基于條件聯想,挖掘中考試題的教學價值

【摘 要】 中考試題有它的評價價值和導向價值，更需要關注它的教學價值.我們不單單滿足于完成解答，而是基于條件聯想，發掘更多可用的基本圖形，尋找更多的關聯，串聯起不同的知識應用，讓中考試題成為我們教學的精品資源，達到中考試題的價值最大化.本文以2022年安徽省中考第14題填空壓軸題為例，來談談試題的價值挖掘.

【關鍵詞】 條件聯想;基本圖形;教學價值

1 題目呈現

（2022年安徽第14題）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G.連接DF，請完成下列問題：

（1）∠FDG=°;

（2）若DE=1，DF=22，則MN=.

2 價值挖掘

本題是正方形背景下，結合動點作等腰直角三角形，經歷從一般到特殊的探究過程，是較常規的命題考查方式.本題蘊含豐富的幾何基本圖形，可作為教學資源使用，引導學生基于題中給出的條件進行聯想[1]，收獲不同的解題方法，串聯起不同模型，不同知識的應用，從而將試題的價值最大化.

2.1 基于等腰直角三角形，考查一線三直角

第一問，由題中等腰直角△BEF聯想一線三直角，如圖1，可證△ABE≌△GEF，所以EG=AB，AE=GF，又四邊形ABCD是正方形，所以AD=AB，所以AD=EG，從而得到AE=DG，所以DG=GF，得△GDF為等腰Rt△，所以∠FDG=45°.

本題是點E在AD上任意一點時都成立的一般情況下的結論，在第二問若DE=1，DF=22時，可得DG=GF=AE=2，所以正方形邊長為3.第一小題不需添加輔助線，基本圖形是現實存在，所以難度不大，但一線三直角的“K型圖”是中考考查的高頻考點，可以作為評價學生學習效果的不錯選擇.下面主要對第二小題展開價值挖掘.

2.2 基于平行條件，考查“A型”“X型”相似

思路1 由四邊形ABCD是正方形及GF⊥AD，所以題中有現成的橫縱兩組平行線，可以構造“A型”或“X型”相似.

簡解1 如圖2，延長BC，GF交于點H，則FH=1，CH=DG=2，由CD∥GH，所以△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，所以MDFG=EDEG=13，所以MD=13FG=23，NCFH=BCBH=35，所以NC=35FH=35，所以MN=3-23-35=2615.

評析 方法1充分利用了DC∥GH的條件，利用兩組“A型”相似分別求出DM和CN，進而求得MN.類似的可以利用圖3，過點F作FH∥BC，交CD于點H，構造△BCN與△FHN的“X型”相似求解CN;亦可如圖4，延長FE與BA的延長線交于點H，構造“X型”相似求解AH，再利用△FMN與△FHB的“A型”相似求解MN;或是如圖5進行構造求解，此處不再贅述.像這樣對平行條件充分的進行挖掘，是很實用的教學素材.

2.3 基于45°角，考查正方形背景下的半角模型

思路2 由條件中△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，所以∠EBF=45°，聯想到正方形中的半角模型，故可連結EN，利用半角結論，結合Rt△EDN中勾股定理即可求解.

簡解2 如圖6，連結EN，由正方形背景下的半角模型結論可知，EN=AE+CN，令CN=a，則EN=a+2，DN=3-a，在Rt△EDN中由勾股定理得EN2=ED2+ND2，所以（a+2）2=12+（3-a）2，解得a=35.DM的求解同方法1，所以MN=3-23-35=2615.

評析 此法是對正方形中45°半角模型的自然思考，對于填空題形式可以借助結論進行應用，是練習半角模型應用意識和能力的不錯素材.其中半角結論的證明，如圖7，將△BCN繞點B旋轉至△BAN′，構造△N′EB≌△NEB即可，這里不再細述.

2.4 基于面積思考，考查“寬高模型”

思路3 題中當DE=1，DF=22時，圖形都是確定的，思路2連結EN后，MN恰為△ENF求解面積時“寬高模型”中的“高”，從而得到面積視角下的求解方法.

簡解3 如圖6，連結EN，由AB=3，AE=2，所以BE2=13，所以得S△BEF=12BE2=132.又由平行線分對應線段成比例可知，NFBF=DGAG=25，所以S△ENF=25S△BEF=135，所以S△ENF=12MN·EG=135，所以MN=2615.

評析 由簡解2連結EN得到啟發，只需求得△ENF的面積，即可利用“寬高模型”求解MN.“寬高模型”簡介，△ENF的面積可以用“12鉛錘線段MN×水平距離EG”，鉛錘線段即為“高”，水平距離即為“寬”，本質就是看成以MN為公共底邊的△ENM和△FNM的面積之和，這在許多背景下的面積問題中都有廣泛應用.

簡解4 如圖8，過點E作EH∥CD交BF于點H，同簡解3知S△BEF=12BE2=132.在△BEF中由“寬高模型”得S△BEF=12EH·AG=132，所以EH=135，

圖8再由△MNF∽△EHF，對應底的比等于對應高的比，所以MNEH=GDGE，所以MN=23×135=2615.

評析 此法也是基于△BEF的面積確定，利用“寬高模型”確定公共底EH，同時又有“A型”相似的出現，這里的線段EH串聯起了三角形面積與平行得相似的不同知識，起到橋梁紐帶的作用，關聯起不同條件和知識，引導學生不同方法的發現也體現了知識的生長過程.

2.5 基于公共邊角，考查相似基本圖形

思考4 能否不添加輔助線直接求解？分析題中條件，圖中有現成的公共邊角相似的基本圖形，又線段DF，MF，DM的長可求，所以嘗試直接利用相似求解.

簡解5 如圖1，DF=22，EF=13，所以由DM∥GF得MF=23EF=2313，又由（1）知∠NDF=∠NFM=45°，又∠DNF=∠FNM為公共角，所以△NDF∽△NFM，所以MNFN=FNDN=FMDF，所以MN·FNFN·DN=FM2DF2，即MNDN=FM2DF2=1318，所以MNDM=135，所以MN=135DM=2615.

評析 此法不需添加輔助線，△NDF與△NFM公共邊角相似也是相似的常見基本圖形，但直接求解MN還是有一定難度的，這里有公共邊角相似常用的“MN·DN=FN2”外，還有“MNDN=FM2DF2”這個結論相對比較少用，其實由面積還可推導得到“DF·NF=DN·FM”等結論，可以作為探究的素材，也可以成為解題的新突破口.

2.6 基于函數解析，考查形數轉化

思考5 基于題中的正方形背景和等腰直角三角形的條件，聯想規則圖形下，建立平面直角坐標系，借助函數解析式，通過解析法求解也是一條有效途徑.

簡解6 如圖9，以點B為坐標原點建立平面直角坐標系，則E（2，3），F（5，1），所以可得EF的解析式為：y=-23x+133，OF的解析式為：y=15x，所以M（3，73），

評析 笛卡爾在《指導思維的法則》中提出了“通用數學”的思路，運用“幾何問題代數化，代數問題坐標化”的思想解題，實現形數轉化.初中幾何中遇正方形、矩形、菱形和特殊三角形如等腰直角三角形等圖形時，建立坐標系，應用解析法也是破解幾何問題的一種有效路徑.本題是應用函數解析的思考方向，實現形數轉化的好題.

3 一點思考

一道中考試題，尤其是試卷中的關鍵題、壓軸題，往往都凝聚著命題人的心血，是考查知識應用、評價學習成果、反映素養發展的好題.讓中考試題在教學中充分發揮它的價值是很有價值的研究方向.本文以一道中考填空的壓軸題為例，基于不同條件的聯想，串聯起了“一線三等角”全等、平行線、相似的幾種基本圖形“A型”“X型”和“公共邊角型”相似、“半角模型”“寬高模型”以及“函數解析化”等不同的知識與方法.整個方法的探究過程也就是知識的生長和應用過程，是充分挖掘試題教學應用價值的過程，當然試題的變式拓展延伸還有待后續進一步研究.

參考文獻

[1]姜黃飛.挖掘試題中各條件的關聯變式話命題[J].數學通訊（上半月），2020（01）：52-55.

作者簡介

姜黃飛（1975—），男，浙江海鹽人，中學高級教師;嘉興市名師，浙江省張宗余名師工作室學科帶頭人，參加市中考命題和承擔期末統考命題;主要從事數學教育和試題研究;發表論文多篇.