數學定理在高中物理力學解題中的有效應用研究

劉長強

摘? ?要：物理和數學是兩門具有緊密關聯的學科，當解答高中物理力學習題時，借助數學定理能夠獲取更多靈感、更好的解題效果。為此，高中物理教師需要致力于探索高中物理力學的基本解題技巧，從而為數學定理的介入創造條件，在此之后，則需要分別在正弦定理、余弦定理、韋達定理等具體方面進行探索，突出它們在學生解答物理習題的意識和能力發展方面的作用，最后則延伸出“等效替代”這一數學思想的物理學應用的可能性。

關鍵詞：高中物理;數學定理;力學;解題;有效應用

引言

在高中階段，物理學科學習難度相對較大，然而其重要性又使教師與學生不能對其稍加疏忽。因為牽涉到數學和化學等其他學科，物理具有知識覆蓋面全、綜合性強、靈活性突出等特點，化解教育與學習困難，便不能只從知識傳授的角度來應對，更為主要的是需要教師為學生提供思考的方向、方法，特別是需要讓學生在解題時，能夠得到思維的借鑒。例如僅從力學知識角度來看，不同力學題目常常會有不同設問角度、解題思路，均有它們的獨到之處，其中的一些題目將重點考查學生在邏輯推理、理解判斷方面的能力，對于學生而言實際上要求是很高的[ 1 ]。為了讓學生順利解題，教師可以考慮以學生思維發展為突破口，讓學生以一些數學定理為借鑒，不斷提升自身能力和解題效率，最終應用所掌握知識靈活應對多樣化的問題 [ 2 ]。

1? 高中物理力學題處理技巧

想使數學定理在高中物理力學解題中的應用更加有效，教師首先需要明確高中物理力學題處理技巧，只有這樣才能找到數學定理的介入方向、介入深度，讓學生更順利地接納新思維與新渠道。

1.1? 掌握基本概念

學生如果想真正學好物理，順利解決物理問題，首先一定要在教師的指導下掌握基本物理概念，若是不能做到這一點，便無法理清解題思維，往往會在處理實際問題時發生各種意料之外的問題。為此，教師要做好幾點，其一是：使學生清晰界定物理概念，特別是明確物理學科中一些字面相似的概念，了解它們的本質差異。例如當使學生注意到：雖然速度與加速度兩個概念只相差一個字，但在含義上卻極為不同，其中速度所代表的是物體位置變化快慢，加速度所代表的是物體運動狀態變化快慢，即使在速度為零的情況下，加速度卻未必是零。其二是：教師需要讓學生順利理解不同物理量間的聯系，使學生在它們的互相關聯與互相推導中，有效培養自我發散性思維，這同樣是接納數學定理與應用數學定理的重要準備。

1.2? 做好審題工作

在物理的力學問題中，通常會給出一個或者多個相關物體，部分問題會全面展示物理變化的全過程，而部分問題則僅展示部分物理過程。如果學生想通過數學定理尋求解決辦法，便要做好認真審題的準備工作。審題時應當留意以下問題，其一：要對物體受力情況做比較系統的分析，包括明確單位是否一致等基本問題。其二：要突出抽象思維的作用，借此了解問題所指向的研究對象，使之向相應的物理圖景進行轉化，從而方便數學定理的應用，并借此發現力學運動規律。而且特別要注意到，當對問題加以分析時，把物理過程轉化成物體狀態是必要的，對于平衡狀態、非平衡狀態的審視，將成為一項重點。其三：當分析問題時，需要在示意圖內將已知條件標記出來，再參考問題內的文字，使基本受力情況、不同時間運動狀態情況都體現出來，這會讓數學定理在已知條件和解題目標之間產生更理想的媒介服務作用。

1.3? 明確解題思路

高中物理力學問題，重點針對物質運動規律、物質運動結構加以研究，當面對此類問題時，教師需要加強宏觀的信息分析指導工作，使學生了解物體運動全過程，并將此運動過程合理分解為幾個可拆解的、能夠具體研究的部分，借助相應物理模型的構建策略明確解題思路，這對于引入數學定理來降低題目解題難度無疑是有效的做法。舉例來講：光滑水平面上有一個靜止木塊，子彈以水平速度擊中木塊，且從木塊穿出。在這一過程之中，以下哪種說法是正確的。A、子彈所減少的機械能同木塊所增加的機械能是完全相同的;B、子彈與木塊二者共同構成了系統的機械能，它們所失去的熱量等于系統所形成的熱量;C、子彈所減少動能與木塊增加動能、木塊增加內能之和相等;D、子彈所減少機械能和木塊增加動能、子彈與木塊增加內能之和相等。本題側重于檢驗學生對于受滑動摩擦力時物體直線運動規律的把握程度。學生如果能夠以模型為依托，對題意加以有效分析，在此基礎上明確思路，那么當有數學定理引入必要時，便可以自然實現。

1.4? 分解知識要點

在高中物理力學學習期間，學生應當集中掌握幾項定律、定理，如牛頓運動三定律、動能定理和動量定理等。而當面對具體的問題時，則通常需要從物體受力情況開始分析，以定律、定理為基礎，對知識要點加以分解，以便讓數學定理的介入更加有效，在其幫助下突破各個難點。通常來講，若面對加速度或求瞬間關系之類問題時，學生可從牛頓運動定律方面尋求解決思路;若面對變力做功、位移等問題時，以功和能的定律加以解決是正確思路;若擺在面前的是沖量、時間有關問題時，則突出動量守恒定律、動量定理的作用，可更好地吸納數學定理的幫助?？偟恼f來，分解知識要點，使之與定律、定理相協調是必要的，而在此之后的解題過程之中，則要求學生對已知條件加以認真分析，在明確物理過程后，建立一定條件下的物理與數學相協調情境，從而使適用的規律產生解題導向作用，展示出最恰當的解題方法。

2? 數學定理在高中物理力學解題中的有效應用例析

上面所述的掌握基本概念、做好審題工作、明確解題思路、分解知識要點幾項物理問題的自身解決技巧，可以成為學生解題時的基本抓手，而借助這些技巧，數學定理也將有更好的介入渠道，使之在學生解題期間產生有效引導作用。在此支持之下，筆者在下面嘗試例析數學定理在高中物理力學解題中的有效應用策略。

2.1? 三邊定理

三邊定理即：在三角形之中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。這一數學定理在力學問題中有較廣的應用渠道。例如圖1所示：某一質點受到兩個力的共同作用，其大小是：F1=10 N，F2=18 N，則其合力可能為多少？A、4 N;B、12 N;C、20 N;D、30 N。本題學生便完全可以在用心分析后，從力的三角形法則出發，明確F1、F2這兩個分力同合力F能夠共同構成一個三角形。按照三角形的三邊定理，可以知道：|F1-F2|<F<F1+F2，這樣的認知具有非常強的力學分析實用性。

2..2? 正弦定理

正弦定理所描述的是三角形中邊長和角度間的關系，在將其應用到高中物理問題解答過程中時，可以把邊長與“力”相關聯，利用正弦定理發現物理參數間的內在規律，從而更為順利地得到物理問題的答案。例如：如圖2所示，一輕繩的一端固定于墻面之上，另一端則連接重力為mg的鐵球，使鐵球置于光滑斜面之上，在這一結構中，繩子同豎直墻壁之間的夾角為β角，斜面同豎直墻壁之間的夾角為θ角，那么斜面對球產生的彈力、繩子對球產生的拉力，它們的大小分別是 、 。如果斜面對球產生的彈力，繩子對球產生的拉力分別是FN，F，則對于小球的受力分析，完全可以在做好審題工作、明確解題思路之后，通過引入正弦定理，突破解題障礙，順利產生：=，=，由誘導公式化簡得FN=，F=。

2.3? 余弦定理

數學定理中的余弦定理，經常用于求解非特殊三角形邊長或者內角的大小，能夠在物理學科中的距離、角度等問題處理過程中發揮出應有的作用。為讓學生能夠有效掌握余弦定理處理物理問題的技巧，教師既要和學生共同回顧余弦定理內容、相關表達方式，用于加深學生記憶，避免使用時出現舛錯，又要擇優選擇經典問題，突出余弦定理的功能，保證學生得以在親身嘗試時感受到余弦定理介入于物理問題解決物理過程的妙處。例如下面的問題：如圖3所示，衛星發射時應利用遙測了解衛星飛行參數，地球赤道有一個監測站A，處在衛星B、地球球心O的連線之外的某一點，當發射衛星B進行遙測任務時，觀察到監測站與地球球心連線同衛星與地球球心連線呈θ角，遙測信號傳播速度按照光速c計算，如果近地衛星所運行的軌道是圓形，衛星公轉周期是T、地球半徑是R、地球表面重力加速度是g，那么遙測信號從發送到被監測接受所需要的時間是多長？設衛星質量是m，地球質量是M，萬有引力常數是G，軌道半徑是r也就是OB長度，通過萬有引力定律能夠知道：G=mr，又由于mg=G，如果想得到遙感信號需要用到的傳播時間，便需要得到AB長度s，則t=，由于OA=R，求AB長度，從余弦定理可知AB=，上述各式聯立可得：

t=

2.4? 韋達定理

在解決力學問題時應用韋達定理，所利用的是定理描述根和二次函數系數間的關系，即一些物理習題有必要構建一元二次方程來解決，這時依靠韋達定理可以較快發現各參數間的關聯，從而為順利求解問題鋪平道路。韋達定理指如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）兩實數根分別是x1和x2，那么x1+x2=-，x1x2=。依靠數學學科中的這個定理處理物理力學習題時，既需要做好物體受力分析，使所學物理知識可以構建一元二次方程，又需要依前述解習題的基本處理技巧，于分析問題后，依定理表示各參數間的相等關系，最終得到未知的參數。例如：豎直向上拋出的物體，自拋出至上升至某點所需要的時間是t1，再需要時間t2又落回到該點，在不計空氣阻力的情況下，上升到這一點的高度h是多少（重力加速度為g）？解析本題時，教師可要求學生基于豎直上拋運動規律，寫出關于時間t的一元二次方程：-gt2+v0t-h=0，由于t1和t1+t2滿足本方程，也就是這個方程的兩個根，從韋達定理可得：t1（t1+t2）=，也就是h=g（t1+t2）t1。

2.5? 曲率半徑公式

在發射地球同步衛星時，并不是一步到位，往往分為多過程完成，如圖4所示，先將衛星發送到近地軌道Ⅰ，軌道Ⅰ為半徑為r1的圓周軌道，衛星在其運行速率為vBⅠ。經過B點的時候，瞬間點火加速，速率變為vBⅡ，使衛星進入橢圓軌道Ⅱ，B點為橢圓軌道Ⅱ的近地點。當衛星在軌道Ⅱ上克服地球引力做功運動至遠地點A點時，速率減為vAⅡ，再瞬間點火，速率變為vAⅢ，使之進入半徑為r2同步圓周軌道Ⅲ。

筆者發現很多教鋪書上解釋以上衛星變軌需要加速的原因如下：衛星在軌道Ⅰ的B點加速，所需向心力變大，萬有引力不能滿足向心力，即<m，衛星將做離心運動從而進入橢圓軌道Ⅱ;衛星在軌道Ⅱ的A點再加速，所需向心力變大，萬有引力又和向心力相等，即=m，衛星從橢圓軌道Ⅱ進入同步圓周軌道Ⅲ。這種說法其實是不太正確的，因為A、B兩點分別是橢圓軌道Ⅱ的遠地點和近地點，是衛星在橢圓軌道上運行速度的最小值和最大值，A、B兩點是沒有切向加速度的，所以在橢圓軌道Ⅱ上的A、B兩點地球對衛星的萬有引力實際上是等于的向心力的！只是向心力公式中的半徑要用橢圓在A、B兩點的曲率半徑ρ計算。

下面我們來計算橢圓在遠（近）地點的曲率半徑大?。阂粋€焦點在x軸，長、短半軸分別為a、b的橢圓參數方程為x（θ）=acosθ

y（θ）=bsinθ，利用數學定理中的曲率半徑公式ρ=，將x'（θ）=-acosθ? ?x''（θ）=-acosθ

y'（θ）=bsinθ? ? y''（θ）=-bsinθ帶入，得=，橢圓在遠、近地點的曲率半徑參數θ取0或π，得ρ=。由圖5中幾何關系有：長半軸a=，半焦距c=，短半軸b===，∴ ρ==，r1<ρ<r2。

衛星（質量為m）在軌道Ⅰ的B點動力學方程為：=m，因為是瞬間點火加速，所以衛星的位置保持不變，衛星受地球（質量為M）的萬有引力不變，衛星在軌道Ⅱ的B點動力學方程為：=m，由以上兩式得=，∵r1<ρ，∴vBⅠ<vBⅡ。同理，衛星在軌道Ⅱ的A點動力學方程為：=m，衛星在軌道Ⅲ的A點動力學方程為：=m，由以上兩式得=，∵r2>ρ ∴vAⅢ>vAⅡ。由r1、r2、ρ的數值關系可以確定兩次點火需要增加的速度！

例：我國即將展開深空探測，實現火星環繞探測和軟著陸巡視探測，已知太陽的質量為M，地球、火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑分別為R1和R2，速率分別為v1和v2，地球繞太陽的周期為T。當質量為m的探測器被發射到以地球軌道上的A點為近日點，火星軌道上的B點為遠日點的軌道上圍繞太陽運行時（如圖6），只考慮太陽對探測器的作用，則（? A? ）

A.探測器在A點加速度的值等于

B.探測器在B點的加速度為

C.探測器在B點的動能為mv22

D.探測器沿橢圓軌道從A飛行到B的時間為（）T

此題的A選項考察以上的變軌知識，由此可得出答案。

2.6? 等效替代

等效替代并非直接的數學定理，但卻是一種比較實用的數學方法，該方法同樣可以在力學問題處理中發揮出較強的引導效果，因此在此一并論述。一般認為：高中生借助等效替代來處理力學知識，能夠在深刻領會力學概念、定律和計算方式本質之后，使其中的模型應用、變量控制、實驗推理等的實用性得以突顯。也就是說，若是可以把等效替代應用于力學知識中，學生便能夠利用合力和分力的等效替代分析，為接下來的作用力有關問題順利解決奠定基礎，這將有益于避免發生不必要的解題錯誤。在物理問題中已經給出了明確的恒力時，學生可以利用把恒力合并為一個力的計算，再融入等效替代思想，使原本復雜的題目向容易理解的方向轉化，再依靠受力模型構建的策略，突出作用力方程的解答思路。例如：在某一平面上有一個質點，這個質點分別受到六個不同的作用力，這些作用力方向為：東北某方向7 N、正東方向4 N、東南某方向1.3 N、正南方向3 N、西南某方向6.2 N、西北某方向6 N，另外，質點質量是2 kg，當處于這些力的作用之下時，此質點是平衡的，如果同時撤銷正南方向3 N和正東方向4 N的力，質點則會由于受力不均的原因而變靜止為運動，那么其在運動時的加速度是多少？在對問題進行分析后，學生可以看到：本題質點受力情況比較復雜，題目中只表明南方和東方兩力相互垂直的情況，其余四個力方向尚并不確定。若學生想順利得出質點加速度，則一定要明確這四個沒有撤銷的合力。教師可引導學生將數學思想中的等效替代理念引入到解題過程中來，假設四個未撤銷合力是F1，已撤銷合力是F2，即只有F1與F2相互平衡，質點受力平衡才能實現，順此思路探索下去，從公式F=ma出發，可以計算得到處于運動狀態時的質點加速度。除此之外高中力學中重心、質心和平均速度的概念，合運動和分運動的關系，超失重環境中等效重力場的應用，非慣性系中慣性力的提出等等，都利用了等效替代?？傊?，在高中物理力學知識中，存在相當多既深奧又復雜的知識點，學生從這種并非定理卻與定理作用類似的等效替代思想出發，對其加以解決時，要依前述解題技巧，對問題本質特性、替代物加以分析，那么得到正確結論就是水到渠成。

3? 結論

高中物理力學知識學習難度較大，這一點是普遍的共識，其原因既在于這方面知識的縱向深入，也在于它的覆蓋面之廣。將數學定理引入到物理力學知識教學過程中來，可以使難度較大問題得到有效緩解[ 3 ];而為了優化定理應用效果，教師首先需要做好力學的基本解題技巧分析，以便為數學定理的介入創造條件，在此之后，則需要分別在展開對幾種典型數學定理的引入技巧分析。經研究證實：這種做法可行性較強，同時效果也較好，值得進行更進一步的研究。

參考文獻：

[1]? 曹偉.高中物理力學解題技巧分析[J].數理化解題研究，2019（15）：53-54.

[2] 李玉文.數學知識在高中物理解題中運用的若干思考[J].科技資訊，2020，18（21）：140-142.

[3] 姜欣.數學思想方法在高中物理教學中的應用[J]].新課程研究，2020（32）：112-113.