提升解題效率。

三、突破三角函數最值習題

解三角函數最值習題時運用數形結合思想畫出三角函數相關的圖象，能直觀地看到函數定義域、值域，進而經過簡單的運算找到正確答案.

四、巧解方程根類的習題

數形結合思想在求解方程的根相關問題，應先認真分析函數表達式，找到函數圖象的規律，通過繪制函數圖象，找到參數之間的內在聯系，以順利求解.

五、練習時使用

教師可以引導學生在練習習題的時候用數形結合方法。不僅可以大大縮短學生的練習時間，還能夠大幅度的提高學生做題的準確率。并且這種方式還會更加符合我們現階段教學改革下學生培養的目標，即能力與思維的培養。教師可以準備大量的數形結合的習題，讓學生進行分類的訓練。并且在訓練之前規定好學生的做題時間，一方面利用時間的緊迫感讓學生更快的完成相應的題目，另一方面，通過時間的縮短，促使學生不得不選擇更加快捷高效的解題方式。比如在學習函數的時候，我們會遇到非常經典的題目，就是比大小。在比大小的題目中，會給出不同類型的函數，并且不會給出完整的函數表達式。如果學生選擇使用代數的方法，將每一個函數的表達式求出，并將題目給的數字代入的表達式求出每一個選項的大小，通過比較選項的大小來選出“最佳答案”。這種情況不僅答題會非常慢，解題的難度也是非常大，因為題目所給的信息并不足以學生求出表達式，即便可以，也是需要好幾步的運算，才能夠完成相應的比較。但是如果使用數形結合的辦法的話就會簡化求解的過程，并且在思考的邏輯上也會非常的簡單。教師可以在練習開始之前，通過一道題目的示范，如選取一道題，引導學生觀察教師的操作，教師將圖像畫于黑板上的一個數軸中，通過比較圖像上的信息選出最佳答案。這是為了讓學生有一個思考的方向，在學生“有樣學樣”練習下，量變也可以成質變，也會初步培養起學生的數形結合思想的。

六、結語

為提高運用數形結合解答高中數學習題的意識與能力，不僅要做好數形結合相關理論的學習，還應注重提高數形結合解題的意識，并做好解題的總結.

參考文獻：

[1]張彥平.信息技術背景下高中數學數形結合教學探究[J].科學咨詢（教育科研），2020（1）：114.

[2]郭文.數形結合思想在高中數學解題中的運用探究[J].科技資訊，2020，18（10）：237-238.

[3]王利娜.高中數學數形結合思維的課堂應用意義及學生意識的培養[J].中國新通信，2020（11）：146.