基于小波變換的組合模型在橋梁變形分析中的應用

張瑞鵬 李仲勤，2 吳夢瑤

1 蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州，730070

2 蘭州交通大學測繪與地理信息學院，甘肅蘭州，730070

3陜西鐵路工程職業技術學院測繪與檢測學院，陜西渭南，714000

近幾十年來，高速鐵路建設中以橋代路的比率越來越高，由于復雜地質條件的影響，橋梁在鐵路運營過程中會產生相應的變形。因此，橋梁變形監測工作為高速鐵路施工提供了有力保障。影響橋梁變形監測的主要因素有儀器精度、監測環境和人為因素，所以監測數據包含了真實信號和噪聲信號。其中，噪聲信號會對實際變形信息產生一定的影響，對噪聲信號進行一定的消除和減弱，可以提高變形數據的精度，為后期的預測預報提供高質量的基礎信息［1?4］。

本文針對橋梁變形監測數據噪聲的特點，比較了小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波、卡爾曼濾波?小波組合模型的去噪效果，并根據去噪后的數據建立了GM（1，1）模型，結合相關高速鐵路橋梁變形數據，分析模型的去噪效果和預測效果。

1 小波分析

小波變換是用小波函數系表示或逼近一個信號或者函數。小波函數系由一個基本小波函數經過伸縮和平移得到。

設一個基本小波Ψ(t)∈L2(R)，其中，t表示時間，L2(R)表示平方可積的函數空間。其傅里葉變換滿足以下條件［4，5］：

{Ψa，b(t)}是Ψ(t)進行平移和伸縮的小波函數集，表示如下：

式中，a、b分別表示平移和伸縮因子。

任意函數f(t)∈L2(R)的連續小波變換為：

式（3）為連續小波函數。在實際工程應用中，變形監測所得數據都是有限長的離散信號。為了使數值計算簡便，將連續小波函數進行離散化。連續小波函數離散化針對的是平移參數和伸縮參數，而不是時間變量［6，7］。

令a=，b=，其 中，a>1；b0∈R；j、h∈Z。將其代入式（2），便可得到離散小波函數：

2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過估計觀測值來進行濾波的算法。由于卡爾曼濾波能夠剔除隨機干擾噪聲，獲得逼近真實信號的有用信息，因此經常被用于多噪聲干擾的數據去噪［6］?？柭鼮V波由基本方程、觀測方程構成，離散化形式如下：

式中，Xk是系統k時刻的狀態向量（n×1維）；Fkk?1是系統k?1時刻到k時刻的狀態轉移矩陣（n×n維）；Gk?1是系統k?1時刻的動態噪聲矩陣（n×r維）；Wk?1是系統k?1時刻的動態噪聲（r×1維）；Lk是系統k時刻的觀測向量（m×1維）；Vk是系統k時刻的觀測噪聲（m×1維）；Hk是系統k時刻的觀測矩陣（m×n維）。

根據最小二乘原理推導卡爾曼濾波遞推公式：

①狀態向量一步預測值為：

②狀態向量一步預測值方差陣為：

式中，Qk?1表示k?1時刻動態噪聲的方差陣。

③狀態向量估計值為：

式中，Jk表示濾波增益矩陣，可表示為Jk=Pkk?1HΤk(Hk Pkk?1HΤk+Rk)?1，其 中，Rk為 觀 測 噪聲的方差陣。

④狀態向量估計值方差陣為：

3 灰色理論模型

3.1 GM（1，1）模型

設非負離散數列為：

式中，n為序列長度。對x(0)進行一次累加生成，即可得到一個生成序列x(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}，對此生成序列建立如下一階微分方程，并將其記為GM（1，1）：

式中，v和u是灰參數，其白化值為a?=[vu]Τ。用最小二乘法求解，可得：

求出a?后代入式（11），解出微分方程：

或

式（13）、式（14）即為灰色預測的兩個基本模型。當kn時，稱為模型預測值［9?12］。

3.2 GM（1，1）模型的精度評定

模型精度的評價方法有3種，分別是殘差大小檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗。常用后驗差檢驗對GM（1，1）模型進行精度評價，后驗差檢驗是對殘差分布的統計檢驗，通常由后驗差比值C和小誤差概率P評價［12?16］。表1列出了根據C、P取值確定的模型精度等級。模型精度等級判別式為：模型精度等級=max{P所在的級別，}C所在的級別。

表1 GM（1，1）模型精度等級Tab.1 Accuracy Grades of GM（1，1）Model

4 實例分析

4.1 工程簡介

表2為2009—2010年某高速鐵路大橋橋墩的變形監測數據，共40期（數據選用的是文獻［3］中所測數據）。本文以此數據為原始數據，利用MATLAB進行小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波組合去噪，并運用GM（1，1）模型對變形進行預測。

表2 沉降觀測數據Tab.2 Settlement Observation Data

4.2 數據去噪

本文用小波去噪、卡爾曼濾波、小波?卡爾曼濾波和卡爾曼濾波?小波模型對26~35期數據進行去噪處理。小波采用db10進行3層分解。去噪前后的數據如圖1所示。

由圖1可知，經小波去噪、小波?卡爾曼濾波組合去噪的數據較卡爾曼濾波去噪和卡爾曼濾波?小波去噪更加光滑、波動變化小，且保留了有用信號的完整性，很好保持了橋梁變形的本質特征和變化規律，其去噪效果較另外兩種模型去噪效果更好。

圖1 去噪前后數據對比Fig.1 Comparison of Data Before and After Denoising

4.3 模型預測及精度評定

在去噪數據基礎上，選取26~35期數據進行擬合，對36~40期數據進行預測。選用原始實測數據、經小波去噪的數據、經卡爾曼濾波去噪的數據、經小波?卡爾曼濾波去噪的數據和經卡爾曼濾波?小波去噪的數據進行預測，得到圖2所示結果，并與實測值進行對比，得到表3所示結果。

圖2 模型預測結果Fig.2 Prediction Results of Models

由圖2可知，與其他模型相比，小波?GM（1，1）模型和小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預測值更加接近實測值。由表3也可以看出，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型預測值的最大殘差為?0.48 mm，最小殘差為0.04 mm，小于其他模型的殘差。

表3 預測值與實測值對比Tab.3 Comparison of Predicted and Measured Values

由表4可知，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的后驗差比值為0.165 49，小誤差概率為1，其模型精度相比其他模型有明顯提高。這說明先進行小波去噪后進行卡爾曼濾波去噪，可以有效減弱隨機誤差噪聲對于預測結果的影響。

表4 模型精度對比Tab.4 Precision Comparison of Models

由表5可知，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預測誤差是5種模型中最小的。先進行小波去噪能在一定程度上消除噪聲干擾，再進行卡爾曼濾波可以優化去噪效果，使數據更加接近真實的變形值。

表5 模型預測誤差/mmTab.5 Prediction Error Values of Models/mm

5 結束語

本文介紹了小波去噪、卡爾曼濾波和GM（1，1）模型的基本原理?；?種理論基礎，建立去噪模型對數據進行去噪處理，并用GM（1，1）模型對去噪后的數據進行預測。對比分析4種模型的預測精度，可以發現小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預測精度最高，小波?GM（1，1）模型的預測精度次之。分析可知，由于高速鐵路橋梁變形監測過程中影響因素眾多，小波去噪可以一定程度上消除噪聲誤差的干擾，最大程度保留真實信號數據。但是，由于白噪聲的頻率覆蓋整個頻率軸，小波去噪難以消除白噪聲的影響，而卡爾曼濾波可以較好地消除白噪聲的影響，提高數據的有效性，為后續工作提供可靠的信息。由此可見，基于小波?卡爾曼濾波的GM（1，1）模型在含有復雜噪聲干擾的橋梁變形分析預測預報中有較強的適應性。