非線性回歸問題求解例說

郭英秀

如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變量不呈線性關系，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關系。這時我們可以把散點圖和已經學過的各種函數，如冪函數、指數函數、對數函數、二次函數等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函數，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉化為線性回歸方程問題來解決，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y和x之間的非線性回歸方程了。

具體做法是：

（1）若問題中已給出經驗公式，這時可以將變量x進行置換（換元），將變量的非線性關系轉化為線性關系，將問題轉化為線性回歸問題來解決;

（2）若問題中沒有給出經驗公式，需要我們畫出已知數據的散點圖，通過與各種已知函數（如指數函數、對數函數、冪函數等）的圖像作比較，選擇一種與這些散點擬合得最好的函數，然后采用適當的變量置換，將問題化為線性回歸分析問題來解決。

例1 （2021年全國高三專題練習文數）人類已經進入大數據時代。目前，數據量級已經從TB（ITB=1 024GB）級別躍升到PB（IPB=1 024TB），EB（lEB=1 024PB），乃至ZB（IZB=1 024EB）級別。國際數據公司（IDC）研究結果表明，2008年全球產生的數據量為0. 49ZB，2009年的數據量為0.8ZB，2010年的數據量增長到1. 2ZB，2011年的數據量更是高達1. 82ZB。表1是國際數據公司（IDC）研究的全球近6年每年產生的數據量（單位：ZB）及相關統計量的值。

點評：對于非線性回歸方程的求解，一般要結合題意進行變換，轉化為線性回歸方程來求解，同時也要注意相應數據的變化。

例2 （2021年貴州理數）某二手車交易市場對2020年某品牌二手車的交易進行了統計，得到頻率分布直方圖（圖1）和散點圖（圖2）。用z表示該車的使用時間（單位：年），y表示其相應的平均交易價格（單位：萬元）。

（l）已知2020年在此交易市場成交的該品牌二手車為100輛，求使用時間在[12，20]的車輛數;

（2）由散點圖分析后，可用y-e kx+a作為此交易市場上該種車輛的平均交易價格y關于其使用時間x的回歸方程。

點評：本題求解回歸方程的關鍵是能夠通過取對數的方式將非線性的回歸方程轉化為線性回歸方程，利用最小二乘法求得線性回歸方程后，再變形得到所求回歸方程。

例3 （2021年陜西高三二模理數）為了迎接第十四屆全運會，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付。某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，z表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統計數據如表3所示。

根據以上數據，繪制了散點圖（圖3）。

（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，y—a+ bx與y -c.dx（c，d均為大于零的常數），哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數z的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（l）的判斷結果及表3中的數據，建立y與x的回歸方程，并預測活動推蹦第8天使用掃碼支付的人次。

（3）推廣期結束后，車隊對乘客的支付方式進行統計，結果如表4。

西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力，以90萬元的單價購進了一批新車，根據以往的經驗可知，每輛車每個月的運營成本約為0. 66萬元。已知該線路公交車票價為2元，使用現金支付的乘客無優惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優惠，掃碼支付的乘客隨機優惠，根據統計結果得知，使用掃碼支付的乘客中有1/6的概率享受7折優惠，有÷的概率享受8折優惠，有1/2的概率享受9折優惠。預計該車隊每輛車每個月有2萬人次乘車，根據所給數據以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費標準，請您估計這批車輛需要幾年（結果取整數年）才能盈利。

參考數據如表5。

點評：本題考查非線性回歸相關問題的解法，解題的關鍵是能夠通過對指數型回歸方程左右同時取對數，轉化為線性回歸的類型，從而利用最小二乘法求得線性回歸方程，最后得到非線性回歸方程。

（責任編輯徐利杰）