數學課程與教學的“歷史意識”：內涵、價值及增強路徑

【摘 要】數學課程與教學的“歷史意識”，不僅是在數學課程與教學中滲透、融入、整合、運用數學史料的意識，更是超越狹隘的個體時空，以學習者數學學習境況為出發點，以相關數學史料為紐帶，以學習者數學核心素養發展為指向，建立起過去、現在與未來的緊密聯系，從而真正將史料形態之數學轉化為教育形態之數學的意識。數學課程與教學的“歷史意識”增強路徑主要包括：在政策層面進一步加強教師培訓指導課程標準等的操作性指導；在理論層面確保教師職前、入職、在職三個階段的一體化持續學習；在實踐層面建立教研共同體，共同開展HPM課例研究。

【關鍵詞】歷史意識；數學史；歷史發生原理；數學學科育人；學科史

杜威認為，歷史闡明人類的關系，是擴大個人直接經驗意義的一大學校資源［1］235。顯然，在這里，歷史并非指學校教育中的特定學科。因為歷史作為一門學科，只是有關和我們的生活密切相連的社會群體的種種活動和疾苦的一批已知的事實［1］226-227。而將歷史運用于教育，目的在于為狹隘的個人行動或單純的專門技能提供資料，使這些行動或技能有了歷史的背景、寬闊的視野和理智的觀點［1］225。上述預期作用的產生，建立在過去、現在和未來的功能性聯系基礎之上［1］85-90。這意味著教育者需具備一定的歷史意識。學科教育作為學校教育的主體，是落實立德樹人根本任務的主要途徑和方式。數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用［2］1。毫無疑問，數學教育承載了獨特的育人功能。那么，數學課程與教學的“歷史意識”有何內涵與價值？如何增強數學課程與教學的“歷史意識”？本文結合數學史與數學教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM） 的已有研究，對以上問題進行探討。

一、數學課程與教學的“歷史意識”之內涵

于述勝認為，將“歷史意識”等同于“過去意識”或者“歷史知識”，是一種常識化誤讀。實際上，“歷史意識”就是人們的當下自我意識，過去、現在和未來以共時態的功能性聯系呈現其中［3］。這強調了“歷史意識”的連續性——不應人為割裂過去、現在和未來的聯系。類似觀點在杜威、波普爾的著作中也有體現。如杜威認為，關于過去的知識和過去的遺產，必須和現在發生關系，必須進入現在，才有巨大的意義［1］85；過去的事件不能和活生生的現在隔離而保存其意義。歷史的真正起點總是某種現在的情境和它的問題［1］231。又如波普爾對“境況分析”的解釋，即“境況分析”是指對人的某種行為所做的某種試探性或推測性的說明，這種說明訴諸活動者所處的境況。這可能是一種歷史說明，也許我們愿意解釋某種結構的觀念是什么和為什么創立的。誠然，創造性行為不可能得到徹底的說明。然而，我們可以試著通過猜測對行為者所處的問題境況做理想化重建，并且在這個限度內使這個行為變成“可以理解的”（或“理性上可以明白的”），也就是說，適合于行為者所看到的境況［4］189；只有理解科學（即科學問題）的人才能理解科學史?！挥袑茖W史（科學問題境況的歷史）有一定真正理解的人才能理解科學［4］195-196。

相應地，數學課程與教學的“歷史意識”應是數學課程與教學共同體（包括施教者、學習者、課程設計者、教材編寫者等）中各主體的當下自我意識，是對過去、現在與未來關系的整體把握?！艾F在”并非一個靜態概念，而是動態地表征著當下數學學習者的境況?！斑^去”是相對于“現在”以前的數學史料?！拔磥怼笔窍鄬τ凇艾F在”以后的數學課程與教學預設。數學課程與教學的“歷史意識”，不僅是在數學課程與教學中滲透、融入、整合、運用數學史料的意識，更是超越狹隘的個體時空，以學習者數學學習境況為出發點，以相關數學史料為紐帶，以學習者數學核心素養發展為指向，建立起過去、現在與未來的緊密聯系，從而真正將史料形態之數學轉化為教育形態之數學的意識。

二、數學課程與教學的“歷史意識”之價值

?？藸柼岢觥皞€體發育史重演種族發展史”的發生學定律，指出兒童的心理發展是種族進化的簡短重復。一些數學教育研究者受此啟發，將其應用于數學課程與教學，歷史發生原理應運而生。19世紀末，數學史與數學教育的關系開始受到數學家與數學教育家的關注。數學史與數學教育關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM研究小組）也于1972年舉辦的第二屆國際數學教育大會上成立。自此以降，“數學史與數學教育”逐漸成為數學教育研究重要領域之一［5］11。通過對HPM領域已有研究成果的梳理，數學課程與教學的“歷史意識”之價值主要體現在以下幾個方面。

（一）為學生的數學學習提供有利條件

以學習者為中心的教育強調以學習者的發展為根本旨歸。數學學習者的當下自我意識，是數學課程與教學的“歷史意識”之重要組成部分。其價值的根本體現，在于為學生的數學學習提供有利條件。許多著名的數學家、數學史家都認為數學史對促進學生的數學學習具有重要作用。如卡約里、史密斯、克萊因等認為，數學學習具有歷史相似性，數學家在數學發展史上遭遇的困境，也將成為學生的數學學習障礙［5］11-12。因此，在數學課程與教學中恰當運用數學史料，能夠促進學生對具體數學知識的理解，揭示數學內容的本質。與此同時，還能夠讓學生知悉數學漫長而曲折的發展歷史，以數學史實激勵或安慰學生，激發學生對數學學習的興趣與信念［6］。如前文所述，數學課程與教學的“歷史意識”的內涵，并非僅指在數學課程與教學中滲透、融入、整合、運用數學史料的意識。因此，“歷史意識”對數學學習的價值遠不止于此。

數學課程與教學的“歷史意識”，能夠為學習者提供數學知識產生、發展至今的歷史背景與脈絡，建立起過去如何產生、現在為何學習、未來如何使用的有機聯系。學生在教師的引領下超越當前自身所處時空，現身于數學知識產生的時空，經歷數學家發現、提出、分析和解決數學問題的探究過程，通過明晰過去、現在與未來的聯系，提升對數學現實意義與應用價值的認識。這意味著數學課程與教學的“歷史意識”，為學生問題意識、創新思維、實踐能力以及數學觀的良好發展提供有利條件。

（二）為教師的數學教學提供有效借鑒

19世紀末，數學史開始在西方成為數學教師教育課程之一。數學史家史密斯提出，數學史為數學教學改革提供了借鑒，因為困擾世界的數學問題也會困擾兒童，而世界解決數學問題的方式則為教師的數學教學提供了重要提示。我國著名數學史家錢寶琮認為，數學史研究應為數學教師服務，并倡導師范院校開設數學史課程。自20世紀20年代起，錢寶琮相繼在南開大學、浙江大學、華東師范大學開設數學史課程［5］10。學生的數學學習具有歷史相似性，因此歷史意識能夠幫助教師預測學生的數學認知障礙，確定數學教學的重難點，選擇恰當的教學策略。相關實證研究表明，增強數學課程與教學的“歷史意識”，有助于數學教師形成以下變化：對學生的認知規律有更深刻的理解；對教材的批判能力有所提升；對教材的拓展意識有所增強；數學觀與教學觀有所轉變；逐漸形成自己的教學風格［7］。隨著相關研究的持續深入，越來越多的證據表明數學課程與教學的“歷史意識”為教師的數學教學提供了有效借鑒［8］。

（三）為數學教材的編排提供有益思路

課程是實現教育目的的重要載體，數學課程的設計應為歷史意識的作用發揮提供空間。從教學內容載體的角度出發，數學課程主要包括數學課程標準、數學教材等。數學教材是課程標準中教育理念、教學內容以及教學要求等的物化載體［9］60?，F行的《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版2020年修訂課標”）與新頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年課標”）均涉及數學史相關要求。而以往研究表明，數學教材的編排曾存在數學史分布不均衡、滲透不自然、類型不廣泛等問題［10］。這在一定程度上抑制了歷史意識在實際數學教學中的作用。數學課程與教學的“歷史意識”之內涵，要求數學史料的運用以建立過去、現在與未來的聯系為旨趣。因此，歷史意識為數學教材的編排提供了有益思路，即要真切地將數學史料以“潤物細無聲”的方式自然融入數學教材，而非僅將其作為教科書中“閱讀與思考”等欄目的內容，或單獨作為選修內容出現。以此類“附件”形式呈現的數學史料不但不易發揮其獨特作用，甚至還有可能會產生負面影響。正如杜威所言，一個具有教育或教學意義的活動，能使人認識到過去未曾感覺到的某些聯系［1］87。如果數學史料未能作為紐帶建立起過去、現在與未來的聯系，這些文化遺產脫離與個人進行活動的當前環境的聯系，它們就變成一個敵對的和使人分心的環境［1］90。

三、數學課程與教學的“歷史意識”之增強路徑

盡管HPM研究已開展五十余年，但在數學課程與教學實踐中依然存在歷史意識不強的現象。一些教師尚未充分認識到數學史料的重要作用，在考試評價的壓力下選擇忽視非顯性知識形態的數學史內容。部分教師開始有意識地在實際教學中運用數學史料，但卻停留在較低層次。有學者將國內外已有數學教學中運用數學史的方法進行了梳理、整合，歸納為附加式、復制式、順應式和重構式四類［11］3。其中發生法追求知識的自然發生，將教學建立在學生已有認知基礎之上，并強調讓學生感悟到新知的必要性，重視對學生數學學習動機的激發。該定位符合數學課程與教學的“歷史意識”之內涵。其他三種方法的層次則相對較低，甚至有的教師誤認為，在課堂上運用數學史就是講點數學家的故事［11］3。也有一些教師將數學教學中運用數學史料的目的定位于激發學生數學學習興趣。事實上，這只是數學課程與教學中數學史料的派生功能，倘若無法基于學生的數學學習境況建立相關聯系，學習興趣根本無從談起。因為所學習的東西和他目前的活動沒有關系，沒有生氣，也不真實［1］225。針對以上數學課程與教學的實然樣態，提出政策、理論、實踐三條路徑，以增強數學課程與教學的“歷史意識”。

（一）政策路徑：加強教師培訓指導課程標準等的操作性指導

從宏觀層面來看，現行的2017年版2020年修訂課標、2022年課標中均涉及“數學的發展歷程”［12］82“數學發展史”［2］95等數學史與數學文化相關要求，并均在附錄部分提供了相關案例與分析。如2017年版2020年修訂課標附錄案例10“復數的引入”展現了數學史上虛數以及復數概念的引入過程，分析部分特別強調如何將數學史融入中小學的數學教學是數學教育領域的一個重要課題。通過數學概念和思想方法的歷史發生發展過程，一方面可以使學生感受豐富多彩的數學文化，激發數學學習的興趣；另一方面也有助于學生對數學概念和思想方法的理解［12］122-123?！吨行W幼兒園教師培訓課程指導標準（義務教育數學學科）》（以下簡稱《標準》）在培訓目標中同樣做出了要求，如“了解重要的數學事件（數學史、數學發展進程等）”［13］。但在加強數學知識的過去、現在與未來聯系方面，尚有提升空間?！稑藴省房稍凇澳芰υ\斷”與“培訓課程”等模塊進一步增強其導向性，幫助教師進一步深化“如何有效運用數學史料”的正確認識。受一些因素制約，數學史在教科書中尚存在分布不均、編排方式單一等不足［9］60?？紤]到這一現實情況，《標準》可在教科書中數學史內容的使用方面，基于典型案例解讀等方式給予更具操作性的指導。

具體而言，可從內容、方法、資源三個維度為教師增強數學課程與教學的“歷史意識”提供指導。例如，在小學數學課程重點內容“位值”原理部分，其抽象性容易使低齡兒童認知困難。針對此認知困難，可在充分利用學具的基礎上，借助隱喻思維幫助學生突破難點［14］。此即為向學生介紹并使用算籌的合適時機：如果用三個容器從右至左分別表示個位、十位和百位，個位容器中盛放算籌，十位容器中盛放用10根算籌綁成的“小木棍”，百位容器中盛放用10根“小木棍”綁成的“大木棍”，能夠幫助學生形成個位容器中容納的是“一”，十位容器中容納的是“十（十個一）”，百位容器中容納的是“百（十個十）”的認識。學生在經歷數位容器的放入、取出活動時，會積累有關“位值”的具體化活動經驗，將“位值”的認知同化到已有的容器圖式中。在此之后進一步抽象，向學生介紹算籌的縱式和橫式擺法，讓學生體會其優越性（節約算籌、操作簡便），主要體現在以下幾個方面。一方面，此處使用算籌作為學具較為恰當、自然，可在幫助學生感受“位值”的同時，向學生介紹算籌在數學史上的重要地位，引導學生體會中國古代十進位制算籌計數法的獨特價值；另一方面，上述數學情境與活動的設計不但有助于解決當前面臨的“位值”原理教學難點，而且為后續教學基于“計數單位”突出“數”與“運算”的一致性［15］奠定了基礎，比較符合2022年課標的最新要求。在此案例中，內容維度即為“位值”原理；方法維度即為前述數學情境與活動的設計；資源維度則可進一步提供前述兩篇對教學設計有重要啟發價值的文獻以及有關算籌的教學資料。

（二）理論路徑：確保教師職前、入職、在職三階段的一體化持續學習

從HPM與教師專業發展的已有研究來看，當前主要關注兩個群體，或說教師職業成長進程的兩個階段：職前教育與在職培訓［16］。事實上，在現代教師教育制度的引領下，有必要建立起針對數學教師專業發展的三個連續階段，即職前、入職、在職三個階段的“增強數學課程與教學的‘歷史意識”的相關規劃。歷史意識的增強，既非職前教育所能“一次性”達成，亦非斷斷續續的在職培訓所能實現，其需持續不斷的潛移默化。職前階段，要確保數學師范生、數學教育碩士的培養方案中有數學史相關課程的設置；確保能夠勝任數學史相關課程的師資隊伍；基于各院校自身特色，探索開設數學史相關課程的有效方式。入職階段，將“增強數學課程與教學的‘歷史意識”作為數學教師入職教育的內容之一。通過邀請相關專家講學、優秀數學教師現身說法等方式，做好職前教育與在職教育的銜接。在職階段，搭建以“增強數學課程與教學的‘歷史意識”為目標的學習平臺，通過參加高校培訓、專題講座等多種形式的繼續教育，為職業生涯的持續發展保駕護航。

（三）實踐路徑：建立教研共同體，共同開展HPM課例研究

數學課程與教學的“歷史意識”，是面向數學課程與教學實踐的意識，具有默會性。其提升不能僅停留在理論學習層面，而是需在數學課程與教學實踐中不斷探索。作為數學課程與教學共同體中將數學課程轉化為數學教學的實踐主體，數學教師無疑是確保歷史意識產生預期效果的最大倚仗。已有研究表明，打造由高校數學史與數學教育研究者、教研員、一線教師組成的教研共同體，有助于增強數學教師的歷史意識。這需要中小學、教研室與當地高校尤其是師范院校之間建立緊密的聯系。在進行HPM教學設計和教學實踐時，先由高校數學史與數學教育研究者完成相關主題的歷史研究，獲得數學史料，然后由其與教研員、一線教師合作，將史料形態之數學轉化為教育形態之數學，并付諸實踐［11］4。在此基礎上，基于利益相關者理論的指導［17］，秉持家校社協同共育的理念［18］，建立起包括教材編寫者、職前教師、場館教師、家長在內的更大共同體，攜手在實踐中感悟、總結經驗，進而深化對理論的認識。在這樣持續不斷的良性互動中，數學課程與教學共同體的“歷史意識”才能不斷增強。

四、結語

研究受杜威、波普爾有關歷史與教育關系的觀點啟發，基于學科史與學科教育交融的立場，結合HPM領域既有成果，對數學課程與教學的“歷史意識”之內涵、價值及增強路徑進行了初步探討。盡管這一初步探討是基于實然樣態與應然追求的規范性論證［19］，但其所建立的整體性框架為未來開展實證研究奠定了一定基礎。例如，基于“學生之學”“教師之教”“教材編排”三維向度的交互作用，檢驗“教師之教”“教材編排”之于“學生之學”的實際效果如何？教師職前、入職、在職一體化持續學習的理念與實踐，是否需要有所改進？如果是，需要改進的要素又有哪些？等等，要回答以上問題，無疑需基于大量兼具理論導向與實踐導向的設計研究：通過縱向追蹤式的迭代循環設計與分析，在理論層面提出相關假設，并不斷進行檢驗、解釋或修正；在實踐層面逐步獲得相應的策略、方法和工具［20］。

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（責任編輯：陸順演）