類比思想在初中數學中的教學研究

宋志遠

【摘要】類比思想既是數學基礎教育綜合素養的重要方面，又是不斷發展學生創新性數學思維能力的重要組成部分.然而，傳統的初中數學教學并沒有對運用類比思想的能力給予足夠的重視，存在著教師主動運用類比思想方法的意識薄弱、學生自身類比分析能力較差等問題.本文闡述了類比思想的概念以及它對于初中數學學習的重要性和意義，論述了類比思想在初中課堂教學中的應用和類型，并結合當前初中數學類比教學的現狀，從教師和學生的角度探討了培養數學類比思維能力的有效策略，以期為當前基礎教育教學改革提供一定的參考.

【關鍵詞】類比思想;初中數學;教學策略

數學是思維的體操[2].類比思想，這樣一個具有廣闊自由度和想象力的創造性思想，它不僅為教師提供了更豐富的教學方式，而且給予了學生更廣闊的想象力的提升空間，推動師生形成學習共同體，一起探究全新的知識概念，探尋多樣的解題思路，探索美妙的內在規律.類比思想在初中數學中有著廣泛的應用，類比有著可以使數學教學更容易、更形象、更生動的魅力，有利于培養學生的創新思維和自主探究能力.

一、類比思想的概述

（一）概念界定

從兩個或兩類對象具有某些相似或相同的屬性的事實出發，推出其中一個對象可能具有另一個或另一類對象已經具有的其他屬性的思維過程稱為類比[4].類比思想，也可以簡單地稱為類比思維，被人們譽為科學活動中“指路明燈”“思想核心”.類比思想的宗旨是將抽象化的知識轉化為形象化的知識，將新知識轉化為舊知識，使學生可以更好地理解和接受，降低學生的學習難度，使學生克服畏難心理，提升學習興趣.

初中數學中，大量的數學知識可以應用到類比的知識與方法.例如：一次函數與正比例函數之間的類比，一元二次方程與一元二次函數之間的類比.在初中階段，類比思想是數學學習中的一種非常重要的思想，有助于學生理解定理概念、發散思維、構建知識網絡.因此，教師在數學教學中應該加強對數學類比的思想和方法的引導與滲透，在這個過程中讓學生真正體會數學類比思想方法的作用與意義，從而使學生更好地理解數學并愛上學習數學，促進自主學習與創新意識的培養，構建完整的數學知識結構，形成知識網絡，進而使數學學習的有效性得到提高.

（二）教學意義

當前教學理論研究和實踐的熱點問題之一是如何提高和評價學生數學學科核心素養和關鍵能力.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：明確提出四基目標與基本要求培養學生合情推理與演繹推理等能力，進一步提高數學思維能力在教學中的重要性[1].類比思維能力便是學生數學素養關鍵能力之一.

著名數學教育家波利亞說：“類比就是一種相似.”類比思想是富有創造性的，在數學乃至所有學科中都起著關鍵性作用，在初中教學中的應用對于改善初中數學教學效果、促進教學方法變革及培養學生的邏輯思維能力和創新能力具有重要的意義，在教學中對促進學生探究新知識、培養學科核心素養、提高課堂教學的有效性等方面發揮著不可小視的作用[4].本文對類比思想在初中數學教學中的意義進行了研究，希望進一步促進初中階段數學教學與學習的展開，從而提高學生的數學學習能力.

但在目前初中課堂教學的實際工作中，類比思想方法的傳播和滲透卻不盡人意，主要存在以下問題：（1）當前教師在課堂教學中主動運用類比思想方法的意識較為薄弱;（2）部分初中教師對于類比思想在教學中滲透的能力有待提高，部分學生表示對如何運用類比思想進行學習和解題感到無從下手;（3）通過走訪調查可以發現，學生在解題的過程中對于類比思想的運用較少，自身類比分析能力較弱.目前，應試教育還未真正轉化為素質教育，為了提高升學率，免不了采用“題海戰術”，由于類比思維的欠缺，導致一些學生在數學學習中做了許多遍類似的題目卻不自知，影響到學生數學素養的發展和提升[5].在對近年來的數學中考試題進行研究之后，我們不難發現試卷中對類比思想方法的考查比例呈上升趨勢.因此，如何在初中教學實踐中更好地滲透類比思想、培養學生的類比思維能力，這成為當前需要我們教育工作者深入研究的熱點問題之一.

二、初中數學中類比思想的類型

類比數學思想的基本類型多種多樣，依據我們理解初中類比數學的各種類比思維方式特征和各種類比自身的基本特點，可以把基本類型大致劃分成以下三種類型：簡化處理類比、結構優化類比、降維類比[2].

（一）簡化處理類比

簡化類比，即簡化該問題的基本條件和結論，通過對命題進行類比，得到啟示，進而尋求原命題的解決思路與方法，這一基本類型在日常的初中數學教學中應用比較廣泛[4].這種類比類型可以促使數學分析方法和其他數學知識的相互關聯、溝通更加有效，使解答數學問題的效率有所提高，激發學生的類比思維，進而培養學生的數學類比思維能力.

例如：已知x+y=6，xy=6，求x2+y2 .

解析：觀察題目可以發現，已知式中各字母的次數為1，待求式的次數為2，這就需要我們在尋求解題思路與方法之前，先將待求式進行降次處理.

解：∵x+y=6，∴（x+y）2=36，

∴x2+y2+2xy=36，

∴x2+y2=36-2xy.

∵xy=6，

∴x2+y2=36-12，

∴x2+y2=24.

在充分運用傳統數學理論和思想方法解題的過程中，應多注意觀察式中已知項與未知項之間的聯系，將需要求解的問題與已知條件加以對照，并進行多角度、多方位的綜合聯想，從已知條件中尋找相似之處，以便對數式的整體框架結構、解題的思路和方法、問題分析及結論等做到進一步的推遷、延伸，最終得出正確結論[3].簡化處理類比有利于學生發散思維，根據所學的知識類比陌生的新知識，有利于培養學生舉一反三的問題意識.

（二）結構優化類比

結構優化類比相較于簡化處理類比，對類比層次的思維有一些更高的要求，因為它沒有現成的類比所要解決的問題，但這并不意味著它不能被恰當地運用，需要我們仔細觀察，嚴格地進行邏輯推理.根據物品的性質和定義類比分析，基于已知問題的結構相似性，以適當的類比元素取代，最后從最初的問題類比轉換到另一個問題.這種類型在數學類比思維方法的應用上是非常廣泛的，特別是在數與形相結合的問題上，解決問題是非常有效的[5].

例如：c2+d2通過結構類比可以將其巧妙轉化為以下三種問題：

（1）直角三角形中的斜邊長;

（2）直角坐標系中的兩點間距離;

（3）根式中的算術平方根形式[3].

再如：在學習中心對稱圖形后，教師可以引導學生用表格形式呈現中心對稱圖形與軸對稱圖形的異同點，以及中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系.

（三）降維類比

當我們深入研究一個特定高緯度地區的幾何設計問題時，可以首先研究和幫助設計一個類似的和一個相對維度較低的幾何問題，或將原問題直接轉化為維度較低的問題，對其解進行分析，從而使幾何抽象問題變得更加具體和簡單，然后采用各種數學方法來解決后者，或是嘗試充分利用從中獲得的研究結論，來幫助分析和設計解決原來那個維度相對較高的幾何問題，我們將這種方法稱為降維類比[2].它在立體幾何中應用比較廣泛.

例如：一只螞蟻從放在桌面上的實心長方體的頂點出發，沿長方體的表面爬到對角頂點G處，其中AB=4，BC=2，BF=1，求螞蟻爬過的最短距離是多少.

分析： 要求螞蟻爬過的最短距離，我們需要把立體圖形展開成平面圖形，找到起點和終點，然后根據“兩點之間，線段最短”連接兩點，進而找到最短路徑.這樣就將立體圖形中的最短路徑問題轉化為平面圖形中利用勾股定理求斜邊長的問題.由于展開有多種情況，所以我們要分情況討論A到G的長度.

解： 第一種情況： 當螞蟻行走正面和右面時，AG=62+12=37.

第二種情況： 當螞蟻行走正面和上面時，AG=42+32=5.

第三種情況： 當螞蟻行走左面和上面時，AG=52+22=29.

因為5<29<37，所以螞蟻爬過的最短距離為5.

求一只螞蟻在一立方體上兩個相對應的頂點之間爬行時的最短距離[4]，許多學生面對這種問題，都表示有一定難度，無從下手.這時，我們就可以通過運用降維類比的方法將此問題進行簡化，把它轉移到平面幾何當中，就變成了在矩形中求兩個相對應頂點之間的距離問題.因此，教師在課堂教學的過程中，應指導學生嘗試把抽象問題進行轉化，使其變得更加簡單與具體，通過點撥引導學生主動參與到探究研討的過程中——提出問題、分析問題、設計解決方案、得到結論、檢驗證明，幫助他們樹立起學習幾何的信心[5].

三、培養學生類比思維能力的有效策略

類比思想是數學思想中的核心內容之一，它能促進學生類比思維能力的培養和形成，促進核心學科素質的培養和確立.然而，在當前的數學教學中，對于教學方法的運用，教師缺乏靈活性，學生學習的積極性與主動性不高，類比思維能力的提高可能會受到不同程度的影響，因此我們不妨試著從老師、學生兩個角度對培養學生類比思維能力的有效策略展開探討[2].

（一）學生角度

在整個數學課堂的學習中，學生處于重要的主體性地位，一切教學活動都應圍繞學生展開.因此，從學生的角度出發，可以采取以下措施培養學生的類比思維能力.

1.指導學生自主調整優化學習方式

“再創造活動”“積極的心態”“同化新的知識”等每個關鍵詞都無不透露出學生主觀能動性的重要價值.類比思想的運用是一種思維層級比較高的精神活動.如果學生以一種積極進取的態度投入數學學習，類比思想自然不會是攔路石，而是成為一種幫助學生有效促進理解與把握新知識的數學工具[4].

2.學生培養自身類比思維能力的有效策略

俗話講得好，“授人以魚，不如授人以漁”.學生必須在思想上重視類比思想方法，才會在學習過程中運用.學生在課堂上傾聽教師運用類比思想方法分析和解答復雜的數學問題，只是接受了教師所給予的“魚”，而非真正能夠幫助解決他們困難的“漁”.只有掌握了“漁”，也就是數學類比思想方法，才能熟練掌握這種類型題目的知識點，從而提高自身類比思維能力，這一點是根本，也是關鍵[2].

（二）教師角度

教師作為課堂教學的組織者，在教學活動中有著“引路人”等重要作用，因此，教師要在準確理解和把握學生認知規律的同時，積極采取切實可行的方法措施來幫助學生提高數學類比思維能力[3].

1.正確把握運用類比思想方法進行教學的有效時機

首先，在新課開始前應用：教師可以通過創設情境，例舉已經學過的知識點或學生身邊熟悉的案例來導入一堂新課.其次，在重難點環節應用：教師可以運用各種手段，花費大量時間進行深入分析與說明，力求幫助學生正確地理解和把握，訓練學生的數學思維.例如：相似三角形與全等三角形之間的關系，二次函數與一次函數的聯系，均可以采用類比的思想去進行課堂教學.最后，在課堂結尾應用這一思想方法，趣味猶存，令人回味.

2.改變傳統的教學模式，積極開展類比教學

新課程標準頒布后，不同版本的教材出現在教學前線，知識結構呈現出簡單化的趨勢.然而，考試的題目越來越復雜，這就導致教師在傳授教材內容的同時，盡可能多地為學生補充基礎知識，在教學過程中出現這樣的現象：不管學生認知的規律是什么，知識都被強加在每個學生身上.實際上，在教學實踐中，這種類比思維方法適合恰當地切入一些知識點的歸納，才有利于訓練學生思維，但是由于害怕浪費時間，許多教師都是點到為止.例如：在講解一元一次不等式組時，教師可以先引導學生回顧不等式及其解集、不等式的性質、一元一次不等式等以往學過的知識點，用類比的思想來引導學生思考新舊知識點之間的關系.新課結束后，教師再將新舊知識點進行對比，這樣不僅可以幫助學生更好地掌握新知識，也可以使學生形成關聯記憶.因此，教師應改變過去“滿堂灌”的教學模式，在時間分配合理的基礎上，注重類比思想方法的滲透，提升教學的有效性，培養學生的類比思維能力[3].

四、結 語

類比思想對培養創新人才具有重要的意義[2].在當前教育形式的發展趨勢下，初中階段的教師一定要認識到傳統教學方式所帶來的弊端，要運用現代化教育思想、教育手段來保證教學效果，為學生構建一個高效生動的數學課堂，在課堂教學中有效滲透類比思想，引導他們對數學概念知識點進行“再創造”，讓學生“像數學家一樣思考數學”，并在其中學會創造性地應用數學，提高舉一反三的解題能力，從而促進數學課堂教學的高效開展，提高學生的類比思維能力，培養新時代創新型數學人才.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]王培甫.數學中之類比[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]松萬軍.淺談初中數學類比思想的教學策略[J].課程教材教學研究（中教研究），2009（Z6）：45-46.

[4]姜海平.滲透類比思想方法 培養學生數學思維[J].文理導航（中旬），2015（8）：7.

[5]王潔.中學數學教學中類比思想的培養[D].武漢：華中師范大學，2008.